专题4.5 与三角形的角有关的五大类型解答题专项训练-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（北师大版2024）（原卷版+解析版）

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专题4.5 与三角形的角有关的五大类型解答题专项训练（35题）【北师大版2024】【题型1 与三角形的角有关的挖空题】1．（24-25七年级·吉林四平·期末）如图，在△ABC中，BD是角平分线，CE是高，BD与CE相交于点O，过点D作DF∥EC，当∠ECB=30°时，求∠BDF的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．解：∵CE是高（已知），∴∠BEC=______（三角形高的定义）．∴∠EBC+______=90°（直角三角形的两个锐角互余）．∴∠EBC=90°−∠BCE=______°．∵BD是角平分线，∴∠EBO=12∠EBC=______°（角平分线定义）．∴∠BOC=∠EBO+∠BEC=______°（______）．∵DF∥EC（已知），∴∠BDF=______=120°（两直线平行，同位角相等）．【答案】90°；∠BCE；60；30；120；三角形的外角性质；∠BOC【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，角平分线的定义．根据直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠EBC=60°，利用角平分线定义求得∠EBO=30°，再利用三角形的外角性质结合平行线的性质即可求解．【详解】解：∵CE是高（已知），∴∠BEC=90°（三角形高的定义）．∴∠EBC+∠BCE=90°（直角三角形的两个锐角互余）．∴∠EBC=90°−∠BCE=60°．∵BD是角平分线，∴∠EBO=12∠EBC=30°（角平分线定义）．∴∠BOC=∠EBO+∠BEC=120°（三角形的外角性质）．∵DF∥EC（已知），∴∠BDF=∠BOC=120°（两直线平行，同位角相等）．2．（24-25八年级·吉林长春·期末）【问题】如图①，在△ABC中，∠A=80°，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．求∠D的度数，对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．解：∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°（_______________），∴∠ABC+∠ACB=_____________（等式性质）．∵∠A=80°（已知），∴∠ABC+∠ACB=_____________（等量代换）．∵DB平分∠ABC（已知），∴∠DBC=12∠ABC（角平分线的定义）．同理，∠DCB=__________．∴∠DBC+∠DCB=12(∠ABC+∠ACB)=__________（等式性质）．∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∴∠D=180°−∠DBC+∠DCB=__________（等式性质）．【拓展】如图②，在△ABC中，∠A=α，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．则∠D=（__________）．【应用】如图③，在△ABC中，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB．若∠E=145°，则∠A=（__________）．【答案】[问题]三角形内角和定理；180°−∠A；100°；12∠ACB；50°；130°；[拓展] 90°＋α2；[应用] 40°．【分析】[问题]由三角形内角和定理可得∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，从而求得∠ABC＋∠ACB＝100°，由角平分线的定义可得∠DBC＝12∠ABC，∠DCB＝12∠ACB，再次利用三角形内角和定理可求∠D的度数；[拓展]由三角形内角和定理可得∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，从而求得∠ABC＋∠ACB＝180°−α，由角平分线的定义可得∠DBC＝12∠ABC，∠DCB＝12∠ACB，再次利用三角形内角和定理可求∠D的度数；[应用]利用[拓展]中的结论先求出∠D的度数，再次利用[拓展]中的结论求出∠A即可．【详解】解：[问题]∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°（三角形内角和定理），∴∠ABC＋∠ACB＝180°−∠A（等式性质），∵∠A＝80°（已知），∴∠ABC＋∠ACB＝100°（等量代换），∵DB平分∠ABC（已知），∴∠DBC＝12∠ABC（角平分线的定义）．同理，∠DCB＝12∠ACB．∴∠DBC＋∠DCB＝12(∠ABC＋∠ACB)＝50°（等式性质）．∵∠DBC＋∠DCB＋∠D＝180°，∴∠D＝180°−（∠DBC＋∠DCB）＝130°（等式性质）．故答案为：三角形内角和定理；180°−∠A；100°；12∠ACB；50°；130°；[拓展]∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°（三角形内角和定理），∴∠ABC＋∠ACB＝180°−∠A（等式性质），∵∠A＝α（已知），∴∠ABC＋∠ACB＝180°−α（等量代换），∵DB平分∠ABC（已知），∴∠DBC＝12∠ABC（角平分线的定义）．同理，∠DCB＝12∠ACB，∴∠DBC＋∠DCB＝12 (∠ABC＋∠ACB)＝90°−α2（等式性质），∵∠DBC＋∠DCB＋∠D＝180°，∴∠D＝180°−（∠DBC＋∠DCB）＝90°＋α2；故答案为：90°＋α2；[应用]由[拓展]可知：∠E＝90°＋12∠D，∵∠E=145°，∴145°=90°+12∠D，∴∠D=110°，又由[拓展]可得：∠D=90°+12∠A，∴110°=90°+12∠A，∴∠A=40°，故答案为：40°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．3．（24-25七年级·宁夏银川·期末）如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°．（1）试判断AD与BC是否平行（请在下面的解答中，填上适当的理由或数学式）；解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝　 　（角平分线定义）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝　 　°（等式的性质）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝　 　°．∴AD∥BC（　 　）．（2）若AE⊥BC，求∠ACB的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠ACB＝64°【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠CAD＝2∠2，利用等式的性质易得∠BAD＝116°，由平行线的判定定理可得结论；（2）由垂直的定义可得∠AEB＝90°，由三角形的内角和定理可得∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣64°＝26°，利用角平分线的性质和三角形的内角和定理可得结果．【详解】解：（1）∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线定义）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝116°（等式的性质）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝180°．∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：2∠2，116，180，同旁内角互补，两直线平行；（2）∵AE⊥BC，∠B＝64°，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣64°＝26°，∵∠BAC＝2∠BAE＝52°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣64°﹣52°＝64°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的判定等知识，熟知相关定义、定理是解题关键．4．（24-25七年级·山东德州·阶段练习）我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°我们是通过度量和剪拼得到这一结论的，我们马上就要升入八年级，在八年级的数学学习中，“三角形的内角和等于180°”是需要通过推理的方法去证明的，接下来我们需要接受挑战，完成下列题目要求：（1）在证法一中的括号内，填上推理的根据．（2）在证法二的提示下写出证明过程．并写清楚推理的根据．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．已知：如图1，△ABC求证：∠A+∠B+∠C=180°．证法一：如图2，作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA，则∠1=∠A（　　　　　　），∠2=∠B（　　　　　　），又∵∠1+∠2+∠ACB=180°（　　　　　　），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（　　　　　　）．证法二：提示：如图3，过点C作DE∥AB．  【答案】（1）两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；平角定义；等量代换；（2）见解析【分析】（1）作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA，根据平行线的性质得到∠1=∠A，∠2=∠B，然后利用平角的概念证明即可；（2）过点C作DE∥AB，根据平行线的性质得到∠1=∠B，∠2=∠A，然后利用平角的概念证明即可．【详解】解：（1）证法一：如图2，作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA，则∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）又∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；平角定义；等量代换；（2）如图，∵DE∥AB则∠1=∠B，（两直线平行，内错角相等），∠2=∠A（两直线平行，内错角相等），又∵∠1+∠ACB+∠2=180°（平角定义）∴∠A+∠ACB+∠B=180°（等量代换）．【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．5．（24-25七年级·河北保定·期末）在△ABC中，∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F．（1）如图1，用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；小东通过观察、实验，提出猜想：BE+CD=BC．他发现先在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，再利用三角形全等的判定和性质证明CM=CD即可．①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：ⅰ）在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，则可以证明△BEF与 全等，判定它们全等的依据是 ；ⅱ）由∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，可以得出∠EFB= °；②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想BE+CD=BC的过程．（2）如图2，若∠ABC=40° ，求证：BF=CA．【答案】（1）①ⅰ）△BMF，边角边；ⅱ）60；②详见解析；（2）详见解析【分析】（1）先得出结论；①利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB=120°，进而得出∠FBC+∠FCB=60°，得出∠BFC=120°，即可得出结论；②利用角平分线得出∠EBF=∠MBF，进而得出△BEF≌△BMF，求出∠BFM，即可判断出∠CFM=∠CFD，即可判断出△FCM≌△FCD，即可得出结论；（2）先求出相关角的度数，进而判断出BG=CE，进而判断出△BGF≌△CEA，即可得出结论．【详解】（1）BC=CD+BE①如图1，在BC上取一点M，使BM=BE，ⅰ）∵BD是∠ABC的平分线，∴∠EBF=∠MBF，在ΔBEF和ΔBMF中，BE=BM∠EBF=∠MBFBF=BF，∴ΔBEF≅ΔBMF(SAS)；ⅱ）∵BD，CE是ΔABC的两条角平分线，∴∠FBC=12∠ABC，∠BCF=12∠ACB，在ΔABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=120°，∴∠BFC=180°−(∠CBF+∠BCF)=180°−12(∠ABC+∠ACB)=120°，∴∠EFB=180°−120°=60°；故答案为：ⅰ）ΔBMF，SAS；ⅱ）60；    ②由①知，∠BFE=60°，ΔBEF≅ΔBMF，∴∠CFD=∠BFE=60°，∵ΔBEF≅ΔBMF，∴∠BFE=∠BFM=60°，∴∠CFM=∠BFC−∠BFM=60°，∴∠CFM=∠CFD=60°，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠FCM=∠FCD，在ΔFCM和ΔFCD中，∠CFM=∠CFDCF=CF∠FCM=∠FCD∴ΔFCM≅ΔFCD(ASA)，∴CM=CD，∴BC=CM+BM=CD+BE；（2）如图2，在ΔABC中，∠A=60°，∠ABC=40°，∴∠ACB=80°，∵BD，CE是ΔABC的两条角平分线，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=20°，∠BCE=∠ACE=12∠ACB=40°，∴∠AEC=∠ABC+∠BCE=80°，∠ABC=∠BCE，∴BE=CE，在ΔABC的边AB左侧作∠ABG=20°，交CE的延长线于G，∴∠FBG=∠ABD+∠ABG=40°=∠ACE．∵∠AEC=80°，∴∠BEG=80°，∴∠G=180°−∠ABG−∠BEG=80°=∠BEG=∠AEC，∴BG=BE，∴BG=CE，在ΔBGF和ΔCEA中，∠FBG=∠ACE=40°BG=CE∠BGF=∠AEC=80°，∴ΔBGF≅ΔCEA，∴BF=AC．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是（1）判断出∠CFM=∠CFD，（2）作出辅助线，判断出BG=CE．【题型2 与三角形的角有关的计算】6．（24-25八年级·河南洛阳·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为边BC上一点．(1)若AE平分∠BAC，∠DAE=15°，∠B=60°，求∠C的度数．(2)在（1）条件下，直接写出∠AEC=______．【答案】(1)30°(2)105°【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．（1）先求出∠BAD的度数，即可求出∠BAE的度数，于是得出∠BAC的度数，再根据三角形内角和定理即可求出∠C的度数；（2）在△ACE中根据三角形内角和定理即可求出∠AEC的度数．【详解】（1）解：∵AD⊥BC,∠B=60°，∴在△ABD中，∠BAD=90°−60°=30°，又∵∠DAE=15°，∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=30°+15°=45°，又∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAE=90°，∴在△ABC中，∠C=180°−∠BAC−∠B=180°−90°−60°=30°，（2）解：由（1）知∠BAE=∠CAE=45°,∠C=30°，∴∠AEC=180°−∠CAE−∠C=180°−45°−30°=105°，故答案为：105°．7．（24-25七年级·福建泉州·期末）如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，点D是BC边上的一点，将△ABD沿AD折叠，点B恰好落在BC边上的点E处．(1)填空：∠ADE= 度；(2)求∠EAC的大小．【答案】(1)90(2)15°【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，邻补角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）由折叠可知∠ADB=∠ADE，又∠ADB+∠ADE=180°，进而可得出结论；（2）由三角形内角和可得∠BAC=75°，由折叠可知，∠B=∠AEB=60°，所以∠BAE=60°，进而可得∠EAC度数．【详解】（1）解：由折叠可知∠ADB=∠ADE∵∠ADB+∠ADE=180°∴∠ADB=12×180°=90°故答案为：90；（2）解：由折叠可知，∠AEB=∠B=60°在△ABE中，∠BAE=180°−∠B−∠AEB=180°−60°−60°=60°在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−60°−45°=75°∴∠CAE=∠BAC−∠BAE=75°−60°=15°8．（24-25七年级·湖南邵阳·期末）如图，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，如果AB∥DG，∠1+∠2=180°．(1)判断AD与EF的位置关系，并说明理由；(2)若DG是∠ADC的平分线，∠2=145°，求∠B的度数．【答案】(1)AD∥EF，理由见解析(2)35°【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的相关计算，三角形内角和问题，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．（1）根据同旁内角互补两直线平行，即可判断AD与EF的位置关系；（2）结合（1）根据角平分线定义可得∠ADC=2∠1=70°，再根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求出∠B的度数．【详解】（1）解：AD∥EF，理由如下：∵AB∥DG，∴∠1=∠BAD，∵∠1+∠2=180°，∴∠BAD+∠2=180°，∴AD∥EF；（2）∵∠1+∠2=180°，∠2=145°，∴∠1=35°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠ADC=2∠1=70°，∴∠ADB=180°−∠ADC=180°−70°=110°，∵AD∥EF，∴∠EFB=∠ADB=110°，∵∠BEF=180°−∠2=180°−145°=35°，∴∠B=180−∠EFB−∠BEF=180°−110°−35°=35°．9．（24-25七年级·山东淄博·期末）如图，已知点D，E是△ABC内两点，且∠BAE=∠CAD,AB=AC,AD=AE．(1)请说明：△ABD≌△ACE；(2)延长BD，CE交于点F，若∠BAC=80°，∠ABD=20°，求∠BFC的度数．【答案】(1)见解析(2)120°【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，解题的关键是利用已知条件证明三角形全等，并通过角之间的关系求解．（1）根据已知条件，利用“边角边”“（SAS）”判定定理证明△ABD和△ACE全等；（2）先根据结合三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再利用全等三角形的性质得到∠ABD=∠ACE=20°，进而求出∠BFC的度数．【详解】（1）∵∠BAE=∠CAD，∴∠BAE−∠DAE=∠CAD−∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACESAS．（2）∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC=180°−80°=100°，∵△ABD≌△ACE∴∠ABD=∠ACE=20°，∴∠FBC+∠FCB=(∠ABC+∠ACB)−∠ABD−∠ACE=100°−20°−20°=60°，∴∠BFC=180°−∠FBC+∠FCB=180°−60°=120°．10．（24-25七年级·福建龙岩·期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE⊥AC，∠ABC=74°，∠A=38°，求∠CBE和∠DBE的度数．【答案】∠CBE=22°，∠DBE=15°【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高等知识，先根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，然后根据三角形的高的定义和三角形内角和定理可求出∠CBE的度数，根据三角形角平分线的定义求出∠DBC的度数，最后根据角的和差关系求解即可．【详解】解：∵∠ABC=74°，∠A=38°∴∠C=180°−∠ABC−∠A=68°，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠CBE=180°−∠BEC−∠C=22°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC=37°，∴∠DBE=∠DBC−∠EBC=15°．11．（24-25七年级·重庆合川·期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是高，它们相交于点O．(1)若∠AOE=60°，求∠ABE的度数；(2)若∠BAD=30°，∠CBE=50°，求∠ADC的度数．【答案】(1)30°(2)110°【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的高和角平分线，掌握三角形的内角和为180°是解题的关键．（1）利用BE是高，可得∠BEA=90°，求出∠DAE=30°，再根据角平分线的定义求出∠BAE，即可求出∠ABE的度数；（2）利用BE是高，可得∠BEC=90°，得出∠C=40°，根据角平分线的定义求出∠CAD，再利用三角形内角和定理即可求出∠ADC的度数．【详解】（1）解：∵ BE是高，∴∠BEA=90°，又∵∠AOE=60°，∴∠DAE=90°−∠AOE=30°，∵AD是角平分线，∴∠BAE=2∠DAE=60°，∴∠ABE=90°−∠BAE=30°∴∠ABE的度数为30°．（2）解：∵ BE是高，∴∠BEC=90°，又∵∠CBE=50°，∴∠C=90°−∠CBE=40°，∵AD是角平分线，∴∠CAD=∠BAD=30°，∵∠ADC+∠C+∠CAD=180°，∴∠ADC=180°−∠C−∠CAD=110°．∴∠ADC的度数为110°．12．（24-25七年级·广东湛江·期末）如图，在△ABC中，CD为△ABC的高，AE为△ABC的角平分线，CD交AE于点G，∠BCD=50°，∠BEA=110°．求∠BAE和∠ACD的度数．【答案】∠BAE=30°，∠ACD=30°【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是利用三角形内角和定理解决问题．利用三角形内角和定理求出∠BAE，再根据角平分线的定义求出∠DAC，据此计算可得结论．【详解】解：∵CD为△ABC的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵∠BCD=50°，∴∠B=40°，∵∠BAE=180°−∠B−∠AEB=180°−40°−110°=30°，∵AE为△ABC的角平分线，∴∠DAC=2∠BAE=60°，∴∠ACD=90°−60°=30°．13．（24-25七年级·四川内江·期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．(1)若∠A=40°，∠B=60°，则∠DPC= °，∠Q= °； (2)若∠A=α，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不变化，求出∠DPC、∠Q的度数(用α的代数式表示)；(3)若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出∠A的度数．【答案】(1)110；20(2)90°+12α；α2(3)∠A=45°或60°或120°或135°【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；（3）设∠A=α，由（2）可知∠QPC=90°−12α，∠Q=12α．再由∠PCQ=90°不变，即可分类讨论①当∠PCQ=3∠CPQ时，②当∠PCQ=3∠Q时，③当∠CPQ=3∠Q时和④当3∠CPQ=∠Q时，分别列出关于α的等式，解出α即可．【详解】（1）解：∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=180°−∠A−∠B=80°．∵CP平分∠ACB，∴∠BCP=∠ACP=12∠ACB=40°．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=60°，∠PGD=∠BCP=40°．∵DP平分∠ADE，∴∠PDG=12∠ADE=30°．∴∠DPC=180°−∠PDG−∠PGD=110°；∴∠QPC=180°−110°=70°．∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF，∴∠ACP=12∠ACB，∠ACQ=12∠ACF．∵∠ACB+∠ACF=180°，∴∠ACP+∠ACQ=90°，即∠PCQ=90°，∴∠Q=90°−∠QPC=20°．故答案为：110，20；（2）解：∵∠A=α，∴∠ACB+∠B=180°−α．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠PGD=∠PCB．∵DP平分∠ADE，CP平分∠ACB，∴∠PDE=12∠ADE=12∠B，∠PCB=12∠ACB=∠PGD．∴∠DPC=180°−∠PDE+∠PGD=180°−12∠B+∠ACB=180°−12×180−α°=90°+12α．∴∠QPC=180°−90°+12α=90°−12α．由（1）可知∠PCQ=90°不变，∴∠Q=90°−∠QPC=90°−90°−12α=12α．（3）解：设∠A=α，由（2）可知∠QPC=90°−12α，∠Q=12α．∵∠PCQ=90°，∴可分类讨论：①当∠PCQ=3∠CPQ时，∴90°−12α=13×90°，解得：α=120°，∴∠A=120°；②当∠PCQ=3∠Q时，∴12α=13×90°，解得：α=60°，∴∠A=60°；③当∠CPQ=3∠Q时，∴90°−12α=3×12α，解得：α=45°，∴∠A=45°；④当3∠CPQ=∠Q时，∴3×90°−12α=12α，解得：α=135°，∴∠A=135°．综上可知∠A=45°或60°或120°或135°．14．（24-25七年级·河北保定·期中）如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线，且AE,BF相交于点O，已知∠C=80°．(1)求∠AOB的度数．(2)若∠ABC=40°，求∠DAE的度数．【答案】(1)130°(2)20°【分析】本题主要查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余：（1）根据角平分线的定义，可得∠OAB+∠OBA=12∠BAC+∠ABC，再由三角形内角和定理可得∠BAC+∠ABC=180°−∠C=100°，即可求解；（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠DAC=10°，再由三角形内角和定理可得∠BAC=180°−∠ABC−∠C=60°，然后根据角平分线的定义，可得∠CAE=12∠BAC=30°，即可求解．【详解】（1）解：∵AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线，∴∠OAB=12∠BAC,∠OBA=12∠ABC，∴∠OAB+∠OBA=12∠BAC+∠ABC．∵在△ABC中，∠C=80°，∴∠BAC+∠ABC=180°−∠C=100°，∴∠AOB=180°−∠OAB−∠OBA=180°−12∠BAC+∠ABC=130°．（2）解：∵AD是边BC上的高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=90°−∠C=90°−80°=10°，∵∠C=80°，∠ABC=40°，∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=60°．∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE=12∠BAC=30°，∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=30°−10°=20°．15．（24-25七年级·河北保定·期末）如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若AB∥CD，∠1=130°，∠3=35°，求∠2的度数．【答案】85°【分析】本题考查求角度，涉及平行线性质、邻补角定义、三角形内角和定理等知识，先由平行性质得到∠ABC=∠3=35°，再由邻补角定义及三角形内角和得到∠AEB即可确定答案，数形结合，准确表示出各个角度是解决问题的关键．【详解】解：如图所示：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠3=35°，∵∠1=130°，∴∠4=180°−130°=50°，∴∠AEB=180°−50°−35°=95°，则∠2=180°−∠AEB=85°．16．（24-25七年级·山东菏泽·期末）在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系．如图，把三角形ABC分成三部分，然后以某一顶点（如点B）为集中点，把三个角拼在一起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是180°”的结论．但是，通过本学期的学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．  【答案】证明见解析【分析】根据要求画出△ABC，写出已知，求证．构造平行线，利用平行线的性质解决问题即可．【详解】解：已知：△ABC． 求证：∠A+∠ABC+∠C=180°． 证明：如图，延长CB到F，过点B作BE∥AC．     ∵BE∥AC， ∴∠1=∠4，∠5=∠3， ∵∠2+∠4+∠5=180°， ∴∠1+∠2+∠3=180°， 即∠A+∠ABC+∠C=180°．【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明，平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．17．（24-25七年级·河南洛阳·期末）【教材呈现】如图是华师版七年级册数学教材第76页的部分内容如图．如图，△ABC分别用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三个内角，证明∠1+∠2+∠3=180°．  延长BC至点E，以点C为顶点，在BE的上侧作∠DCE=∠2，则CD ∥ BA（同位角相等，两直线平行）．  (1)请根据教材提示，结合图①，将证明过程补充完整．【结论应用】(2)如图②，在△ABC中，∠A=60°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠P的度数．【答案】(1)见详解(2)120°【分析】（1）利用平行线的性质得∠2=∠DCE，∠1=∠ACD即可解答；（2）利用角平分线的定义和三角形内角和定理可得；【详解】（1）由题意得：AB ∥ CD，∠2=∠DCE，∴∠1=∠ACD(两直线平行，内错角相等)，∴∠1+∠2+∠3=∠3+∠ACD+∠DCE=180°，即∠1+∠2+∠3=180°．（2）∵BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABP=∠CBP，∠ACP=∠BCP，∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+∠ACB=60°，∴∠BPC=180°−∠PBC+∠PCB=120°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．【题型3 探究与三角形有关的角之间的关系】18．（24-25七年级·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，写出∠BOC与∠A的关系，并说明理由．【答案】∠BOC=90°−12∠A，理由见解析【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义，先根据角平分线的定义得∠1=12∠CBD，∠2=12∠BCE，再根据三角形的内角和定理和平角定义得到∠1+∠2=90°+12∠A，然后在△BOC中，利用三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：∠BOC=90°−12∠A．理由为：∵∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，∴∠1=12∠CBD，∠2=12∠BCE，在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，∴2∠1+2∠2=180°−∠ABC+180°−∠ACB=360°−∠ABC+∠ACB=360°−180°−∠A=180°+∠A，∴∠1+∠2=90°+12∠A，在△BOC中，∠BOC=180°−∠1+∠2=180°−90°+12∠A=90°−12∠A．19．（24-25七年级·广东江门·阶段练习）如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合．(1)若∠B=50°，∠C=60°，求∠A的度数；(2)若∠1+∠2=130°，求∠A的度数．(3)猜想：∠1+∠2与∠A的关系，请直接写出其关系式．【答案】(1)70°(2)65°(3)∠1+∠2=2∠A【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，（1）直接根据三角形内角和定理求解即可；（2）由折叠可得∠AED=∠A′ED=12∠AEA′，∠ADE=∠A′DE=12∠ADA′，进而可得∠1+∠2=360°−2∠AED−2∠ADE，结合∠AED+∠ADE+∠A=180°，可得∠1+∠2=2∠A=130°，即可求解；（3）同（2）求解即可得到答案．【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠B=50°，∠C=60°，∴∠A=180°−∠B−∠C=70°；（2）解：∵将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，∴∠AED=∠A′ED=12∠AEA′，∠ADE=∠A′DE=12∠ADA′，∴∠1+∠2=180°−∠AEA′+180°−∠ADA′=360°−2∠AED−2∠ADE，∵∠AED+∠ADE+∠A=180°，∴∠AED+∠ADE=180°−∠A，∴∠1+∠2=360°−2180°−∠A=2∠A，∵∠1+∠2=130°，∴∠A=12×130°=65°；（3）解：∵将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，∴∠AED=∠A′ED=12∠AEA′，∠ADE=∠A′DE=12∠ADA′，∴∠1+∠2=180°−∠AEA′+180°−∠ADA′=360°−2∠AED−2∠ADE，∵∠AED+∠ADE+∠A=180°，∴∠AED+∠ADE=180°−∠A，∴∠1+∠2=360°−2180°−∠A=2∠A．20．（24-25七年级·江西上饶·阶段练习）如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：(1)若∠A=50°，则∠P=_____________°；(2)若∠A=90°，则∠P=_____________°；(3)若∠A=100°，则∠P=_____________°；(4)请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系，并说明理由．【答案】(1)65(2)45(3)40(4)∠P=90°−12∠A，理由见解析【分析】本题主要查了三角形内角和定理，角平分线的定义：（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=130°，从而得到∠DBP+∠ECB=360°−∠ABC+∠ACB=230°，再由角平分线的定义，可得∠PBC+∠PCB=12∠DBC+∠BCE=115°，即可求解；（2）方法同上；（3）方法同上；（4）方法同上．【详解】（1）解：∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=130°，∴∠DBP+∠ECB=180°−∠ABC+180°−∠ACB=360°−∠ABC+∠ACB=360°−130°=230°，∵BP,CP分别平分∠CBD与∠BCE，∴∠PBC=12∠DBC,∠PCB=12∠BCE，∴∠PBC+∠PCB=12∠DBC+∠BCE=115°，∴∠P=180°−∠PBC+∠PCB=65°；故答案为：65（2）解：∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=90°，∴∠DBP+∠ECB=180°−∠ABC+180°−∠ACB=360°−∠ABC+∠ACB=360°−90°=270°，∵BP,CP分别平分∠CBD与∠BCE，∴∠PBC=12∠DBC,∠PCB=12∠BCE，∴∠PBC+∠PCB=12∠DBC+∠BCE=135°，∴∠P=180°−∠PBC+∠PCB=45°；故答案为：45（3）解：∵∠A=100°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=80°，∴∠DBP+∠ECB=180°−∠ABC+180°−∠ACB=360°−∠ABC+∠ACB=360°−80°=280°，∵BP,CP分别平分∠CBD与∠BCE，∴∠PBC=12∠DBC,∠PCB=12∠BCE，∴∠PBC+∠PCB=12∠DBC+∠BCE=140°，∴∠P=180°−∠PBC+∠PCB=40°；故答案为：40（4）解：∠P=90°−12∠A，理由如下：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A，∴∠DBP+∠ECB=180°−∠ABC+180°−∠ACB=360°−∠ABC+∠ACB，∵BP,CP分别平分∠CBD与∠BCE，∴∠PBC=12∠DBC,∠PCB=12∠BCE，∴∠PBC+∠PCB=12∠DBC+∠BCE=180°−12∠ABC+∠ACB=180°−12180°−∠A=90°+12∠A，∴∠P=180°−∠PBC+∠PCB=180°−90°+12∠A=90°−12∠A．21．（24-25七年级·江苏扬州·期中）△ABC中，∠C>∠B，AD是高，AE是三角形的角平分线．(1)当∠B=24°，∠C=68°时，求∠DAE的度数；(2)根据第（1）问得到的启示，∠C−∠B与∠DAE之间有怎样的等量关系，并说明理由．【答案】(1)22°；(2)∠DAE=12∠C−∠B，理由见解析．【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理：（1）由三角形内角和定理求得∠BAC，∠BAD，根据角平分线的定义求得∠BAE，进而根据角的和差关系即可得到答案；（2）由三角形内角和定理求得∠BAC，∠BAD，根据角平分线的定义求得∠BAE，进而根据角的和差关系即可得到结论．【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠B=24°，∠C=68°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−24°−68°=88°，∵AD是高，AE是三角形ABC的角平分线．，∴∠BAD=90°−∠B=90°−24°=66°，∠BAE=12∠BAC=12×88°=44°∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=66°−44°=22°；（2）解：∠C−∠B=2∠DAE，理由如下：在△ABC中，∠BAC=180°−∠B−∠C，∵AD是△ABC的高，∴∠BAD=90°−∠B，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE=12∠BAC=12(180°−∠B−∠C)，∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=90°−∠B−12180°−∠B−∠C=12∠C−∠B．即∠DAE=12∠C−∠B．22．（24-25七年级·吉林·阶段练习）数学活动课上，老师先在黑板上画出两条直线a∥b，再将三角板MBC（∠MBC=90°，MB与直线a相交于点A）放在黑板上，转动三角板得到下面三个不同位置的图形．(1)如图①，若点B在直线b上，∠1=110°，则∠2=________°；(2)如图②，若点B在直线a的下方，在直线b的上方，∠1与∠2有怎样的关系？写出结论，并给出证明；(3)如图③，若点B在直线b的下方，请直接写出∠1与∠2之间的关系．【答案】(1)20(2)∠1=90°+∠2，证明见解析(3)∠1=90°−∠2【分析】本题考查对顶角性质、余角性质和平行线的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些知识点是关键．（1）由余角性质和平行线的性质分析即可；（2）过点B作BN∥a，运用余角性质和平行线的性质分析即可；（3）运用对顶角性质、三角形内角和定理和平行线的性质分析即可．【详解】（1）解：如图，∵a∥b，∴∠1+∠3=180°，∵∠1=110°，∴∠3=70°，由题意得，∠ABC=90°，∴∠2=90°−70°=20°，故答案为：20．（2）∠1与∠2的关系：∠1=90°+∠2．证明：过点B作BN∥a，由题意可知，∠ABN+∠CBN=90°，∵a∥b∴BN∥b∴∠2=∠CBN，∴∠ABN=90°−∠CBN=90°−∠2，∵BN∥a∴∠1+∠ABN=180°，∴∠1+(90°−∠2)=180°，∴∠1=90°+∠2．（3）∠1=90°−∠2．证明：设BC与直线b交于E点，BM与直线b交于F点，则∠2=∠BEF，∵a∥b，∴∠1=∠BFE，∵∠BEF+∠BFE+∠B=180°，∠B=90°，∴∠BEF+∠BFE=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠1=90°−∠2．23．（24-25七年级·山东青岛·期末）阅读并填空．将三角尺（△MPN，∠MPN=90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图①所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．(1)特例探索：若∠A=50°，则∠PBC+∠PCB=______度；∠ABP+∠ACP=______度；(2)类比探索：求∠ABP，∠ACP，∠A的关系，并说明理由；(3)变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，求∠ABP，∠ACP，∠A的关系，并说明理由．【答案】(1)90；40(2)∠ABP+∠ACP=90°−∠A，理由见解析(3)∠ACP−∠ABP=90°−∠A，理由见解析【分析】本题考查三角形内角和定理的应用．（1）利用三角形内角和定理即可解决问题．（2）结论：∠ABP+∠ACP=90°−∠A．利用三角形内角和定理即可证明．（3）结论：∠ACP−∠ABP=90°−∠A．利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】（1）解：∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=130°，∵∠P=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，∴∠ABP+∠ACP=130°−90°=40°，故答案为：90，40；（2）解：结论：∠ABP+∠ACP=90°−∠A，证明：∵(∠PBC+∠PCB)+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°，∴90°+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°，∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°，∴∠ABP+∠ACP=90°−∠A．故答案为：∠ABP+∠ACP=90°−∠A；（3）解：结论：∠ACP−∠ABP=90°−∠A，理由是：设AB交PC于O，如图2:  ∵∠AOC=∠POB，∴∠ACO+∠A=∠P+∠PBO，即∠ACP+∠A=90°+∠ABP，∴∠ACP−∠ABP=90°−∠A，故答案为：∠ACP−∠ABP=90°−∠A．【题型4 探究与三角形有关的线段之间的关系】24．（24-25八年级·河南周口·期末）如图，MN∥PQ，将两块三角尺（一块含30°角，一块含 45°角）按如下方式放置，使 ∠MAE=∠CBQ，∠AED=∠ABC=90°．试判断AB与DE的位置关系，并说明理由．【答案】见解析【分析】本题考查了平行线的判定与性质，利用平行线的性质可得出∠MAD=∠ADB，利用三角形内角和定理可得出∠EDB=90°+∠MAE，利用角的和差关系可得出∠ABQ=90°+∠MAE，则∠EDB=∠ABQ，然后利用平行线的判定即可得证．【详解】解∶AB∥DE理由：∵MN∥PQ，∴∠MAD=∠ADB，∵∠AED=90°，∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EDA+∠MAD=∠EDA+∠EAD+∠MAE=90°+∠MAE，∵∠MAE=∠CBQ，∠ABC=90°，∴∠ABQ=∠ABC+∠CBQ=90°+∠MAE，∴∠EDB=∠ABQ，∴AB∥DE．25．（24-25八年级·江苏宿迁·期末）已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE,∠EAD=∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．(1)说明：DE∥AC；(2)若∠DEF=40°,∠B=36°，求∠BAC的度数．【答案】(1)见解析(2)94°【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的判定、三角形内角和定理，（1）根据角平分线的定义可得∠EAD=∠CAD，再根据平行线的判定即可得证；（2）利用三角形内角和定理求得∠EDF=50°， 再根据平行线的性质可得∠EDF=∠C=50°，再利用三角形内角和定理求解即可．【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，又∵∠EAD=∠EDA，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC；（2）解：∵EF⊥BC，∴∠EFD=90°，∵∠DEF=40°，∴∠EDF=180°−90°−40°=50°，由（1）可得，DE∥AC，∴∠EDF=∠C=50°，∴∠BAC=180°−36°−50°=94°．26．（24-25八年级·山东济宁·期末）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；(3)如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．【答案】(1)AB∥CD，理由见解析(2)见解析(3)∠HPQ的大小不会发生变化，其值为45°，理由见解析【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的内角和定理的应用．（1）根据邻补角可得∠2=∠BEF，即可；（2）根据AB∥CD，可得∠BEF+∠EFD=90°，再由角平分线的定义可得∠PEF+∠EFP=12∠EFD+12∠BEF=12∠EFG+∠BEF=90°，然后根据三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即可求证；（3）根据三角形内角和定理可得∠PKG=2∠HPK，从而得到∠EPK=180°−∠KPG=90°+2∠HPK，再由PQ平分∠EPK，可得∠QPK=12∠EPK=45°+∠HPK，即可．【详解】（1）解：AB∥CD，理由如下：∵∠1与∠2互补，∠1与∠BEF互为邻补角，∴∠2=∠BEF，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=90°，∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠PEF=12∠BEF，∠EFP=12∠EFD，∴∠PEF+∠EFP=12∠EFD+12∠BEF=12∠EFG+∠BEF=90°，∴∠EPF=180°−∠PEF+∠EFP=90°，∴FP⊥EG，∵GH⊥EG，∴PF∥GH；（3）解：∠HPQ的大小不会发生变化，其值为45°，理由如下：∵∠PHK=∠HPK，∴∠PKH=180°−2∠HPK，∵∠PKH=180°−∠PKG，∴∠PKG=2∠HPK，∵GH⊥EG，∴∠KPG=90°−∠PKG=90°−2∠HPK，∴∠EPK=180°−∠KPG=90°+2∠HPK，∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK=12∠EPK=45°+∠HPK，∴∠HPQ=∠QPK−∠HPK=45°，∴∠HPQ的大小不会发生变化，其值为45°．27．（24-25八年级·河南洛阳·期末）【学科融合】同学们应该都见过光线照射在平面镜上出现反射光线的现象．如图1，物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，即∠1=∠2．这就是光的反射定律．【初步应用】（1）如图1，若∠1=42°，则∠BOD=______°；若∠AOC=50°，则∠BOD=______°；【猜想验证】（2）如图2，两平面镜OP，OQ相交于点O，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后经过点B，两条光线AM，NB相交于点E．①若AM⊥NB，则∠POQ=______°②请探究∠POQ与∠MEN之间满足的等量关系，并说明理由．【拓展探究】（3）如图3，有三块平面镜AB、BC、CD，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1=α°，镜面AB、BC的夹角∠B=100°，已知入射光线先从镜面AB开始反射，然后再经过不同镜面的一次或两次反射，反射后反射光线与入射光线EF垂直，请直接写出∠BCD的度数．（可用含有α的代数式表示）【答案】（1）48；50；（2）①45；②∠MEN+2∠POQ=180°，理由见解析；（3）45°+α．【分析】本题主要考查了三角形内角和、平角的定义、入射角和反射角等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）根据入射角等于反射角以及角的和差即可计算；（2）①由题推出∠EMN+∠ENM=90°，进而得到∠OMN+∠ONM=135°，再利用三角形内角和求解即可；②与第一问思路一致，不同的是将∠MEN=90°换成了∠MEN=x，再按照同样方法求解即可；（3）将可能存在的情况画图，依据三角形内角和以及平角的定义求解即可．【详解】解：（1）∵∠1=42°，∴∠AOC=48°，∴∠BOD=48°；∵∠AOC=50°，∴∠BOD=50°．故答案为：48，50；（2）①由题意得∠MEN=90°，∴∠EMN+∠ENM=90°，∴∠AMP+∠OMN+∠BNQ+∠ONM=360°−90=270°，∵∠AMP=∠OMN，∠BNQ=∠ONM，∴∠OMN+∠ONM=135°，∴∠POQ=45°．故答案为：45；②∠MEN+2∠POQ=180°，理由如下：设∠MEN=x，则∠EMN+∠ENM=180°−∠MEN=180°−x，根据题意可知，∠OMN=∠AMP=180°−∠EMN2=90°−12∠EMN，∠ONM=∠BNQ=180°−∠ENM2=90°−12∠ENM，∴ ∠OMN+∠ONM=90°−12∠EMN+90°−12∠ENM=180°−12(∠EMN+∠ENM)=180°−12×(180°−x)=90°+12x，在△OMN中，∠OMN+∠ONM+∠O=180°，即90°+12x+∠O=180°，∴ 12x+∠O=90°，即12∠MEN+∠O=90°，∴∠MEN+2∠POQ=180°；（3）①若经过一次反射之后与EF垂直，如图所示，EF⊥EG，∵∠1=∠BEG=α°，∠GEF=90°，∴α°=45°，∵∠B=100°，∴∠BGE=35°=∠CGH，此时，∠BCD的度数不影响第一次反射；②若经过两次次反射之后与EF垂直，此种情况不存在；③若经过三次反射之后垂直，如图所示，MH⊥EF，∵∠1=α°，∴∠BEG=α°，∠FEG=180°−2α°，∵∠B=100°，∴∠BGE=80°−α°=∠CGH，∴∠EGH=2α°+20°，∵∠EMH=90°，∴∠MHG=360°−90°−180−2α°−2α°+20°=70°，∴∠GHC=180°−70°2=55°，∴∠BCD=180°−∠GHC−∠CGH=45°+α°．综上，∠BCD的度数为45°+α°．【题型5 与三角形的角有关的证明】28．（24-25八年级·江苏南京·期末）如图，AE，BE分别是∠DAC，∠CBD的角平分线，它们相交于点E，AE与BD相交于点F，BE与AC相交于点G．写出∠C，∠D与∠E的等量关系，并证明．（要写出每一步的依据）  【答案】∠C+∠D=2∠E，证明见解析【分析】设∠DAC=x，∠DBC=y，根据角平分线的定义得到∠DAE=∠CAE=12x，∠DBE=∠CBE=12y，利用三角形内角和定理得出∠OAD+∠D=∠OBC+∠C，得出等式x−y=∠C−∠D①，同理得到x−y=2∠E−∠D②，等量代换可得∠C+∠D=2∠E．【详解】解：设∠DAC=x，∠DBC=y，∵AE，BE分别是∠DAC，∠CBD的角平分线，（已知）∴∠DAE=∠CAE=12x，∠DBE=∠CBE=12y，（角平分线的定义）∵∠AOD=∠BOC，（对顶角相等）∴∠OAD+∠D=∠OBC+∠C，即x+∠D=y+∠C，（三角形内角和定理）∴x−y=∠C−∠D①，（等式的性质）同理：∠DAE+∠D=∠DBE+∠E，即12x+∠D=12y+∠E，（三角形内角和定理）∴x−y=2∠E−∠D②，（等式的性质）将①代入②得：∠C−∠D=2∠E−∠D，整理得：∠C+∠D=2∠E．（等量代换）  【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，对顶角相等，角平分线的定义，解题的关键是从图中找到熟悉的图形，借助三角形内角和定理得到角的关系．29．（24-25八年级·江苏徐州·期末）如图，四边形ABCD中，BC=CD，AB=EC，∠B=∠DCE=90°，AC与DE相交于点F．  (1)求证：△ABC≌△ECD；(2)判断线段AC与DE的关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AC⊥DE，AC=DE，见解析【分析】（1）直接利用SAS证明△ABC≌△ECD即可；（2）根据全等三角形的性质得到AC=DE，∠BCA=∠CDE，进而证明∠CDE+∠ACD=90°，再根据三角形内角和定理可得∠DFC=90°，由此即可得到结论．【详解】（1）证明：在△ABC和△ECD中，BC=CD∠B=∠DCE=90°AB=EC．∴△ABC≌△ECDSAS；（2）解：AC⊥DE，AC=DE，理由如下：∵△ABC≌△ECD，∴AC=DE，∠BCA=∠CDE，∵∠DCE=90°，∴∠BCA+∠ACD=90°，∴∠CDE+∠ACD=90°，∴∠DFC=180°−∠CDE+∠ACD=90°，∴AC⊥DE，∴AC⊥DE，AC=DE．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知边角边证明三角形全等是解题的关键．30．（24-25七年级·江苏盐城·阶段练习）已知：如图，在△△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．试猜想BD、CE的关系，并证明．【答案】猜想BD=CE，BD⊥CE，证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，先证明∠BAD=∠CAE，再利用SAS证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE，∠ABD=∠ACE，根据三角形内角和定理得到∠ABD+∠CBD+∠ACB=90°，据此根据角之间的关系证明∠BDC=90°，进而可得结论．【详解】解：猜想BD=CE，BD⊥CE，证明如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△BAD≌△CAESAS．∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠ABC+∠ACB=180°−90°=90°，∴∠ABD+∠CBD+∠ACB=90°，∴∠ACD+∠CBD+∠ACB=90°，即∠CBD+∠BCD=90°，∴∠BDC=180°−90°=90°，∴BD⊥CE，∴BD=CE，BD⊥CE．31．（24-25七年级·河南郑州·期末）如图1是安全用电的标识图案，其中蕴含着几何知识．如图2，点B，D，C，F在同一条直线上，且DC=BF，AB=ED，AB∥ED．(1)请判断AC与EF的关系，并说明理由；（同学们，两线段的关系要从两方面思考：数量关系和位置关系）(2)若∠B=25°，∠E=75°，求∠ACB的度数．【答案】(1)AC=EF，AC∥EF，理由见解析(2)∠ACB=80°【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质：（1）证明△ABC≌△EDFSAS，即可得出结论；（2）根据全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理，进行求解即可．【详解】（1）解：AC=EF，AC∥EF，理由如下：∵AB∥DE，∴∠B=∠D，∵CD=BF，∴CD+CF=BF+CF，即DF=BC，在△ABC与△EDF中，AB=DE，∠B=∠D，BC=DF；∴△ABC≌△EDFSAS，∴AC=EF，∠ACB=∠EFD．∴AC∥EF；（2）由（1）知△ABC≌△EDF，∴∠A=∠E=75°，∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠B=25°；∴∠ACB=80°．32．（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）已知：如图，E为AC上一点，BE⊥DE，∠1=∠B，∠2=∠D，求证：AB∥CD．【答案】见解析．【分析】本题考查了平行线的判定，垂线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．由BE⊥DE，得到∠1+∠2=90°，于是得到∠1+∠B+∠2+∠D=180°，根据三角形的内角和得到∠A+∠C=360°−∠1−∠B−∠2−∠D=180°，于是得到结论．【详解】证明：∵ BE⊥DE，∴ ∠1+∠2=90°，∵ ∠1=∠B，∠2=∠D，∴ ∠1+∠B+∠2+∠D=180°，∵∠A+∠1+∠B=∠C+∠2+∠D=180°，∴∠A+∠C=360°−∠1−∠B−∠2−∠D=180°，∴AB∥CD．33．（24-25七年级·广东珠海·期中）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，BE=BD．连接AE、CD，AE与CD交于点M，AB与BC交于点N．(1)求证：AE=CD；(2)求证：AE⊥CD．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1） 先由∠ABC=∠DBE，得出∠ABE=∠CBD，证明△ABE≌△CBD，即可作答．（2）由△ABE≌△CBD，推出∠BAE=∠BCD，由∠NMC=180°−∠BCD−∠CNM，∠ABC=180°−∠BAE−∠ANB，又∠CNM=∠ANB，∠ABC=90°，可得∠NMC=90°．本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线解决问题．【详解】（1）证明： ∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，即∠ABE=∠CBD，在△ABE和△CBD中，AB=CB∠ABE=∠CBDBE=BD，∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE=CD．（2）解：∵△ABE≌△CBD，∴∠BAE=∠BCD，∵∠NMC=180°−∠BCD−∠CNM，∠ABC=180°−∠BAE−∠ANB，又∠CNM=∠ANB，∵∠ABC=90°，∴∠NMC=90°，∴AE⊥CD．34．（24-25七年级·山西大同·开学考试）如图，AD是△ABC的高，∠BAC=90°，E是AC上一点，BE交AD于点F，且∠1=∠2．求证：∠3=∠4．【答案】见解析【分析】本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等．明确角度之间的数量关系是解题的关键．由∠BAE=90°，可得∠3+∠2=90°．由AD是△ABC的高，可得∠ADB=90°．即∠4+∠BFD=90°．由∠1=∠BFD=∠2，可得∠4+∠2=90°．进而可得∠3=∠4．【详解】证明：∵在△ABE中，∠BAE=90°，∴∠3+∠2=90°．∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC．即∠ADB=90°．∴∠4+∠BFD=90°．∵∠1=∠BFD=∠2，∴∠4+∠2=90°．∴∠3=∠4．35．（24-25七年级·浙江温州·期末）如图，点F在线段AB上，AB∥CD，∠1=∠2．(1)求证：FG∥AE；(2)若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D=4∠ABC，求∠1的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)60°．【分析】本题考查了平行线的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．（1）利用平行线的性质可得∠1=∠FGC，再结合已知可得∠2=∠FGC，然后利用平行线的判定，即可解答；（2）根据垂直定义可得∠FHB=90°，再利用平行线的性质可得∠ABC=30°，从而利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．【详解】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠1=∠FGC，∵∠1=∠2，∴∠2=∠FGC，∴FG∥AE；（2）解：∵FG⊥BC，∴∠FHB=90°，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠D=180°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABC，∵∠D=4∠ABC，∴2∠ABC+4∠ABC=180°，∴∠ABC=30°，∴∠1=90°−∠ABH=60°．