人教版（2024）八年级上册（2024）14.2 三角形全等的判定同步练习题

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题型1 添加条件使成为全等三角形
1．（24-25八年级上·全国·期末）在△ABC和△DEF中，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
2．（24-25八年级上石家庄·阶段练习）如图，AC、BD交于点O，BO=DO，添加：①∠BAC=∠DCA；②AB=CD；③AB∥CD；④AO=CO，四个条件中的一个，能使△ABO≌△CDO的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）已知△ABC中，AB=2，∠C=40°，现有以下这些条件：①∠A=30°；②∠A=90°；③∠B=120°；④∠B=140°．要使△ABC的形状和大小都是确定的，可以添加的条件是 ．（写出所有正确结论的序号）
4．（24-25八年级上·浙江金华·期中）数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知∠C=∠F=90°，BC=EF，请补充一个条件，使得△ABC≌△DEF．三位同学展示了自己补充的条件：
甲补充条件AC=DF，全等的判定依据是SAS；
乙补充条件∠B=∠E，全等的判定依据是 ；
丙补充条件 ，全等的判定依据是HL．
(1)请补全乙、丙同学展示的答案；
(2)请在甲、乙、丙三位同学中任选一种情况，写出完整的全等证明过程．
题型2 选用合适的方法判定全等三角形
5．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线．以点B为圆心，BD长为半径画弧，与AB交于点E，连接DE．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)若∠B=50°，求∠ADE的度数．
6．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，求证：△ADC≌△BEC．
7．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．
(1)求证：△ADC≌△CEB．
(2)AD=15cm，DE=10cm，求BE的长度．
8．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF，且DF=DB．
(1)求证：△CFD≌△EBD；
(2)若∠BAC=40°，求∠AFD的度数；
题型3 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题
9．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=ODOA10°为脊柱侧弯．已知AC⊥BO，BD⊥AO，CO=DO，AD=BC．
(1)△ACO与△BDO全等吗？请说明理由．
(2)若小明是轻度脊柱侧弯（10°∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC=2CF，△ABC的面积是12，请直接写出△ABD与△CEF的面积之和．
题型9 尺规作图与全等三角形
35．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）（1）如图，在△ABC中，以BC为一边作△BCD，使得△ABC≌△DCB，画出所有符合条件的△BCD（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）请用两种不同方法作出BC边上的中点E．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
36．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A−3,3，B−4,−2，C0,−1．
(1)直接写出△ABC的面积为________；
(2)画出△ABC关于y轴的对称的△DEC（点D与点A对应，点E与点B对应），点E的坐标为________；
(3)用无刻度的直尺，运用所学的知识作出△ABC的高线AF（保留作图痕迹并写出理由）．
37．（23-24九年级下·山东临沂·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，在线段CB延长线上取一点P，以AP为直角边，点P为直角顶点，在射线CB上方作等腰Rt△APD，过点D作DE⊥CB，垂足为点E．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：AC=PE；
(3)连接DB，并延长交AC的延长线于点F，用等式表示线段CF与AC的数量关系，并证明．
题型10 与全等三角形有关的动点问题
38．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图1和图2，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一个动点，Q是CB延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线CB方向运动，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D．
(1)过点P作PF∥BC交AB于点F，如图2，求证：△APF是等边三角形；
(2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中．
①嘉嘉说：“点D始终是线段PQ的中点．”你是否同意她的说法？说明理由；
②淇淇说：“线段DE的长度始终不变．”请你帮淇淇求出DE的长度；
(3)当∠PQC=30°时，请直接写出AE的长．
39．（22-23八年级上·广东广州·期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，AB=15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．
(1)如图①，当t=________时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
(2)如图②，在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．
40．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在△ABC中，AB=6，BC=5，点D为边AB的中点．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BC运动，同时动点Q从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿线段CA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒t>0．
(1)用含t的代数式表示线段PC的长；
(2)若AC=AB，且点P在边BC上时，若△BPD与△CPQ全等，求t和a的值；
(3)当∠ACB=70°，且△CPQ为等腰三角形时，直接写出∠CPQ的度数．
41．（22-23七年级下·广东深圳·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．
(1)当AC=BC时，如图1，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．
(2)当AC=8，BC=6时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．
①CM= ，当N在F→C路径上时，CN= ．（用含t的代数式表示）
②当△MDC与△CEN全等时，求出t的值．
题型11 全等三角形常见模型（倍长中线）
42．（24-25八年级上·广东汕头·期中）【方法呈现】
如图：在△ABC中，若AB=6，AC=4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围为_________________，这种方法我们称为倍长中线法；
【问题背景】
在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM=BM，点D是线段AM上一动点．
（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD=MC，连接AC，若BD=17，求AC的长；
【构建联系】
（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．
43．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．
(1)如图1，在△ABC中，AB=6，AC=4，D是BC的中点，求边BC上的中线AD的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点H，使DH=AD，连接BH．可以判定△ADC≌△HDB，从而得到AC=HB=4．这样就能把线段AB，AC，2AD集中在△ABH中，利用三角形三边的关系，可得中线AD的取值范围是______．
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB的中点，求证：CD=12AB．
(3)如图3，在△ABC中，AB>AC，AD为角平分线，E为边BC的中点，过点E作AD的平行线，交AB于点F，交CA的延长线于点P．
①判断BF和CP的数量关系，并说明理由；
②若∠BAC=90°，S△ABC=30，BF=8，则AP的长为______．
题型12 全等三角形常见模型（截长补短）
44．（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，且∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC．
(1)为了证明结论“AB+BD=AC”，小亮在AC上截取AE，使得AE=AB，连接DE，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等）
(2)如图2，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠D=110°，∠ACD=40°，∠ACB=80°，CE是△ABC的高，AD=10，EB=2，求AB的长．
45．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）【材料阅读】
截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种：
①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长；
②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线段长．
【问题呈现】
（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．求证：EF=BE+FD．
【问题启发】
李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系，请你完成上面的证明过程；
【迁移应用】
（2）如图②，△ABC是等边三角形，△ADC是等腰直角三角形，其中AC=AD，∠CAD=90°，AE是∠CAD的平分线，连接BD交AE与点F．猜想BF，AF，DF之间的数量关系，并证明你的猜想；
【能力提升】
（3）如图③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AB边上，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E，延长EB至点F，连接CF，连接AF交CD于点G，使CE=2GE+BE，若BE=8，BF=12，求△BCF的面积．
题型13 全等三角形常见模型（一线三等角）
46．（24-25八年级上·山西忻州·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（模型呈现）
（1）如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC=________，BC= ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（模型应用）
（2）如图2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，则有S1________S2（填“>、=、