北京市中国人民大学附属中学朝阳学校 八年级上学期期中数学测试 （解析版）-A4

这是一份北京市中国人民大学附属中学朝阳学校 八年级上学期期中数学测试 （解析版）-A4，共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 若三角形的两边长分别为2和3，则第三边的值可能是（ ）
A. 1B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查三角形三边关系，根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围解答即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得，
∴第三边可能为4，
故选：B．
2. 下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A 三角形B. 多边形C. 平行四边形D. 长方形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的稳定性“如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性”，熟练掌握三角形的稳定性是解题关键．根据三角形的稳定性求解即可得．
【详解】解：A、三角形具有稳定性，则此项符合题意；
B、多边形不具有稳定性，则此项不符合题意；
C、平行四边形不具有稳定性，则此项不符合题意；
D、长方形不具有稳定性，则此项不符合题意；
故选：A．
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法与除法、幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项正确，符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
4. 下列各式从左到右变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了因式分解“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式”，熟记因式分解的定义是解题关键．根据因式分解的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、等式的右边不是几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意；
B、等式的右边不是几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意；
C、等式的右边不是几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意；
D、等式的右边是几个整式积的形式，且左、右两边相等，则此项是因式分解，符合题意；
故选：D．
5. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系．解题的关键是熟记正多边形的边数与外角的关系．
正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用外角和除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数，据此求解即可．
【详解】解：∵正多边形的外角和等于，
∴这个正多边形的边数．
故选：B．
6. 若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的概念及性质是解题的关键．
由两个三角形全等可知，再由三角形的内角和定理即可得出答案．
【详解】解：如图，即为左图中边长为的边所对的角，
两个三角形全等，
，
又，
，
故选：．
7. 下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．根据分式的基本性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项正确，符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
8. 如图，在四边形中，，点分别为边上的点，且，则下列结论：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③；④的周长为的2倍．其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的判定定理、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．根据角平分线的判定定理即可判断①正确；连接，证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断②正确；延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，由此即可判断③错误；先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的周长公式即可判断④正确．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
又∵点在的内部，
∴点在的平分线上，则结论①正确；
如图，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点在的平分线上，结论②正确；
如图，延长至点，使得，连接，则，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点在的平分线上，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，则结论③错误；
由上已证：，
∴，
∴的周长为
，则结论④正确；
综上，结论正确的是①②④，
故选：B．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键
直接运用分式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：∵数式有意义，
∴，即．
故答案为．
10. 分解因式：=_______________．
【答案】a（a﹣b）．
【解析】
【详解】解：=a（a﹣b）．
故答案为a（a﹣b）．
【点睛】本题考查因式分解-提公因式法．
11. 如图，小明不小心将书上的一个三角形用墨迹污染了一部分，但他很快就根据所学知识画出了一个和书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据题意可得三角形的两角和它们的夹边是完整的，由此可利用定理作出完全一样的三角形，从而得解．
【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，故可以利用定理作出完全一样的三角形，
故答案为：．
12. 如图，△ABC 的外角平分线 AM 与边 BC 平行， 则∠B_____∠C（填“＞”，“=”，或 “＜”）．
【答案】＝
【解析】
【分析】依据AM∥BC，即可得到∠DAM＝∠B，∠CAM＝∠C，再根据AM平分∠DAC，即可得到∠DAM＝∠CAM，进而得出∠B＝∠C．
【详解】解：如图，∵AM∥BC，
∴∠DAM＝∠B，∠CAM＝∠C，
∵AM平分∠DAC，
∴∠DAM＝∠CAM，
∴∠B＝∠C．
故答案为：＝．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
13. 如图，B，E，C，F四个点在一条直线上．，，请添加一个条件使，则添加的条件可以是_______．
【答案】答案不唯一，如等
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
【详解】解：要使，已知，，
可以添加，运用来判定其全等；
也可添加一组角，运用来判定其全等；
添加，运用来判定其全等．
故答案为：（答案不唯一）．
14. 如图，于点于点，且．若，则的大小为_______．
【答案】25
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：25．
15. 如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成（无重叠、无缝隙）一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______（用含a，b的式子表示）．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，正确理解题意，根据完全平方公式解答即可．
【详解】解：由题意可知，拼成的大正方形面积为，
，
拼成的大正方形的边长为，
故答案为：．
16. 在中，是边上的两点，且，有下列四个推断：
①若是高，则可能是的中线；
②若是的中线，则可能是的高；
③若是的角平分线，则可能是的中线；
④若是的高，则不可能是的角平分线．
上述推断中所有正确结论的序号是_______．
【答案】②④
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、三角形的中线与高等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．证出，从而可得，则，由此即可判断①错误；延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据可得有可能等于，由此即可判断②正确；过点作于点，先求出，利用三角形的面积公式可得，则，由此即可判断③错误；先得出，再得出，由此即可判断④正确．
【详解】解：如图1，是的高，

∴，
∵在中，，
∴，
∴，即，
∴，
∵是边上的两点，且，
∴，
∴不可能是的中线，则结论①错误；
如图2，是的中线，
延长至点，使得，连接，

∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵在中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，
∴，有可能等于，
∴可能是的高，结论②正确；
如图3，是的角平分线，
过点作于点，

由角平分线的性质定理得：的边上的高与的边上的高相等，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴不可能是的中线，则结论③错误；
如图4，是的高，

∴，
∵在中，，
∴，
∴，即，
∵是边上的两点，且，
∴，，
∴，
∴不可能是的角平分线，则结论④正确；
综上，上述推断中所有正确结论的序号是②④，
故答案为：②④．
三、解答题（本题共68分，第17-22题每题5分，第23题6分，第24-25题每题5分，第26-27题每题7分，第28题8分）
17. 分解因式：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法和公式法分解因式．熟练掌握知识点是解题的关键．
先提公因式，再利用平方差公式进行分解即可．
【详解】，
解：．
故答案为：．
18. 已知，求代数式的值．
【答案】19
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值、单项式乘以多项式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据已知等式可得，再计算单项式乘以多项式、完全平方公式，然后代入计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．根据分式的乘法法则计算即可得．
【详解】解：
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算的法则是解题的关键．先用分式的加减法的法则计算括号里面的，再利用分式乘除法的法则计算括号外面的，最后把代入化简的结果中计算即可．
【详解】解：
；
当时，原式．
21. 如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠CAB=∠ADE，然后利用“角边角”证明△ABC和△DAE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．
【详解】证明：∵DE∥AB，
∴∠CAB=∠ADE．
在△ABC和△DAE中，∵，
∴△ABC≌△DAE（ASA）．
∴BC=AE．
【点睛】本题考查了三角形全等判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
22. 一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数．
【答案】10
【解析】
【分析】此题主要考查了多边形的外角和与内角和公式，做题的关键是正确把握内角和公式为：，外角和为．
根据多边形的外角和为，内角和公式为：，由题意列出方程即可得解．
【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意得：
，
解得：．
答：这个多边形的边数是10．
23. 下面是小东设计的尺规作图过程：
已知：如图，在中，．
求作：点，使得点在边上，且到和的距离相等．
作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点；
（2）分别以点圆心，大于为半径画弧，两弧交于点；
（3）画射线，交于点．所以点即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：过点作于点，连接．
在和中，
．
______________（_______）
，
．
，
（_______）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图—复杂作图，全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据过程即可补全图形；
（2）根据全等三角形的性质和角平分线的性质即可完成证明．
【小问1详解】
解：如图，即为补全图形；
【小问2详解】
证明：过点D作于点E， 连接，．
在与中，
在和中，
．
∴（全等三角形对应角相等）．
∵，
∴．
又∵，
∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
24. 学习分式运算过程中，老师布置了这样一个任务：依据下面的流程图，计算 ．
（1）依据上面流程图计算时，需要经历的路径是 （只填写序号）；
（2）依据（1）中路径写出正确解答过程．
【答案】（1）②④；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）观察到分母不一样得经过②，作差得需要经过④；
（2）先通分，化为同分母分式，再相减．
【详解】解：（1）根据形式可选②，
，选④，
故答案是：②④；
（2）原式，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了分式运算，解题的关键是掌握分式运算的基本步骤．
25. 如图，AD是的高，CE是的角平分线．若，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】AD是的高，有；由知；CE是的角平分线可得；，；在中，．
【详解】解：∵AD是的高
∴
∵
∴
∵CE是的角平分线
∴
∵
∴
∴在中，．
【点睛】本题考查了角平分线．解题的关键在于正确表示各角度之间的数量关系．
26. 阅读材料：
如果整数满足，其中都是整数，那么一定存在整数，使得．
例如，或．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）已知或．
若，则_______；
（2）已知（为整数），．若，求（用含的式子表示）；
（3）一般地，上述材料中的可以用含的式子表示，请直接写出一组满足条件的（用含的式子表示）．
【答案】（1）
（2）或
（3），
【解析】
【分析】本题考查了列代数式的变化．
（1）根据示例，可以得到，从而得到m的值；
（2）由题意，得到，化简整理可得到，从而得到结果；
（3）由题意，得到，从而得到m，n的式子．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，（c，d为整数），，
，
∵，，
∴，
∴或；
【小问3详解】
解：
，
∴，．
27. 在中，，射线的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．
（1）如图，射线都在的内部．
设，则_______（用含有的式子表示）；
在直线上取一点，使得，则线段与图中已有线段_______的长度相等．
（2）如图，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）；
；
（2），证明见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形．
根据角的和与差可得，把和的度数代入计算即可；
根据轴对称的性质可得，根据，等量代换可得；
在的延长线上截取，连接，可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据，可证．
【小问1详解】
解：，
，
故答案为：；
如下图所示，连接，
，，
，
又，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
证明：如下图所示，在的延长线上截取，连接，
则有，，
又，
，
设，
则，
，
又，
，
，
在和中，，
，
，
又，
，
28. 在平面直角坐标系中，对于点和点，若存在点，使得且，这样得到的点称为点关于点的“相关点”．
（1）如图1，已知点的坐标为，
①则点关于点的“相关点”坐标为_______；
②在这三个点中，点为点关于点_______的“相关点”．
（2）如图2，若点坐标为，点坐标为，
①在下列三个点中：，能成为点关于点的“相关点”的是_______；
②直接写出点关于点的“相关点”的坐标_______（用表示）．
【答案】（1）①或；②
（2）①；②或
【解析】
【分析】本题考查了点坐标与图形、三角形全等的判定与性质等知识，正确理解“相关点”的定义是解题关键．
（1）①根据“相关点”的定义画出图形（见解析），过点作轴于点，过点作轴于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，求出点的坐标，由此即可得；
②参考（1）的思路，过点作轴于点，过点作轴的垂线，交延长线于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，再求出的长，可得点的坐标，同理可得点的坐标，由此即可得；
（2）①当时，如图（见解析），，且，则点即为所求，过点轴于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得点的坐标，利用中点公式可得点的坐标；当时，同样的方法可得点的坐标，然后可得点关于点的“相关点”的横、纵坐标满足关系，据此分析点即可得；
②由（2）①的方法即可得出答案．
【小问1详解】
解：①如图，，且，则点即为所求．
过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
同理可得：；
∴点关于点的“相关点”坐标为或，
故答案为：或．
②当所求的点位于的上方时，
如图，，且，则点即为所求．
过点作轴于点，过点作轴的垂线，交延长线于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
联立，解得，
∴，
∴；
当所求的点位于的下方时，
同理可得：；
故答案为：．
【小问2详解】
解：①当时，
如图，，且，则点即为所求．
过点轴于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设点的坐标为，
∴，解得，
∴；
当时，
如图，，且，则点即为所求．
同理可得：，；
综上，点关于点的“相关点”的坐标为或．
∴点关于点的“相关点”的横、纵坐标满足或，
点的横、纵坐标满足，能成为点关于点的“相关点”，
点的横、纵坐标满足，能成为点关于点的“相关点”，
点的横、纵坐标满足，，不能成为点关于点的“相关点”，
故答案为：．
②由（2）①可知，点关于点的“相关点”的坐标为或，