安徽省江淮名校2025-2026学年高一上学期阶段检测数学（A）试卷（Word版附解析）

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式性质，基本不等式.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用并集的定义可得出集合.
【详解】因为，，则.
故选：D.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可.
【详解】命题“”为全称量词命题，
其否定是：.
故选：A.
3. 设、，“且”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】当且时，，则“且”“”，
另一方面，当时，可取，，
则“且”“”，
因此，“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知实数，，，满足，则下列结论正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式性质，结合反例法即可判断.
【详解】对A，，则，所以，故A正确；
对B，不妨设，则，故B错误；
对C，不妨设，则，故C错误；
对D，不妨设，则，故D错误；
故选：A
5. 已知集合或，，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】分、、三种情况讨论，求出集合，在时，直接验证即可；在、这两种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】因为集合或，，且，分以下几种情况讨论：
（1）当时，，合乎题意；
（2）当时，，则，
因为时，解得；
（3）当时，，则，
因为，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
6. 为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有名，参加乒乓球比赛的有名，参加网球比赛的有名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有名，同时参加乒乓球、网球比赛的有名，同时参加羽毛球、网球比赛的有名，则这三项比赛都参加的员工人数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设参加羽毛球、乒乓球、网球比赛的员工分别构成集合、、，设这三项比赛都参加的员工人数为，作出韦恩图，可得出关于实数的方程，解之即可.
【详解】设参加羽毛球、乒乓球、网球比赛的员工分别构成集合、、，
设这三项比赛都参加的员工人数为，根据题意得出如下韦恩图，
因为该公司共有名员工参加比赛，
则有，
即，解得，
因此，这三项比赛都参加的员工人数是.
故选：B.
7. 已知实数，则（ ）
A. 有最小值2B. 有最大值2
C. 有最小值6D. 无最小值
【答案】B
【解析】
【分析】对分式变形，利用均值不等式求导即可得解.
【详解】，
因为，所以.
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为2.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
8. 下列关系中正确的是（ ）
A. B. 
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系可判断A选项，根据集合与集合的关系可判断BC选项，利用集合相等可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，集合与集合之间没有包含关系，C错；
对于D选项，，D错.
故选：AB.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 的最小值为2D. 的最小值为2
【答案】AB
【解析】
【分析】利用基本不等式，注意等号成立条件判断A、B、D，根据不等式性质判断C.
【详解】当时，，
当且仅当时，即时等号成立，故A正确；
当时，，
当且仅当时，即时等号成立，故B正确；
当时，显然不成立，故C错误；
因，
当且仅当时等号成立，此时无解，故取不到等号，故D错误．
故选：AB
10. 若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则下列说法正确的是（ ）
A. M是Q的充分不必要条件
B. M是Q的必要不充分条件
C. M是P的充分不必要条件
D. M是P的必要不充分条件
【答案】AC
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，
所以能推得出，推不出，能推得出，能推得出，推不出，能推得出，
所以能推得出，推不出，所以M是Q的充分不必要条件，故A正确，B错误；
能推得出，推不出，所以M是P的充分不必要条件，故C正确，D错误.
故选：AC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
11. 若集合，且，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据属于的性质，运用分类讨论思想结合集合元素的互异性进行求解即可.
【详解】因为，
所以有，或，
解得或，
当时，，不符合集合元素互异性，故舍去，
当时，，符合集合元素互异性.
故答案为：
12. 已知，，，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用待定系数法结合不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】设，
所以，解得，故，
因为，，所以，
由不等式的基本性质可得，即，
故的取值范围是.
故答案为：.
13. 已知实数，满足，且，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】因为，所以，，，所以，，利用基本不等式求解最小值即可.
【详解】因为，所以，，
因为，所以，
由，所以.
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：
四､解答题：本题共小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
14. （1）比较与的大小；
（2）已知，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过做差来比较大小即可；
（2）通过做差来证明即可.
【详解】（1）,
；
（2），
，
，
，
即，证毕.
15. 已知全集，集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）应用集合的并补运算求集合；
（2）由题设是的真子集，列不等式求参数范围.
【小问1详解】
由题意知，
所以或，则或；
【小问2详解】
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
而，
所以且等号不同时成立，解得，即的取值范围是.
16. 已知，，；，使得.
（1）若是真命题，求的最大值；
（2）若p，q一个为真命题，一个为假命题，求的取值范围.
【答案】（1）1 （2）或.
【解析】
【分析】（1）由，利用全称命题为真命题即可求得；
（2）先求出命题q为真时a的取值范围，进而分类讨论：真假时和假真时，分别求出对应a的取值范围即可求解.
【小问1详解】
要使，为真命题，只需，即的最大值为1.
【小问2详解】
若使，使得为真命题，则，解得.
①真假时，只需所以；
②假真时，只需所以，
所以或.
综上，取值范围为或.
17. 如图，某农场紧急围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为28元/，新墙的造价为100元/，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）.
（1）写出关于的表达式；
（2）当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用.
【答案】（1）
（2）当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列式得出修建新墙费用和维修旧墙费用即可得出总费用；
（2）结合（1）应用基本不等式计算结合取等条件计算求解.
【小问1详解】
依题意，新墙总长度为，修建新墙费用为元，维修旧墙费用为元，
因此，
所以修建此矩形场地的总费用.
【小问2详解】
由（1）知，
当时，，
当且仅当，即时，，
所以当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元.
18. 已知非空数集S满足：对任意给定的x、（x、y可以相同），有且.
（1）哪个数一定是S中的元素？说明理由；
（2）若S是有限集，求S；
（3）若S中最小的正数为5，求S.
【答案】（1）0一定是中的元素，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用新定义判断即可得解；
（2）假设中有非零元素，利用新定义推出矛盾即可得解；
（3）先判断得5的正整数倍一定是中元素，再假设中有形如的元素，利用新定义推得也是的元素，从而得到矛盾，进而得解.
【小问1详解】
（1）数字0一定是中的元素，理由如下：
若，则，，即.
【小问2详解】
因为为有限非空数集，
假设中有非零元素，
则有形如的所有实数都是的元素，与是有限集矛盾，
所以.
【小问3详解】
因为中最小的正数为5，则5的正整数倍一定是中元素，
又，故当时，，
故所有形如的数都是的元素，
假设中有形如的元素，那么，
这与中最小正整数5矛盾，
综上，.