安徽省江淮名校2025-2026学年高一上学期10月阶段联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份安徽省江淮名校2025-2026学年高一上学期10月阶段联考数学试卷（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题p：，的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A．4B．8C．10D．16
4．已知实数，，，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知集合或，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
7．为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有名，参加乒乓球比赛的有名，参加网球比赛的有名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有名，同时参加乒乓球、网球比赛的有名，同时参加羽毛球、网球比赛的有名，则这三项比赛都参加的员工人数是（ ）
A．B．C．D．
8．已知实数，则（ ）
A．有最小值2B．有最大值2
C．有最小值6D．无最小值
二、多选题
9．下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．的最小值为2D．的最小值为2
11．已知有限数集中的元素均为实数，且对任意，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．中最大的元素不超过1
B．中最小的元素可以小于
C．若集合中只有一个元素，则或
D．若集合中有两个元素，则
三、填空题
12．若，则M与N的大小关系为 .
13．如图，坐标系中矩形及其内部的点构成的集合可表示为 .

14．若，则 .
四、解答题
15．已知集合，.
(1)求；
(2)求.
16．已知集合，．
(1)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
17．已知，，；，使得.
(1)若是真命题，求的最大值；
(2)若p，q一个为真命题，一个为假命题，求的取值范围.
18．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.
(1)当时，求海报纸（矩形）的周长；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
19．问题：已知、、均为正实数，且，求证：.
证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题：
(1)已知、、均为正实数，且，求的最小值；
(2)已知、、、均为正实数，且，求证：；
(3)求的最小值，并求出使得取得最小值时的值.
1．D
先求出集合A，再根据并集定义计算即可.
【详解】因为,所以.
故选：D.
2．D
根据全称量词命题的否定为存在量词命题，可直接得到结果.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题p：，的否定为:
，.
故选：D.
3．D
求出集合，即可求出子集个数.
【详解】由题意，，故其子集的个数为.
故选：D
4．A
根据不等式性质，结合反例法即可判断.
【详解】对A，，则，所以，故A正确；
对B，不妨设，则，故B错误；
对C，不妨设，则，故C错误；
对D，不妨设，则，故D错误；
故选：A
5．A
根据充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由，得且，所以“”可以得到“”；
由，得，所以“”不能得到“”.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6．B
分、、三种情况讨论，求出集合，在时，直接验证即可；在、这两种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】因为集合或，，且，分以下几种情况讨论：
（1）当时，，合乎题意；
（2）当时，，则，
因为时，解得；
（3）当时，，则，
因为，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
7．B
设参加羽毛球、乒乓球、网球比赛的员工分别构成集合、、，设这三项比赛都参加的员工人数为，作出韦恩图，可得出关于实数的方程，解之即可.
【详解】设参加羽毛球、乒乓球、网球比赛的员工分别构成集合、、，
设这三项比赛都参加的员工人数为，根据题意得出如下韦恩图，
因为该公司共有名员工参加比赛，
则有，
即，解得，
因此，这三项比赛都参加的员工人数是.
故选：B.
8．B
对分式变形，利用均值不等式求导即可得解.
【详解】，
因为，所以.
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为2.
故选：B.
9．CD
由元素与集合，集合与集合的关系逐项判断即可.
【详解】不含有任何元素，所以，故A错误；
不含有任何元素，含有元素，所以，故B错误；
是集合的一个元素，所以，故C正确；
空集是任何集合的子集，所以，故D正确.
故选：CD
10．AB
利用基本不等式，注意等号成立条件判断A、B、D，根据不等式性质判断C.
【详解】当时，，
当且仅当时，即时等号成立，故A正确；
当时，，
当且仅当时，即时等号成立，故B正确；
当时，显然不成立，故C错误；
因为，
当且仅当时等号成立，此时无解，故取不到等号，故D错误．
故选：AB
11．AC
对于A，设为数集中最大的元素，可知也是数集的元素，由,解不等式即可判断；
对于B,设为数集中最小的元素，可知和都是数集的元素，则,解不等式即可判断；
对于C,设为数集中唯一的元素，可知也是数集的元素，则,解方程即可求解；
对于D,举出也满足条件即可判断.
【详解】对于A，设为数集中最大的元素，根据数集的定义可知也是数集的元素，
则,解得：,所以数集中最大的元素不超过1，故A正确；
对于B,设为数集中最小的元素，根据数集的定义可知和都是数集的元素，
则,即,解得或，
所以数集中最小的元素不小于，故B不正确；
对于C,设为数集中唯一的元素，根据数集的定义可知也是数集的元素
，则,解得：或,则或，故C正确；
对于D,设集合中有两个元素分别为,，
当时，，，由于，所以，解得或(舍去)，此时；
当，时，，，，所以集合中有两个元素，则也满足条件,故D不正确；
故选：AC
12．
作差法比较大小即可.
【详解】因为 ，
所以.
故答案为: .
13．
根据阴影部分的点构成的集合求解即可.
【详解】易知阴影部分的点构成的集合为.
故答案为：.
14．
依题意可得①或②，再求出参数的值，从而得解，需代入检验是否满足集合元素的互异性.
【详解】因为，所以①或②，
由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，故符合题意，此时；
由②得符合题意，此时；
综上，的值为.
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）根据集合并集定义运算即可求；
（2）据集合补集和交集定义运算即可.
【详解】（1）由题可知，，
所以.
（2）因为或，
所以.
16．(1)
(2)
（1）成立的一个必要条件是，则，求解即可；
（2）由，则或，求解即可.
【详解】（1）因为集合，．
若成立的一个必要条件是，所以，
则，所以，
故实数的取值范围.
（2）若，则或，
所以或，
故实数的取值范围.
17．(1)1
(2)或.
（1）由，利用全称命题为真命题即可求得；
（2）先求出命题q为真时a的取值范围，进而分类讨论：真假时和假真时，分别求出对应a的取值范围即可求解.
【详解】（1）要使，为真命题，只需，即的最大值为1.
（2）若使，使得为真命题，则，解得.
①真假时，只需所以；
②假真时，只需所以，
所以或.
综上，的取值范围为或.
18．(1)900cm
(2)选择长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少
（1）根据宣传栏的面积以及可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形的周长；
（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.
【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为cm，
所以阴影部分的面积，所以，
又，故，
由图可知cm，cm.
海报纸的周长为cm.
故海报纸的周长为900 cm.
（2）由（1）知，，，
，
当且仅当，即cm，cm时等号成立，
此时，cm，cm.
故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)当时，取最小值
（1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值；
（2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证得所证不等式成立；
（3）分析可得，利用（2）中的结论可得出，可求得的最小值，结合（2）中的结论可求得对应的的值.
【详解】（1）解：因为、、均为正实数，且，
则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为.
（2）证明：因为、、、均为正实数，且，
则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，故.
（3）解：对于代数式，有，可得，
此时，，则，
所以，，
由（2）中的结论可得，可得，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
D
A
A
B
B
B
CD
AB
题号
11









答案
AC