2025-2026学年广东省潮州市九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年广东省潮州市九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.剪纸艺术是国家级第一批非物质文化遗产，下列图案中，是中心对称图形的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.若（a-3）x2+2x-1=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A. a≠0B. a≠3C. a≥0D. a≤2
3.已知抛物线顶点坐标为（2，3），则抛物线的解析式可能为（ ）
A. y=-（x+2）2-3B. y=-（x-2）2-3C. y=-（x+2）2+3D. y=-（x-2）2+3
4.已知P1（a,-2）和P2（3，b）关于原点对称，则（a+b）2025的值为（ ）
A. -1B. 1C. -52025D. 52025
5.如图，△ABC中，将△ABC绕点A顺时针旋转40°后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠AC′C的度数为（ ）
A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°
6.已知a是关于x的一元二次方程x2+2025x=2的一个解，则a2+2025a的值为（ ）
A. 2B. -2C. 1D. -1
7.二次函数y=x2-6x+9与x轴的交点个数是（ ）
A. 只有一个交点B. 有两个交点C. 没有交点D. 无法确定
8.小明解方程x2-2x-8=0的过程如图所示，开始出现错误的是（ ）
A. 第一步B. 第二步C. 第三步D. 第四步
9.已知点A（-1，y1），B（4，y2），C（1，y3）均在抛物线y=-x2+4x+m上，下列说法中正确的是（ ）
A. y3＜y2＜y1B. y2＜y1＜y3C. y2＜y3＜y1D. y1＜y2＜y3
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（ ）
A. 3
B.
C. 5
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.二次函数y=-3（x+2）2+5的图象开口方向是 .
12.小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，如果小明家距离学校600m,那么他们两家相距 .
13.已知m、n是一元二次方程x2+4x+1=0的两个实数根，则代数式mn+4的值是 .
14.二次函数y=x2-2x+k的部分图象如图所示，不等式x2-2x+k＜0的解集是 .
15.如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA=AB=5，点B到x轴的距离为4，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，则点B′的坐标为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
解方程：x2-6x=7．
17.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标是（5，3）.
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，并写出C1点的坐标；
（2）在x轴上有一点P，使得PA+PC的值最小，请直接写出点P的坐标.
18.(本小题7分)
已知函数是二次函数.
（1）求m的值；
（2）写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当-1≤x≤2时，求y的取值范围.
19.(本小题9分)
已知关于x的方程mx2-x-1=0有两个不相等的实数根，
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的一个根是1，求方程的另一个根及m的值．
20.(本小题9分)
如图，已知正方形ABCD，点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且CF=AE．以图中某一点为旋转中心，将△DAE按逆时针方向旋转一定角度后恰好与△DCF重合．
（1）旋转中心是点______，旋转角的度数为______°．
（2）判断△DFE的形状并说明理由．
21.(本小题9分)
综合与实践：制定商品定价策略
【素材】某班计划在校园义卖中出售手工编织手链，所有收入将捐赠给环保项目.已知每只手链的成本为5元，初始定价为10元时，预计每天可售出30只.若定价每提高1元，销量会减少2只，每降低1元，销量增加2只，为最大化公益收益，班级需制定科学定价策略.
【问题解决】
任务1：设手链定价为x元（x＞5），销量为______只（用x的代数式表示）.
任务2：①若班级希望每天利润为128元，那么这手链的定价为多少元？
②当手链定价为多少元时，每天利润有最大值，并求出利润的最大值为多少元.
22.(本小题13分)
定义：若以三条线段a,b,c为边能构成一个直角三角形，则称线段a,b,c是勾股线段组.
​
（1）如图①，已知点M，N是线段AB上的点，线段AM，MN，NB是勾股线段组.若AB=12，AM=3，求MN的长；
（2）如图②，△ABC中，∠A=17°，∠B=28°，边AC，BC的垂直平分线分别交AB于点M，N，求证：线段AM，MN，NB是勾股线段组；
（3）如图③，在等边△ABC，P为△ABC内一点，线段AP，BP，CP构成勾股线段组，CP为此线段组的最长线段，求∠APB的度数.
23.(本小题14分)
如图，直线y=kx+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线的顶点坐标（1，4）．
（1）求k的值和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAB的周长最小，并求出最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】向下
12.【答案】1200m
13.【答案】5
14.【答案】-1＜x＜3
15.【答案】（-4，8）
16.【答案】解：∵x2-6x=7，
∴x2-6x-7=0，
∴（x-7）（x+1）=0，
则x-7=0或x+1=0，
解得x1=7，x2=-1．
17.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，C1点的坐标（-5，-3）；
（2）如图，点P即为所求，点P的坐标（2，0）．

18.【答案】m=-1；
对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-3）；
-11≤y≤-3
19.【答案】解：（1）由题意可知：△=1+4m＞0，
∴m＞，
∵m≠0，
∴m＞且m≠0；
（2）将x=1代入mx2-x-1=0，
∴m-1-1=0，
∴m=2，
设该方程的另外一个根为x
由根与系数的关系可知：1×x=-1，
∴x=-1．
20.【答案】解：（1） D，90；
（2）△DEF是等腰直角三角形，
理由如下：∵将△DAE按逆时针方向旋转一定角度后恰好与△DCF重合，
∴∠ADC=∠EDF=90°，DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形．
21.【答案】（50-2x）
22.【答案】MN=4或5 证明过程见解答 150°
23.【答案】解：（1）对于直线y=kx+3，
令x=0，得到y=3，抛物线过点（0，3），
设y=a（x-1）2+4，
代入（0，3），解得a=-1，
则抛物线解析式为y=-（x-1）²+4=-x2+2x+3；
令y=0，0=-（x-1）²+4，解得x=-1或3，
∴A（-1，0），代入y=kx+3，解得k=3；
（2）连接BC，与抛物线对称轴交于点P，连接AP，由对称性得AP=CP，如图1所示，此时△ABP周长最小，

由抛物线解析式y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，得到对称轴为直线x=1，
设直线BC解析式为y=mx+n，
将B（0，3），C（3，0）代入得：，
解得：m=-1，n=3，即直线BC解析式为y=-x+3，
联立得：，
解得：，即P（1，2），
根据两点间的距离公式得：AB=，BC=3，
则P（1，2），周长为AB+BP+AP=AB+BP+PC=AB+BC=3+；
（3）在抛物线的对称轴上存在点Q，使△ABQ是等腰三角形，
如图2所示，分四种情况考虑：

当AB=AQ1==时，
在Rt△AQ1Q3中，AQ3=2，AQ1=，
根据勾股定理得：Q1Q3==，此时Q1（1，）；
由对称性可得Q2（1，-）；
当AB=BQ3时，可得OQ3=OA=1，此时Q3（1，0）；
当AQ4=BQ4时，Q4为线段AB垂直平分线与对称轴的交点，
∵A（-1，0），B（0，3），
∴直线AB的k值为3，中点坐标为（-，），
∴线段AB垂直平分线方程为y-=-（x+），
令x=1，得到y=1，此时Q4（1，1），
综上，Q的坐标为（1，）或（1，-）或（1，0）或（1，1）．