天津专用2025_2026学年高一数学上学期第一次月考02新人教A版必修第一册第1~2章：集合与常用逻辑用语不等式含解析

这是一份天津专用2025_2026学年高一数学上学期第一次月考02新人教A版必修第一册第1~2章：集合与常用逻辑用语不等式含解析，共14页。试卷主要包含了测试范围，下列六个写法，已知 ，则 的最小值为，已知集合 ， ，设 a， ，若集合 ，则 .等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版（2019）必修第一册第 1-2 章集合与常用逻辑用语＋不等式
第 I 卷（选择题）共 45 分
一、选择题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ， 则 =（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算
【分析】根据集合的交集运算以及补集运算，即可求得答案.
【详解】由题意可知 ，结合 ，
可得 ，
故选：B
2．命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【知识点】特称命题的否定及其真假判断
【分析】利用存在量词命题的否定直接判断即可.
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【详解】命题“ ， ”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以所求的否定是： ， .
故选：D
3．满足关系{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}的集合的个数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】求集合的子集（真子集）
【解析】根据{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}列举求解.
【详解】因为{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}，
所以 A={1，2}，A={1，2，3}，A={1，2，4}，A={1，2，5}，A={1，2，3，4}，
A={1，2，3，5}，A={1，2，4，5}，A={1，2，3，4，5}，共 8 个，
故选：C
4．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件、分式不等式
【分析】化简不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】不等式 ，不等式 ，
而集合 是集合 的真子集，
所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件.
故选：B
5．下列六个写法：① ；② ；③ ；④ Ø；⑤ Ø ；⑥Ø⫋{0}，其中
错误写法的个数为（ ）
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的性质及应用
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【分析】根据集合与集合、集合与元素及空集的性质判断各项的正误，即可确定错误写法的个数.
【详解】①两个集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②0.3 是有理数，即 ，故错误；
③ 所含元素相同， 正确；
④空集没有任何元素，故错误；
⑤任意集合与空集的交集为空集，故错误；
⑥空集是任意非空集合的真子集，故正确.
故错误的有①②④⑤.
故选：B.
6． ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据 可得 ，从而可讨论 B 是否为空集建立不等关系解出 的范围即可．
【详解】已知集合 ， ，
， ，
①当 时，满足 ，此时 ，故 ；
②当 时，因 ，则 ，解得 ．
综上， ．
故选：A.
7．已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】D
【知识点】基本不等式求和的最小值
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【分析】利用基本不等式即得.
【详解】因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，且 ，即 时，取等号，
所以 的最小值为 2.
故选：D.
8．命题“ ”为假命题，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真
假判断、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】由题意可知已知命题的否定为真命题，进而根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，命题“ ”的否定，
即命题“ ”真命题，
根据二次函数的性质可得，应有 ，
解得 .
故选：C.
9．已知集合 ， ．若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则实数 m 的
取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数、解不含参数的
一元二次不等式
【分析】解一元二次不等式可得 ，即可写出 ，由题意知 且 ，即可根据集合之间
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的关系求得 m.
【详解】由 ，即 ，故 ．
“ ”是“ ”的必要不充分条件 且 ．
由 且 ，结合 ，
故 .
故选：C
第 II 卷（非选择题）共 105 分
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10．设 a， ，若集合 ，则 .
【答案】0
【知识点】根据集合相等关系进行计算
【分析】利用集合相等以及 ，可得 ，即 ，代入原式可得 的值，进而求出答案．
【详解】由题意可知： ，
因为 ，则 ，可得 ，
则 ，可得 ，且满足 ，
所以 .
故答案为：0.
11．已知实数 ， 满足 ， ，则 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用不等式求值或取值范围
【分析】根据不等式的性质可求 的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ，故 ，
故答案为：
12．已知关于 x 的不等式 的解集为 ，则 的值为 ．
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【答案】
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数
【分析】由题得 、 为方程 的根，将 代入 ，即可求解.
【详解】由题可得得 、 为方程 的根，
将 代入 ，得 ，
即 .
故答案为：
13．一学校举办运动会时，高一（1）班共有 28 名同学参加比赛，有 15 人参加趣味益智类比赛．有 8 人参
加田径比赛，有 14 人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有 3 人，同时参加趣味益智类
比赛和球类比赛的有 3 人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同
时参加田径和球类比赛的人数为
【答案】 9 3
【知识点】容斥原理的应用
【分析】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同时参加趣
味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参加趣味益智类一项比
赛的人数，设同时参加田径和球类比赛的人数为 ，列出方程计算即可．
【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为 15，
且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有 3 人；
同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有 3 人．
又因为没有人同时参加三项比赛，
所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为： 人．
设同时参加田径和球类比赛的人数为 ，由题意得：
，
解得： ，
故同时参加田径和球类比赛的人数为 ，
故答案为：9；3．
14．设实数 满足条件：关于 的方程 至多一个实数根.
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（1）则 的取值范围是 ；
（2）在此条件下，使 有解，则 的取值范围为 .
【答案】 ．
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【分析】（1）根据题意，只需满足 求解即可；
（2）将 分离，得到关于 的不等式，令 进行换元，得到关于 的函数，求出该函数的单调性，根
据题中条件可知，函数有解，求得该函数的最大值即可.
【详解】（1）由方程至多一个实数根需满足 ，其中判别式：
，
解得
即 的取值范围为 ;
（2）对于 ，使 有解，
即 在 上能成立，令 ，则 ，
则 ，
因为对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 ，
即实数 的取值范围 .
故答案为：（1） ，（2）
15．已知 ，且 ，则 的最小值为 ，此时 ．
【答案】 12 或 1
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】由 代入目标式，应用基本不等式求目标式的最小值，并确定取值条件.
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【详解】由题设 ，则 ，
又 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
此时 ，可得 ，故 或 时等号成立.
综上， 或 时目标式取最小值为 12.
故答案为：12； 或 1
三、解答题：本题共 5 小题，共 45 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．已知全集 ，集合 ，集合 .求：
(1) ；
(2) ；
(3) .
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】交集的概念及运算、交并补混合运算
【分析】（1）利用交集的定义可求得集合 ；
（2）（3）利用并集和补集的定义可求得结果.
【详解】（1）因为集合 ，集合 ，则 .
（2）因为全集 ，
则 ，故 .
（3）由题意可得 ，则 .
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17．已知全集为 ， 集合 .
(1)求 ， ；
(2)求 ， ；
(3)若 ， 求 a 的取值范围.
【答案】(1)
(2) ， 或
(3)
【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、补集的概念及运算、交并补混合运算
【分析】（1）根据交、并集的概念与运算即可求解；
（2）根据交并补集的概念与运算即可求解；
（3）易知 ，根据集合间的运算建立不等式，解之即可求解.
【详解】（1）由题意知， ；
（2）由题意知， 或 ， 或 .
所以 ， 或 ；
（3）由 知 ，
当 时， 或 ，
解得 或 ，
即实数 的取值范围为 .
18．求下列不等式的解集：
(1) ;
(2) ；
(3) ；
【答案】(1)
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(2)
(3)
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式、分类讨论解绝对值不等式
【分析】（1）不等式移项，化二次项系数为正，因式分解后，结合一元二次方程的根可得解集；
（2）根据分式不等式的解法转化为整式不等式求解；
（3）化为整式不等式平方后求解即可；
【详解】（1）原不等式可化为 ，即 ，
所以 ，
故原不等式的解集为
（2）由 可得 ，
即 ，解得 ，
所以不等式的解集为 .
（3）由 可得 ，
即 ，解得 且 ，
所以不等式的解集为 .
19．（1）求函数 的最大值；
（2）求函数 的最小值；
（3）已知 ， 且 ，求使不等式 恒成立的实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）9；（3）
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
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【分析】（1）（2）对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值；
（3）先常数代换变形，再利用基本不等式求解最值；
【详解】（1）由 ，得 ，
因此 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以原函数的最大值为 .
（2）由 ，得 ，
因此 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以原函数的最小值为 9.
（3）由 ，
则 ．
当且仅当 ，即 时取到最小值 16．
若 恒成立，则 ．
20．（1）若对于任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若对于任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
（3）解关于 的不等式 .
【答案】（1） ；（2） ；（3）答案见解析
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】（1）根据题意，转化为 恒成立，令 ，结合一次函数的单
调性，列出不等式，即可求解；
（2）根据题意，转化为 恒成立，令 ，结合二次单调性，求得 ，进
而求得实数 的取值范围；
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（3）根据题意，不等式化为 ，分 ， 和 ，三种情况分类讨论，结合一元
二次不等式的解法，即可求解.
【详解】解：（1）不等式 可得化为 ，
因为对于任意 ，不等式 恒成立，
即对于任意 ，不等式 恒成立，
令 ，
因为 ，所以函数 在 上为单调递增函数，
所以 ，即 ，
解得 ，所以实数 的取值范围为 .
（2）由不等式 可化为 ，
因为 ，且对于任意 ， 恒成立，
即对于任意 ， 恒成立，
令 ，可得函数 在 为单调递增函数，
所以 ，所以 的最小值为 ，
可得 ，所以实数 的取值范围为 .
（3）由不等式 ，即 ，
若 时，不等式可化为 ，解得 ，不等式的解集为 ；
若 时，不等式可化为 ，
①当 时，不等式即为 ，解得 ，不等式的解集为 ；
②当 时，不等式即为 ，
当 时，即 时，解得 或 ，解集为 ；
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当 时，即 时，不等式即为 ，解得 ，
此时不等式的解集为 ；
当 时，即 时，解得 或 ，解集为 ，
综上可得：
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
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