北京市2025_2026学年高二数学上学期第一次月考01范围：空间向量与立体几何直线含解析

这是一份北京市2025_2026学年高二数学上学期第一次月考01范围：空间向量与立体几何直线含解析，共28页。试卷主要包含了测试范围等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：空间向量与立体几何+直线方程。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直线 的斜率为 ，因此倾斜角为 ，
故选：D．
2．点 到直线 的距离等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】点 到直线 的距离等于 .
故选：C
3．在空间直角坐标系中，已知点 ， ， ，若 三点共线，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于 ，
/
由于 三点共线，所以 ，解得 ，
故 ,
故选：A
4．两条直线 与 之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由两平行线之间的距离公式可得 .
故选：C
5．若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 构成空间的一个基底，所以 不共面，
对于 A，因为 ，所以 共面，故 A 错误；
对于 B，因为 ，所以 共面，故 B 错误；
对于 C，设 ，则 ，方程组无解，所以 不共面，故 C 正确；
对于 D，因为 ，所以 共面，故 D 错误；
故选：C.
6．如图，在四面体 中，点 E，F 分别为 的中点，则 （ ）
A． B．
/
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 ,
故选：A.
7．“ ”是“直线 和直线 平行”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若直线 与直线 平行，
则有 ，解得 或 ，
当 时，直线 即为 ，
直线 ，即为 ，两直线平行，符合题意；
当 时，直线 即为直线 ，
直线 ，即为 ，两直线平行，符合题意；
故两直线平行时， 或 ，
所以“ ”是“直线 和直线 平行”的充分不必要条件，
故选；C.
8．棱长为 2 的正四面体 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，则 （ ）
A．1 B．－1 C． D．
【答案】A
/
【解析】 ，所以 ．
故选：A．
9．设点 、 ，若直线 l 过点 且与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】A
【解析】解：如图所示：由题意得，所求直线 的斜率 满足 或 ，
∵ ， ，
∴直线 的斜率 的取值范围是 或 ，
故选：A.
10．如图，在正方体 中， 是 中点，点 在线段 上，若直线 与平面 所成
的角为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
/
【解析】如图，设正方体棱长为 1， ，则 ，
以 为原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系.
则 ，故 ，
又 ，则 ，所以 .
在正方体 中，可知体对角线 平面 ，
所以 是平面 的一个法向量，
所以 .
所以当 时， 取得最大值 ，当 或 1 时， 取得最小值 .
所以 .
故选：A.
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11．经过点 ，斜率为 3 的直线方程为 ．
【答案】
【解析】由题意经过点 ，斜率为 3 的直线方程为 ，整理得 .
故答案为： .
/
12．已知直线 和直线 垂直，则实数 的值为 ．
【答案】 /
【解析】因为直线 和直线 垂直，
所以 ，解得 .
故答案为：
13．光线从点 射到 轴上，经反射后经过点 ，则反射光线所在直线的方程为 ，
光线从 到 的路线长度为 .
【答案】
【解析】由题设，反射光线过 和 ，故斜率为 ，
所以反射光线为 ，整理得 ，
光线从 到 的路线长度，即为 与 的距离，
所以路线长度为 .
故答案为： ，
14．如图，平行六面体 的所有棱长均为 两两所成夹角均为 ，点 分别
在棱 上，且 ，则 ；直线 与 所成角的余弦值为 .
【答案】
【解析】连接 ，
/
，
故 ；
，
故
，
故 ，
则
，
故直线 与 所成角的余弦值为 .
故答案为： ；
15．如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 E 是 的中点，则下列说法正确的有
/
①． 与平面 所成角的正弦值为
②． 与 所成角的余弦值为
③．点 到直线 的距离为
④． 和平面 的距离为
【答案】②③④
【解析】
以 为原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
对于①，设平面 的法向量为 ，
，设 与平面 所成角为
所以 ，故①错误；
对于②， ，设 与 所成角为 ，
则 ，故②正确；
/
对于③， ，
由点到直线的距离公式可得 ，故③正确；
对于④，设平面 的法向量为 ， ，
则 ，
取 ，则 ，
由 可得 平面 ，所以 和平面 的距离即为点 到平面 的
距离，
由点到直线的距离公式可得 ，故④正确.
故选：②③④
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（12 分）已知 的顶点坐标分别是 ， ， ， 为 边的中点.
(1)求直线 的斜率；
(2)求中线 的方程.
16.（12 分）
【答案】(1) ；
【解析】（1）直线 的斜率 .
（2）依题意， 边的中点 ，则直线 的斜率 ，
所以直线 的方程是 ，即 .
17．（15 分）已知向量 ， ，
(1)求 的值；
(2)求 ；
(3)求 的最小值.
17.（15 分）
/
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 .
（2）因为 ， ，
所以 .
（3）因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
当 时， 取得最小值 ，则 最小值为 .
18．（14 分）在正四棱柱 中， ， 是棱 上的中点．
(1)求证： ；
(2)异面直线 与 所成角的余弦值．
18.（14 分）
【解析】（1）证明：以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标
系，因为 ，
所以 ，
/
，
，
所以 ；
（2） ，
设异面直线 与 所成角的大小为 ，
则 ，
故异面直线 AM 与 BC 所成角的余弦值为 ．
19．（15 分）已知 的顶点为 、ꢀ 、 .
(1)求 边所在直线的方程；
(2)求 边上的高线所在直线的方程；
(3)求 的面积.
19.（15 分）
【解析】（1）因为 .
/
所以直线 的方程为： 即 .
（2）因为 ，所以 边上的高的斜率为： .
所以边 上的高所在的直线为： 即 .
（3）如图：作 轴于点 ， 轴于点 ，则 ， .
所以 .
20．（15 分）如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是边长为 的正方形， ， ， 分别
为 和 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若已知点 到平面 的距离 2．从条件①，条件②中选择一个作为已知，求直线 与平面 所成
角的正弦值．
条件①：平面 平面 ；
条件②： ．
20.（15 分）
【解析】（1）取 中点 ，连接 ， ，
因为 ， 分别为 ， 中点，
所以 ， ，
因为底面 是正方形， 为 中点，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，又 在 外， 在平面 内，
所以 平面 ；
/
（2）连接 与 交于点 O，连接 ，因为 是正方形，所以 是 ， 的中点，
选条件①：因为 ，O 是 AC 的中点，所以 ，
又因为平面 平面 ABCD，交线是 AC，所以 平面 ABCD，
所以 ，且 ，
又 ，所以，分别以 OC，OD，OP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
由已知可得 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 MCD 的一个法向量为 ，
则 ，取 ， ，所以 ，
设直线 与平面 MCD 所成的角为 ，
所以 ．
选条件②：因为 ， ，O 是 ， 的中点，所以 ， ，
又 ，所以 平面 ABCD，所以 ，又 ，所以，分别以 OC，OD，OP 为 x，y，
z 轴建立空间直角坐标系，以下同条件①．
21．（15 分）如图，设直线 ： ， ： 点 A 的坐标为 过点 A 的直线 l 的斜率
为 k，且与 ， 分别交于点 M， N 的纵坐标均为正数
/
（1）设 ，求 面积的最小值；
（2）是否存在实数 a，使得 的值与 k 无关 若存在，求出所有这样的实数 a；若不存在，说明
理由．
21.（15 分）
【解析】(1)因为直线 l 过点 ，且斜率为 k，
所以直线 l 的方程为
因为直线 l 与 ， 分别交于点 M，N，所以 ，
因此由 得 ，即 ，
由 得 ，即
又因为 M，N 的纵坐标均为正数，
所以 ，即
而 ，因此
又因为当 时，直线 OA 的方程为 ，
， ，且 ，
所以点 M 到直线 OA 的距离为 ，
点 N 到直线 OA 的距离为 ，
因此 面积
令 ，则 且 ，
因此
/
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 S 的最小值为 ，即 面积的最小值为
(2)存在实数 ，使得 的值与 k 无关．
由(1)知： ， ，且
因此 ， ，
所以
又因为 ，所以当 时， 为定值 ，
因此存在实数 ，使得 的值与 k 无关．
/