2025-2026学年江苏省宿迁市经开区八年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年江苏省宿迁市经开区八年级（上）期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列四个实数中，无理数的是( )
A. 0B. 38C. 6D. 12
2.△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A. a2+b2=c2B. a=5，b=12，c=13
C. ∠A：∠B：∠C=3：4：5D. ∠A=∠B+∠C
3.已知等腰三角形的一内角度数为40∘，则它的顶角的度数为( )
A. 40∘B. 80∘C. 100∘D. 40∘或100∘
4.下列计算正确的是( )
A. 4+ 9= 13B. ± 9=±3C. −327=3D. 16=±4
5.如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是( )
A. AC=BDB. ∠CAB=∠DBA
C. ∠C=∠DD. BC=AD
6.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=32，则△BCE的面积等于( )
A. 3
B. 154
C. 4
D. 92
7.如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2−S1=20，则图中阴影部分的面积为( )
A. 5
B. 92
C. 4
D. 72
8.如图，△ABC中，∠ACB=60∘，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，AE=5，AF=3，BE⊥AG交MG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有( )
①∠AFB=120∘；
②若∠BAD=70∘，则∠EBC=5∘；
③BF= 2EF；
④BE=CE；
⑤AB=BG+AD；
⑥S△BGF：S△AFD=5：3.
A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9. 25= .
10.若一个正数的两个不同的平方根分别是2a−1和−a+2，则这个正数是______.
11.若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为______.
12.小成编写了一个程序：输入x→x2→立方根→倒数→算术平方根→12，则x为 .
13.等腰三角形的两边长分别为6和2，则该三角形的周长为 .
14.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交边AC，AB于点D和点E，连接CE.若BC=4，AB=6，则△CBE周长为 .
15.如图，在△ABC中，AB=AC，点F在AC上，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E.若∠AFD=155∘，则∠EDF的度数等于 .
16.已知实数a，b，c满足b−4= −(a−2)2，c的平方根等于它本身，则a− b−c的值为 .
17.如图，∠B=45∘，BC= 2，在射线BM上取一点A，设AC=d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，则d的取值范围 .
18.如图，在钝角三角形ABC中，∠CAB=15∘，AB=2.点D是AB边上任意一点，点E是AC边上一动点，当DE+BE取得最小值时，AD的长为 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.(1)计算 (−5)2+3−27−( 6)2；
(2)若(2x−1)3=−8，求x的值．
四、解答题：本题共9小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
如图，点B在线段AC上，BD//CE，AB=EC，DB=BC.求证：AD=EB.
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，已知AB=13，CD=12，AD=15，△ADC的面积是72，求BD的长.
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=110∘，点E为△ABC外一点，CD平分∠ACB交AE于点D，且∠CDE=75∘，若CE=CA，求∠DCE的度数.
23.(本小题10分)
如图，在6×7的正方形网格中，点A，B，C在格点上.
(1)直接写出∠BAC的度数；
(2)画出∠BAC的角平分线AE；
(3)在此网格中取一个格点D，使△ADB≌△ADC，并且两个三角形的一个钝角均为135∘.画出这两个三角形；
24.(本小题10分)
已知实数a+9的一个平方根是−5，2b−a的立方根是−2，c是 43的整数部分.
(1)求a，b，c的值；
(2)求2a+b的算术平方根.
25.(本小题10分)
如图，△ABC中，∠BAC=80∘，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
(1)求∠PAQ的度数．
(2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．
26.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，BC=6，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动.设点P的运动时间为t秒.(t>0).
(1)AC的长为______；
(2)当点P在∠ABC的角平分线上，则PC的长为______；
(3)在整个运动中，求出△ABP以BP为腰时t的值.
27.(本小题12分)
定义：若三角形一条边上的高的长度等于这条边长度的2倍，则这个三角形叫做“高倍底”三角形，这条边叫做这个三角形的“基底”.
(1)概念理解：下列属于“高倍底”三角形的有______；(填序号)
①等边三角形；②等腰直角三角形；③三边长分别是1，2， 5的三角形.
(2)问题探究：如图，△ABC是“高倍底”三角形，BC是“基底”.若∠ABC=135∘，AB= 2，求BC的长；
(3)应用拓展：△ABC是“高倍底”三角形，BC是“基底”，∠ABC>90∘.将△ABC沿着边AB翻折得到△ABC′，连接CC′.若BC=2，且△ABC有一条边长为5，求CC′的长.
28.(本小题12分)
(1)如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使PA+PB最小？将下面解决问题的思路补充完整.
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=8，E，F为AB上的两个动点，且AE=BF，求CE+CF的最小值；
(3)如图③，在△ABC中，∠ABC=60∘，AC=6，BC=4，点D，E分别为AB，AC上的动点，且AD=CE，请直接写出CD+BE的最小值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：观察选项中的数，0，38=2，12是有理数， 6是无理数，
故选：C.
根据无理数是无限不循环小数逐项判断求解即可．
本题考查实数的分类、无理数，掌握无理数的定义是解答本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵a2+b2=c2，
∴∠C=90∘，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵a=5，b=12，c=13，
∴a2+b2=c2，
∴∠C=90∘，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∴最大角∠C=512×180∘≠90∘，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180∘，
∴∠A=90∘，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C.
根据勾股定理的逆定理即可判断A和B；根据三角形的内角和定理即可判断C和D.
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能灵活运用定理进行计算和推理是解此题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：①若40∘是顶角，则底角=180∘−40∘2=70∘；
②若40∘是底角，那么顶角=180∘−2×40∘=100∘.
故选：D.
分类讨论，①若40∘是顶角；②若40∘是底角，再结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理可求度数．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，等腰三角形两个底角相等．
4.【答案】B
【解析】解：A、 4+ 9=2+3=5，故此选项不符合题意；
B、± 9=±3，故此选项符合题意；
C、−327=−3，故此选项不符合题意；
D、 16=4，故此选项不符合题意；
故选：B.
根据二次根式的加减法则、平方根、立方根、算术平方根的定义分别计算判断即可．
本题考查了二次根式的加减、平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．
【解答】
解：由题意，得∠ABC=∠BAD，AB=BA，
A、∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，(SSA)三角形不全等，故A错误；
B、在△ABC与△BAD中， ∠ABC=∠BAD AB=BA∠CAB=∠DBA，△ABC≌△BAD(ASA)，故B正确；
C、在△ABC与△BAD中，∠C=∠D ∠ABC=∠BADAB=BA，△ABC≌△BAD(AAS)，故C正确；
D、在△ABC与△BAD中， BC=AD ∠ABC=∠BAD AB=BA，△ABC≌△BAD(SAS)，故D正确；
故选A.
6.【答案】B
【解析】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF=DE=32，
∴△BCE的面积=12×BC×EF=154.
作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质定理得到EF=DE=2，根据三角形面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵△ABC为直角三角形，
∴AB2+AC2=BC2，
∵S1=AC2，S2=AB2，S3=BC2，
∴S1+S2=S3，
∵S3+S2−S1=20，
∴S1+S2+S2−S1=20，
解得S2=10，
∴AB= 10，
∴图中阴影部分的面积为 10× 102=5，
故选：A.
根据勾股定理，可以得到S1，S2，S3之间的关系，然后根据S3+S2−S1=20，可以得到S2的值，从而可以得到AB的值，进而求出阴影部分的面积．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出AB的值．
8.【答案】C
【解析】解：①在△ABC中，∠ACB=60∘，
∴∠CAB+∠CBA=180∘−∠ACB=120∘，
∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC，AG、BD相交于点F，
∴∠FAB=12∠CAB，∠FBA=12∠CBA，
∴∠FAB+∠FBA=12(∠CAB+∠CBA)=60∘，
在△FAB中，∠AFB=180∘−(∠FAB+∠FBA)=120∘，
故结论①正确；
②若∠BAD=70∘，
∵AG平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAD=35∘，
在△ABC中，∠ACB=60∘，∠BAD=70∘，
∴∠CBA=180∘−(∠ACB+∠BAD)=180∘−(60∘+70∘)=50∘，
∵BE⊥AG交MG的延长线于点E，
∴△ABE是直角三角形，
∴∠ABE=90∘−∠BAE=90∘−35∘=55∘，
∴∠EBC=∠ABE−∠CBA=55∘−50∘=5∘，
故结论②正确；
③由结论①正确得：∠AFB=120∘，
∴∠BFE=∠AFD=180∘−∠AFB=60∘，
∵BE⊥AG交MG的延长线于点E，
∴△BEF是直角三角形，
在Rt△BEF中，∠EBF=90∘−∠BFE=90∘−60∘=30∘，
∴BF=2EF，
故结论③正确；
④延长BE交AC的延长线于点H，如图1所示：
∵AG平分∠BAC，
∴∠BAE=∠HAE，
∵BE⊥AG交MG的延长线于点E，
∴∠AEB=∠AEH=90∘，
在△AEB和△AEH中，
∠BAE=∠HAEAE=AE∠AEB=∠AEH=90∘，
∴△AEB≌△AEH(ASA)，
∴BE=HE，
不妨假设BE=CE，
∴BE=HE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，∠ECH=∠H，
∴∠BCH=∠ECB+∠ECH=∠EBC+∠H，
在△BCH中，∠BCH+∠EBC+∠H=180∘，
∴2∠BCH=180∘，
∴∠BCH=90∘，
∴∠ACB=180∘−∠BCH=90∘，这与∠ACB=60∘相矛盾，
∴假设BE=CE是错误的，
故结论④不正确；
⑤在AB上截取AP=AD，过点P作PM⊥AF于点M，PN⊥BF于点N，如图2所示：
∵AG平分∠BAC，
∴∠PAF=∠DAF，
在△AFP和△AFD中，
AP=AD∠PAF=∠DAFAF=AF，
∴△AFP≌△AFD(SAS)，
∴∠AFP=∠AFD，
由结论①正确得：∠AFB=120∘，
∴∠BFG=∠AFD=180∘−∠AFB=60∘，
∴∠AFP=∠AFD=60∘，
∴∠BFP=∠AFB−∠AFP=120∘−60∘=60∘，
∴∠BFP=∠BFG=60∘，
∵BD平分∠ABC，
∴∠PBF=∠GBF，
在△BPF和△BGF中，
∠PBF=∠GBFBF=BF∠BFP=∠BFG，
∴△BPF≌△BGF(ASA)，
∴BP=BG，
∴AB=BP+AP=BG+AD，
故结论⑤正确；
⑥AE=5，AF=3，
∴EF=AE−AF=2，
由结论③正确得：BF=2EF=4，
∵∠AFP=60∘，∠BFP=60∘，
∴∠AFP=∠BFP=60∘，
∴PF是∠AFB的平分线，
又∵PM⊥AF于点M，PN⊥BF于点N，
∴PM=PN，
∵△AFP≌△AFD，△BPF≌△BGF，
∴S△AFP=S△AFD，S△BPF=S△BGF，
∴S△BGF：S△AFD=S△AFP：S△BPF，
∵S△AFP=12AF⋅PM=12×3×PM=32PM，S△BPF=12BF，⋅PN=12×4×PN=2PN，
∴S△AFP：S△BPF=32PM：2PN=3：4，
故结论⑥不正确，
综上所述：结论正确的是①②③⑤，共4个．
故选：C.
①由三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA=120∘，由角平分线定义得∠FAB+∠FBA=1/2(∠CAB+∠CBA)=60∘，进而再由三角形内角和定理得∠AFB=120∘，由此可对结论①进行判断；
②先求出∠BAE=1/2∠BAD=35∘，∠CBA=50∘，∠ABE=55∘，进而得∠EBC=∠ABE−∠CBA=5∘，由此可对结论②进行判断；
③由∠AFB=120∘得∠BFE=∠AFD=60∘，在Rt△BEF中，根据∠EBF=90∘−∠BFE=30∘得BF=2EF，由此可对结论③进行判断；
④延长BE交AC的延长线于点H，证明△AEB和△AEH全等BE=HE，不妨假设BE=CE得BE=HE=CE，则∠EBC=∠ECB，∠ECH=∠H，再由三角形内角和定理得∠BCH=90∘，进而得∠ACB=90∘，这与∠ACB=60∘相矛盾，由此得假设BE=CE是错误的，据此可对结论④进行判断；
⑤在AB上截取AP=AD，过点P作PM⊥AF于点M，PN⊥BF于点N，证明△AFP和△AFD全等得∠AFP=∠AFD=60∘，由此得∠BFP=∠BFG=60∘，继而依据“ASA”判定△BPF和△BGF全等得BP=BG，则AB=BP+AP=BG+AD，由此可对结论⑤进行判断；
⑥先求出EF=AE−AF=2得BF=2EF=4，证明PF是∠AFB的平分线得PM=PN，由结论⑤的全等三角形性质得S△AFP=S△AFD，S△BPF=S△BGF，则S△BGF：S△AFD=S△AFP：S△BPF，再由三角形面积公式得S△AFP=12AF⋅PM=32PM，S△BPF=12BF，⋅PN=2PN，进而得S△AFP：S△BPF=3：4，据此可对结论⑥进行判断；综上所述即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，理解角平分线的定义和性质，熟练掌握角平分线的定义和性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
9.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查了算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根．根据开方运算，可得一个正数的算术平方根．
【解答】
解： 25=5，
故答案为：5.
10.【答案】9
【解析】解：∵一个正数的两个平方根分别是2a−1与−a+2，
∴2a−1−a+2=0，
解得：a=−1，
故2a−1=−3，
则这个正数是：(−3)2=9.
故答案为：9.
根据一个正数的两个平方根互为相反数得出a的值，进而得出答案．
此题主要考查了平方根，正确得出a的值是解题关键．
11.【答案】30
【解析】解：∵52+122=132，
∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，
∴此三角形的面积为12×5×12=30.
先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用面积公式求得面积．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
12.【答案】±8
【解析】解：根据题意得：14的算术平方根是12，而4的倒数是14，4又是64的立方根
则x2=64，
x=±8，
故答案为：±8.
根据算术平方根，立方根，倒数等知识点列出算式，再逐步求出即可．
本题考查了立方根的定义，算术平方根，倒数的应用，解此题的关键是能根据题意列出算式．
13.【答案】14
【解析】解：根据题意，
①当腰长为6时，周长=6+6+2=14；
②当腰长为2时，6，2，2不能组成三角形；
故答案为：14.
根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为6时，②当腰长为2时，解答出即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质定理，本题重点是要分两种情况解答．
14.【答案】10
【解析】解：∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴△CBE周长为BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=4+6=10，
故答案为：10.
由线段垂直平分线的性质可得AE=CE，再由△CBE周长为BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB计算即可得解．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握该知识点是关键．
15.【答案】65∘
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，
∴∠BED=∠FDC=90∘，
∵∠AFD=155∘，
∴∠EDB=∠CFD=180∘−155∘=25∘，
∴∠EDF=90∘−∠EDB=90∘−25∘=65∘.
故答案为：65∘.
先根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠B=∠C，利用等角的余角相等和已知角可求出∠EDB的数，从而可求得∠EDF的度数．
本题综合考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质．关键是利用等腰三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．
16.【答案】0
【解析】解：∵−(a−2)2≥0，
∴(a−2)2≤0，
∴a−2=0，
∴a=2，
∴b−4=0，
∴b=4，
∵c的平方根等于它本身，
∴c=0，
∴a− b−c=2− 4−0=2−2=0，
故答案为：0.
根据二次根式有意义的条件得出−(a−2)2≥0，结合非负数的性质得出a−2=0，即可求出a的值，从而求出b的值，再根据c的平方根等于它本身求出c的值，最后代入计算即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，平方根，算术平方根，正确计算是解题的关键．
17.【答案】d=1或d> 2
【解析】解：过C点作CD⊥BM于D点，如图，
∵∠B=45∘，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BD=CD= 22BC= 22× 2=1，
∴当d=1或d> 2时，只能作出唯一一个△ABC，
即d的取值范围为d=1或d> 2.
故答案为：d=1或d> 2.
过C点作CD⊥BM于D点，如图，利用△BCD为等腰直角三角形得到BD=CD=1，然后结合图形可得当d=1或d> 2时，只能作出唯一一个△ABC.
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
18.【答案】 3
【解析】解：作点B关于直线AC的对称点B′，连接AB′、BB′、B′E、B′D，
∵AC垂直平分BB′，
∴B′E=BE，AB′=AB=2，
∴∠CAB′=∠CAB=15∘，
∴∠BAB′=2∠CAB=30∘，
作B′F⊥AB于点F，则∠AFB′=90∘，
∴B′F=12AB′=1，
∴AF= AB′2−B′F2= 22−12= 3，
∵DE+BE=DE+B′E，且DE+B′E≥B′D，
∴当DE+B′E=B′D，且B′D的值最小时，DE+BE的值最小，
∵B′D≥B′F，
∴当点D与点F重合时，B′D=B′F，此时B′D的值最小，
∴AD=AF= 3，
故答案为： 3.
作点B关于直线AC的对称点B′，连接AB′、BB′、B′E、B′D，因为AC垂直平分BB′，所以B′E=BE，AB′=AB=2，则∠BAB′=2∠CAB=30∘，作B′F⊥AB于点F，则B′F=12AB′=1，求得AF= 3，由DE+BE=DE+B′E，且DE+B′E≥B′D，可知当DE+B′E=B′D，且B′D的值最小时，DE+BE的值最小，而当点D与点F重合时，B′D=B′F，此时B′D的值最小，AD=AF= 3，于是得到问题的答案．
此题重点考查轴对称-最短路线问题、垂线段最短、直角三角形中30∘角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=5−3−6=−4；
(2)(2x−1)3=−8，
开立方得：2x−1=−2，
解得：x=−12.
【解析】(1)原式利用平方根、立方根定义计算即可得到结果；
(2)已知等式利用立方根定义开立方即可求出x的值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】证明：∵BD//CE，
∴∠ABD=∠C，
在△ABD和△ECB中，
AB=EC,∠ABD=∠C,DB=BC,
∴△ABD≌△ECB(SAS)，
∴AD=EB.
【解析】由平行线的性质可得∠ABD=∠C，由“SAS”可证△ABD≌△ECB，可得BD=EC.
本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到平行线的性质，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键．
21.【答案】14.
【解析】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵△ADC的面积是72，CD=12，
∴12×12⋅AE=72，
∴AE=12，
在Rt△ABE中，BE= AB2−AE2= 132−122=5，
在Rt△ADE中，DE= AD2−AE2= 152−122=9，
∴BD=BE+DE=5+9=14.
过点A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出AE，再根据勾股定理分别求出BE、DE，计算即可．
本题考查的是勾股定理、三角形面积公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
22.【答案】85∘.
【解析】解：∵CD平分∠ACB，∠ACB=110∘，
∴∠ACD=12∠ACB=55∘，
∵∠CDE为△ACD的外角，
∴∠CDE=∠DAC+∠ACD，
又∵∠CDE=75∘，
∴75∘=∠DAC+55∘，
∴∠DAC=20∘；
∵CE=CA，
∴∠AEC=∠DAC=20∘，
∴∠DCE=180∘−∠CDE−∠AEC=180∘−75∘−20∘=85∘.
由等腰三角形等边对等角的性质，再由三角形内角和为180∘，即可解答．
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质；掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解题关键．
23.【答案】(1)∠BAC=90∘; (2)如图，射线AE即为所求 (3)如图，点D即为所求
【解析】解：(1)∵AB=AC= 22+42=2 5，BC= 22+62=2 10，
∴BC2=AB2+AC2，
∴∠BAC=90∘；
(2)如图，射线AE即为所求；
(3)如图，点D即为所求．
(1)利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可；
(2)连接BC，取BC的中点E，作射线AE即可；
(3)在EA的延长线上取格点D，连接DB，DC即可．
本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
24.【答案】解：(1)∵实数a+9的一个平方根是−5，
∴a+9=25，
∴a=16，
∵2b−a的立方根是−2，
∴2b−a=−8，
∴b=4，
∵ 36< 43< 49，
∴6< 4390∘，
∴AL=2BC=4，
∴S△ABC=12BC⋅AL=12×2×4=4，
第一种情况，当AB=5时，
∴S△ABC=12AB⋅CT=4，
∴CT=8AB=85，
∴CC′=2CT=165；
第二种情况，当AC=5时，则CT= AC2−AT2= 52−42=3，
∴BT=CT−BC=3−2=1，
在Rt△ABT中，AB= AT2+BT2= 42+12= 17，
同理，S△ABC=12AB⋅CT=4.
∴CT=8AB=8 17=8 1717，
∴CC′=2CT=16 1717；
综上所述，CC′的长为165或16 1717.
(1)根据“高倍底”三角形的定义，根据等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用等知识分别验证各选项是否符合即可；
(2)如图所示，过点A作AQ⊥CB延长线于点Q，则∠AQB=90∘，可证△ABQ是等腰直角三角形，解得，AQ=BQ=2，由△ABC是“高倍底”三角形，BC是“基底”，得到BC=2；
(3)根据题意作图，分类讨论：第一种情况，当AB=5时；第二种情况，当AC=5时；运用勾股定理，等面积法求解即可，
本题是几何变换综合题，主要考查等边三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，折叠-垂直平分线的性质，等面积法求三角形的高等知识的综合，理解“高倍底”三角形，掌握等边三角形，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，数形结合分析思想是解题的关键．
28.【答案】△A′P′C;两点之间，线段最短 (2)CE+CF的最小值为8;， (3)CD+BE的最小值为 76
【解析】解：(1)在l上任取一点P′，作点A关于l的对称点A′，AA′与直线l相交于点C.连接P′A′，
∴AC=A′C，∠ACP′=∠A′CP′，
∵CP′=∠CP′，
∴△AP′C≌△A′P′C(SAS)，
∴P′A=P′A′.
在△A′P′B中，根据“两点之间，线段最短”可知A′B与l的交点P即为所求．
故答案为：△A′P′C，两点之间，线段最短；
(2)取AB中点D，连接CD并延长到G，使DG=CD，连接EG，
∴AD=BD，
∵AE=BF，
∴DE=DF，
∵∠EDG=∠FDC，DG=DC，
∴△EDG≌△FDC(SAS)，
∴GE=CF，
CE+CF=CE+EG，
当点E运动到D时，CE+CF的最小值为CE+EG=CG，
∵∠ACB=90∘，AB=8，D为AB的中点，
∴CD=12AB=4，
∴CG=2CD=8，即CE+CF的最小值为8；，
(3)如图，过点C作CK//AB，使CK=AC=5，过点B作BG⊥KC，交KC的延长线于点G，连接BK，
则∠KCE=∠CAD，
在△CKE和△ACD中，
CK=AC∠KCE=∠CADCE=AD，
∴△CKE≌△ACD(SAS)，
∴EK=CD，
∴CD+BE=EK+BE≥BK，
∴CD+BE的最小值为BK，
∵CK//AB，BG⊥CK，
∴BG⊥AB，∠BGK=90∘，
∴∠ABG=90∘，
∴∠CBG=∠ABG−∠ABC=90∘−60∘=30∘，
∴CG=12BC=12×4=2，
在Rt△BGC中，由勾股定理得：BG= BC2−CG2= 42−22=2 3，
KG=CK+CG=6+2=8，
在Rt△BGK中，由勾股定理得：BK= BG2+KG2= (2 3)2+82= 76，
∴CD+BE的最小值为 76.
(1)由轴对称的性质，易知△AP′C≌△A′P′C，从而有P′A=P′A′.这样，在△A′P′B中，根据“两点之间，线段最短”可知A′B与l的交点P即为所求．
(2)过点E作ED//CF，使ED=CF，连接DF，CD，设CD交AB于O，可得四边形CEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质得OC=OD，OE=OF，由AE=BF得AO=BO=12AB=4，根据直角三角形斜边上的中线得OC=OD=4，即可得CE+CF=CE+ED≥CD，则CE+CF的最小值为CD，即可求解；
(3)过点C作CK//AB，使CK=AC=5，过点B作BG⊥KC，交KC的延长线于点G，连接BK，则∠KCE=∠CAD，证△CKE≌△ACD(SAS)，得EK=CD，则CD+BE的最小值为BK，再由含30∘角的直角三角形的性质等CG=12BC=2，则BG=2 3，KG=CK+CG=7，然后由勾股定理求出BK的长即可．
此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，含30∘角直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线，构建全等三角形和直角三角形是解题的关键．解决问题的思路
可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中.因此，在l上任取一点p′，作点A关于l的对称点A′，AA′与直线l相交于点C.连接P′A′，易知，△AP′C≌______，从而有P′A=P′A′，这样，在△A′P′B中，根据“______”可知A′B与l的交点P即为所求.