2025-2026学年福建省厦门一中九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年福建省厦门一中九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下面四个古典园林中的花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.一元二次方程x2=2x的两根分别为（ ）
A. x1=x2=0B. x1=x2=4C. x1=2，x2=-2D. x1=0，x2=2
3.如图，△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，若AB=BC=AC，∠BCD=30°，则旋转角的度数是（ ）
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
4.如图，利用三角尺可以确认图中的弦AB是圆的直径，其数学依据是（ ）
A. 直径所对的圆周角是直角
B. 90°的圆周角所对的弦是直径
C. 直角三角形的两个锐角互余
D. 两角互余的三角形是直角三角形
5.已知⊙O的半径为7，直线l上有一点P满足PO=5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A. 相切B. 相离C. 相离或相切D. 相交
6.如图，CD是⊙O的直径，点A在⊙O上.A，B关于DC对称，∠D=15°，则∠AOC的度数为（ ）
A. 15°
B. 18°
C. 30°
D. 45°
7.制造一种产品，原来每件的成本价是100元，经过连续两次的技术改造，现在每件的成本价为81元.那么平均每次降低成本（ ）
A. 10%B. 9.5%C. 9%D. 8%
8.如图，已知线段AB，AD，点C在线段AB上，下列说法正确的是（ ）
A. 经过点A，B，C，只能作一个圆
B. 经过点A，B，D，只能作一个圆
C. 经过点A，以AD的长为半径只能作一个圆
D. 经过点A，B，以AD的长为半径只能作一个圆
9.如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（ ）
A. 点A
B. 点B
C. 点C
D. 点D
10.已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）上有三点（2，y1），（4，y2），（6，y3）.若y1y3＜0，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y2＜y1＜y3B. y1＜y2＜y3C. y3＜y1＜y2D. y3＜y2＜y1
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.一元二次方程x2﹣9＝0的解是 ．
12.在平面直角坐标系中，点P（-2，1）与点Q（a，-1）关于原点对称，则a=______．
13.二次函数y=2x2-4x+1的顶点坐标为 .
14.如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB=130°，∠CAO=60°，OA=6，则的长为______．
15.一副三角尺按如图的位置摆放（顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺CDE绕着点C按逆时针方向旋转n°后（0＜n＜360），ED⊥AB，那么n的值是______．
16.若函数y=x2+2x-b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解一元二次方程：
（1）x2-3x-4=0；
（2）2x2+x=7.
18.(本小题8分)
点A（-1，0），点B（-3，1），点C（-3，-2）．
（1）画出△ABC，及△ABC关于原点成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形△A2B2C2．
19.(本小题8分)
如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点E，且AB=CD.求证：AE=CE.
20.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD.
（1）请补全图形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）证明：PD是⊙O的切线.
21.(本小题8分)
学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个矩形苗圃园，设平行于墙一边CD长为xm.
（1）如图1，如果矩形花园的一边AB，另三边由篱笆ECDF围成，当苗圃园的面积为60m2时，求x的值；
（2）如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ACDF围成，当苗圃园的面积为60m2时，求x的值.
22.(本小题10分)
一座拱形桥，桥下水面宽度AB是16米，拱高CD是4米.
（1）如图1，若把它看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，当水面上升3米至EF时，则EF的长是多少？
（2）如图2，若把桥看作是圆的一部分，一艘船的高度是3.5米，那么船的宽度不能超过多少米，才能使船顺利通过拱桥？（结果保留根号）
23.(本小题12分)
如图1：以A为中心，作正方形B1B2B3B4，正方形C1C2C3C4，此时点A、B1、C1在同一直线上，其中小正方形边长，此时B1C1=1，现将外部大正方形进行旋转，现对旋转过程中的性质展开研究：
（1）请计算并直接写出大正方形边长C1C2=______.
（2）在旋转过程中，当点B4、B1、C1旋转到同一直线上时，得到正方形MNPQ，形状类似“赵爽弦图”的模型（如图2），求此时线段B1N的长度.
（3）继续旋转正方形MNPQ（如图3），在此过程中，线段B1N和B4M满足什么关系.
24.(本小题12分)
如图，抛物线y=x2+2x-6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC.
（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式.
（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l,交线段AC于点D.在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由.
25.(本小题12分)
黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割.
【阅读观察】
【思考探究】
（1）说明图3中；
（2）说明图4中.
【迁移拓展】
如图5，作圆内接正五边形：
①作⊙O的两条互相垂直的半径OA和OM，取OM的中点N，连接AN；
②作∠ONA的平分线，交OA于点K；
③过点K作OA的垂线，交⊙O于点B，E，连接AB，AE；
④截取BC=BA，CD=CB，连接BC，CD，DE.
五边形ABCDE即为所求.
（3）若OA=2，根据以上作法，证明：AB2=φ2•BE2.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】x1=3，x2=-3
12.【答案】2
13.【答案】（1，-1）
14.【答案】π
15.【答案】15或195
16.【答案】b＞-1且b≠0
17.【答案】解：（1）原方程因式分解得：
（x-4）（x+1）=0，
x-4=0或x+1=0，
解得：x1=4，x2=-1；
（2）原方程配方得：
，
，
，
解得：，．
18.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．

19.【答案】证明：∵AB=CD，
∴=，
∴-=-，
即=，
∴AD=CB，
在△AED和△CEB中，
，
∴△AED≌△CEB（AAS），
∴AE=CE
20.【答案】（1）解：图形如图所示：

（2）证明：连接OD，
∵PA切⊙O于A，
∴PA⊥AB，
即∠PAO=90°，
∵OP∥BD，
∴∠DBO=∠AOP，∠BDO=∠DOP，
∵OD=OB，
∴∠BDO=∠DBO，
∴∠DOP=∠AOP，
在△AOP和△DOP中，
，
∴△AOP≌△DOP（SAS），
∴∠PDO=∠PAO，
∵∠PAO=90°，
∴∠PDO=90°，
即OD⊥PD，
∵OD为半径，
∴PD是⊙O的切线．
21.【答案】解：（1）∵篱笆的总长为26m,平行于墙一边CD长为x m,
∴垂直于墙一边CE长为m.
根据题意得：•x=60，
整理得：x2-26x+120=0，
解得：x1=6，x2=20（不符合题意，舍去）．
答：x的值为6；
（2）∵篱笆的总长为26m,平行于墙一边CD长为x m,
∴垂直于墙一边CE长为=（17-x）m.
根据题意得：（17-x）x=60，
整理得：x2-17x+60=0，
解得：x1=5（不符合题意，舍去），x2=12．
答：x的值为12．
22.【答案】EF的长是8米；
船的宽度不能超过米，才能使船顺利通过拱桥
23.【答案】2；
；
B1N=B4M
24.【答案】（1）当y=0时，x2+2x-6=0，
解得x1=-6，x2=2，
∴A（-6，0），B（2，0），当x=0时，y=-6，
∴C（0，-6），
∵A（-6，0），C（0，-6），
∴直线AC的函数表达式为y=-x-6．
∵B（2，0），C（0，6），
∴直线BC的函数表达式为y=3x-6．
（2）存在：设点D的坐标为（m,-m-6），其中-6＜m＜0，
∵B（2，0），C（0，-6），
∴BD2=（m-2）2+（m+6）2，BC2=22+62=40，
DC2=m2+（-m-6+6）2=2m2，
∵DE∥ϖ⊙BC，
∴当DE=BC时，以点D、C、B、E为顶点的四边形为平行四边形，分两种情况：
如图，当BD=BC时，四边形BDEC为菱形，

∴BD2=BC2
∴（m-2）2+（m+6）2=40，
解得：m1=-4，m2=0（舍去），
∴点D的坐标为（-4，-2），
点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，
点E的坐标为（-6，-8）；
如图，
当CD=CB时，四边形CBED为菱形，
∴CD2=CB2，
∴2m2=40，
解得：m1=-2，m2=2（舍去），
∴点D的坐标为（-2，2-6），
∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为（2-2，2）．
综上，存在点E，使得以点D、C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（-6，-8）或（2-2，2）．
25.【答案】设BD=a，
∵，
∴AB=2BD=2a，
∵BD⊥AB，
∴△ABD是直角三角形，
由勾股定理得：AD===，
∵DE=DB=a，
∴AE=AC=a-a=，
∴==，
∴=φ；
设正方形ABED的边长为2b，则AB=AD=2b，∠BAD=90°，
∵点F是AD的中点，
∴，
在直角三角形ABF中，由勾股定理得：BF===，
∴FH=FB=，
∵四边形AHGC是正方形，
∴AH=AC=FH-AF=，
∴BC=AB-AC=2b-（-1）b=3b-，
∴==，==，
∴=；
如图5，NK平分∠ONA，OA=2，过点K作KG⊥AN，连接OB，

∴KO=KG，
∵OA、OM是⊙O的半径，
∴OM=OA=2，
∵点N是OM的中点，
∴ON=OM=1，
在Rt△KNO和Rt△KNG中，
，
∴Rt△KNO≌Rt△KNG（HL），
∴NG=NO=1，
在直角三角形AON中，由勾股定理得：AN===，
∴，
在Rt△AGK中，由勾股定理得：AG2+KG2=AK2，
设OK=KG=x，则AK=AO-OK=2-x，
∴=（2-x）2，
解得：，
∴OK=，AK=AO-OK==，
在直角三角形BOK中，由勾股定理得：BK2=OB2-OK2==，
在直角三角形ABK中，由勾股定理得：AB2=AK2+BK2==，
∵OA⊥BE，
∴BE=2BK，
∴BE2=4BK2==，
∵，
∴φ2•BE2==，
∴AB2=φ2•BE2 材料1：黄金分割点的定义如图2，若线段AB上的点C满足，则点C称作线段AB的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为与φ互为倒数.
材料2：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图2中线段AB的黄金分割点C）
方法1：如图3，
①过点B作l⊥AB；
②在直线l上截取，连接AD；
③在DA上截取DE=DB；
④在AB上截取AC=AE.
点C即为所求.
方法2：如图4，
①以AB为边作正方形ABED；
②取AD中点F，连接BF；
③以点F为圆心，FB为半径作圆弧，与DA的延长线交于点H；
④以AH为边在AB一侧作正方形AHGC，GC交AB于点C，可得.
点C即为所求.