2025-2026学年福建省泉州实验学校九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年福建省泉州实验学校九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在Rt△ABC中，若各边长都扩大5倍，则sinA的值（ ）
A. 变大B. 变小C. 不变D. 不能确定
2.已知二次函数y=（2-a）x2的图象开口向下，则a的取值范围是（ ）
A. a=2B. a≠2C. a＜2D. a＞2
3.如图，CM∥DN∥BE，若AC=CD=DE，则AM=MN=NB.蕴含的数学道理是（ ）
A. 两直线平行，同位角相等
B. 两条平行线之间的距离处处相等
C. 平行于同一直线的两条直线平行
D. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
4.在锐角△ABC中，若tanα=，则∠α的度数为（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
5.若两个相似多边形的相似比为3：2，则它们的周长之比为（ ）
A. 2：3B. 3：2C. 4：9D. 9：4
6.将抛物线y=-2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）
A. y=-2（x+1）2+3B. y=-2（x-1）2-3C. y=-2（x+1）2-3D. y=-2（x-1）2+3
7.设a,b是方程x2+x-2026=0的两个实数根，则b-ab+a的值为（ ）
A. 2025B. 2026C. 1D. -1
8.如图，点P是△ABC的重心，过点P作AC的平行线，分别交AB，BC于点D，E，若AC=6，则DE的长为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，其中对称轴为x=1，且交x轴于点（-2，0），则以下结论中错误的是（ ）
A. abc＞0
B. 2a+b=0
C. 16a+4b+c=0
D. a-b+c＞0
10.我国古代数学家刘徽发展了“重差术”，用于测量不可到达的物体的高度．比如，通过下列步骤可测量山的高度PQ（如图）：
（1）测量者在水平线上的A处竖立一根竹竿，沿射线QA方向走到M处，测得山顶P、竹竿顶端B及M在一条直线上；
（2）将该竹竿竖立在射线QA上的C处，沿原方向继续走到N处，测得山顶P、竹竿顶端D及N在一条直线上；
（3）设竹竿与AM，CN的长分别为l，a1，a2，可得公式：PQ=+l．
则上述公式中，d表示的是（ ）
A. QA的长B. AC的长C. MN的长D. QC的长
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.方程x2=-3x的解是______．
12.若sin28°=csα，且α是锐角，则α= .
13.如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：3的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为 m．
14.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y之间满足表格中的数量关系：那么（4a-2b+c）（a-b+c）的值为 .
15.玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶.实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（黄金分割比等于时，可以敲击出音阶“sl”.如图，若瓶高AB=10cm,且敲击时发出音阶“sl”，则液面高度AC约为 cm.（结果保留根号）
16.已知M（x1，y1），N（x2，y2）是二次函数y=ax2-2a2x+a（a≠0）上的两点，
①若二次函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值为______.
②当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，则a的取值范围为______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：.
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B.求证：△ABP∽△PCD.
19.(本小题8分)
已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，-1），（3，2）.△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形.
（1）写出点P的坐标______；
（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使相似比为2：1.
20.(本小题8分)
图①是一款可调节椅背的沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力.图②是它的侧面示意图，椅背BC=70cm,将椅背角度从110°调节到150°（即∠ABC=110°，∠ABD=150°时，分别过点C、D作CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，求水平方向增加的距离EF长.（结果精确到1cm；参考数据：sin70°≈0.9，cs70°≈0.3，tan70°≈2.7，
21.(本小题8分)
自11月1日起，福建省电动自行车新规正式实施.其中明确规定，驾驶电动自行车搭载孩子时，孩子必须规范佩戴安全头盔，对违反规定的处以罚款.骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个.
（1）当售价为x元/个时（x＞40），月销售量为______个.
（2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
22.(本小题10分)
已知完全相同的等边三角形ABC和等边三角形DEF，点A，B，C分别与点D，E，F重合，点O是边BC，EF的中点.固定△ABC，将△DEF绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜180°）.
（1）如图1，在△DEF旋转的过程中，当0°＜α≤90°时，连接AD，CF，则AD，CF的位置关系是：______；数量关系是：______.
（2）如图2，当90°＜α＜180°时，AD，CF的关系是否发生改变？若不变，请证明；若改变，请说明理由.
23.(本小题10分)
【项目式学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量.然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用.
实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动.从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据.
任务一：数据收集
记录的数据如下：
任务二：观察分析
（1）根据v,s随x的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出v关于x的函数关系式和s关于x的函数关系式.
任务三：问题解决
（2）当小球在水平木板上停下来时.求此时小球的滑行距离；
（3）当小球到达木板点A的同时，在点A的前方ncm处有一辆小车，以4cm/s的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，请直接写出n的取值范围.
24.(本小题12分)
已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点（2，0）.
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y=ax2+bx和y=x2-x上（A，B与原点都不重合）.
①若，且x1=x2，比较y1与y2的大小；
②当时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值.
25.(本小题14分)
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E，作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G.
（1）求证：BF=2OG；
（2）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，
①求∠DAC的正弦值；
②连接OE，求的值.
（3）对于任意的矩形ABCD，AE平分∠BAC，连接OE，是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】x1=0，x2=-3
12.【答案】62°
13.【答案】
14.【答案】10
15.【答案】（）
16.【答案】±1；
0＜a≤2
17.【答案】-3．
18.【答案】在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠APC=∠ABC+∠BAP，
∴∠APD+∠DPC=∠ABC+∠BAP，
∴∠DPC=∠BAP，
∵∠ABC=∠ACB，
∴△ABP∽△PCD．
19.【答案】（0，-2）
20.【答案】39cm．
21.【答案】（1000-10x）；
50元．个
22.【答案】AD⊥CF，AD=CF．
不变，证明：如图2，连接OA、OD，设AD交CF于点L，OD交CF于点K，
∵OD=OA，OF=OC，OA⊥BC，OD⊥EF，∠ACO=60°，
∴=，∠ACO=∠DOF=90°，
∴=tan60°=，
由旋转得∠AOD=∠COF=α，
∴△AOD∽△COF，
∴∠ADO=∠CFO，==，
∴AD=CF，
∵∠DKF=∠DLF+∠ADO=∠DLF+∠CFO，且∠DKL=∠DOF+∠CFO，
∴∠DLF+∠CFO=∠DOF+∠CFO，
∴∠DLF=∠DOF=90°，
∴AD⊥CF，
∴AD，CF的位置关系、数量关系都不变
23.【答案】v与x的函数解析式为v=-x+12；s关于x的函数关系式为s=-x2+12x；
当小球在水平木板停下来时，此时小球的滑行距离72cm；
n＞32．
24.【答案】直线x=1；
①y2＞y1；②a=，b=-1
25.【答案】证明：如图，

∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵DF⊥AE，
∴∠AHF=∠AHG=90°，
∵AH=AH，
∴△AHF≌△AHG（ASA），
∴AF=AG，
∴∠AFG=∠AGF，
过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG=∠OLG．
∵∠AGF=∠OGL，
∴∠OGL=∠OLG，
∴OG=OL，
∵OL∥AB，
∴△DLO∽△DFB，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=2OD，
∴BF=2OL，
∴BF=2OG．
①；②；
存在最小值，最小值为： x
-1
3
4
y
2
2
5
运动时间x/s
0
1
2
3
4
5
…
运动速度v/（cm/s）
12
11
10
9
8
7
…
滑行距离s/cm
0
11.5
22
31.5
40
47.5
…