初中数学北师大版（2024）八年级下册3 公式法习题

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册3 公式法习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a−b=2，则a2−b2−4b的值为( )
A. 5B. 4C. 2D. 1
2.若x+y=3，x−y=1，则x2−y2的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. −3
3.小逸是一个密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a−b，5，x2−y2，a+b，x−y，x+y分别对应强、我、祖、爱、国、有．现将5a(x2−y2)−5b(x2−y2)因式分解，则结果呈现的密码信息可能是 ( )
A. 我爱祖国B. 强国有我C. 我爱国D. 我有祖国
4.将多项式“4m2−？”因式分解，结果为(2m+3)(2m−3)，则“？”是( )
A. 3B. −3C. 9 D. −9
5.下列分解因式正确的一项是( )
A. x2−9=(x+3)(x−3)B. 2xy+4x=2(xy+2x)
C. x2−2x−1=(x−1)2D. x2+y2=(x+y)2
6.生活中我们经常用到密码，如手机解锁．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如多项式因式分解后的结果是(x2+1)·(x+1)(x−1)，当取x=10时，各个因式的值是x2+1=101，x+1=11，x−1=9.于是就可以把“101119”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式x8−y8，当取x=3，y=−2时，用上述方法可以产生的六位数的密码为( )
A. 971315B. 891315C. 971015D. 139715
7.已知a=2019x+2018，b=2019x+2019，c=2019x+2020，则代数式a2+b2+c2−ab−ac−bc的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：
8.因式分解：9a2−1= ．
9.若一个正整数k可以写成两个正整数a、b的平方差的形式，即：k=a2−b2(其中a，b都是正整数，且a>b>1)，那么我们称(a,b)为正整数k的“欢喜数对”.如：9=52−42，那么正整数9的“欢喜数对”为(5,4).今年是2024年，那么正整数2024的“欢喜数对”为______(请写出所有满足条件的“欢喜数对”)．
10.如图，长、宽分别为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则a3b+ab3+2a2b2的值为 ．
11.若24+24=2a，35+35+35=3b，则a−b的值为 ．
12.若m2=n+2024,n2=m+2024m≠n，那么代数式m3−2mn+n3的值为 ．
三、解答题：
13.因式分解：
(1)a(m−1)+b(1−m)．
(2)(m2+4)2−16m2．
14.已知：a= 3−2，b= 3+2，分别求下列代数式的值：
(1)a2+2ab+b2 (2)a2b−ab2．
15.有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和−16，如图．
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：
(1)从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
(2)从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
16.已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2−b2+ac−bc=0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
17.已知整数a，b，m，n满足a+b=mn．
(1)求证：a2−b2+2mnb为非负数；
(2)若n为偶数，判断am−bm是否可以为奇数，说明你的理由．
18.若一个整数能表示成a2+b2(a,b是非零整数)的形式，则称这个数为“神秘平方数”.例如，5是“神秘平方数”，因为5=12+22，再如M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x,y是非零整数且x+y≠0)，所以M也是“神秘平方数”．
(1)请你写一个大于20小于30的“神秘平方数”：______；
(2)请判断52是否是“神秘平方数”，并说明理由；
(3)已知S=x2+2x+k(x是整数，k是常数)，要使S为“神秘平方数”，请求出符合条件的一个k值，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
【解析】解：A、原式=(x+3)(x−3)，符合题意；
B、原式=2x(y+2)，不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意．
故选：A．
各式分解得到结果，即可作出判断．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6.【答案】A
7.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，注意完全平方公式的应用．首先把a2+b2+c2−ab−ac−bc化为(2a2+2b2+2c2−2ab−2ac−2bc)÷2，再应用完全平方公式，可得：(2a2+2b2+2c2−2ab−2ac−2bc)÷2=[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2]÷2，然后把a−b、b−c、c−a的值代入，求出算式的值是多少即可．
【解答】
解：∵a=2019x+2018，b=2019x+2019，c=2019x+2020，
∴a−b=−1，b−c=−1，c−a=2，
∴a2+b2+c2−ab−ac−bc
=(2a2+2b2+2c2−2ab−2ac−2bc)÷2
=[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2]÷2
=[(−1)2+(−1)2+22]÷2
=6÷2
=3
故选：D．
8.【答案】(3a+1)(3a−1)
9.【答案】(507,505)或(255,251)或(57,35)
【解析】解：∵2024=2×1014=a2−b2=(a−b)(a+b)，
∴a−b=2a+b=1012，
解得：a=507b=505，
∴正整数2024的“欢喜数对”为(507,505)；
同理可得：(255,251)，(57,35)也是正整数2024的“欢喜数对”．
故答案为：(507,505)或(255,251)．
先对2024因式分解，然后再根据平方差公式和“欢喜数对”的定义即可解答．
本题主要考查了因式分解和平方差公式的应用，理解“欢喜数对”的定义是解题的关键．
10.【答案】490
11.【答案】−1
【解析】【分析】
本题考查因式分解的应用，同底数幂的乘法.先提取公因式，把等式变形为 2×24=2a,3×35=3b,,求出a，b，即可解答．
【解答】
解：∵24+24=2a，35+35+35=3b∴2×24=2a,3×35=3b,
∴a=5，b=6，
∴a−b=−1
12.【答案】−2024
【解析】本题考查了求代数式的值、因式分解的应用，由已知条件得出m+n=−1，m2−n=2024，n2−m=2024，再将式子化为mm2−n+nn2−m，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵m2=n+2024,n2=m+2024m≠n，
∴m2−n2=n−m，m2−n=2024，n2−m=2024，
∴m+nm−n=n−m，
∵m≠n，
∴m+n=−1，
∴m3−2mn+n3
=m3−mn+n3−mn
=mm2−n+nn2−m
=2024m+2024n
=2024m+n
=2024×−1
=−2024，
故答案为：−2024．
13.【答案】解：(1)a(m−1)+b(1−m)
=(a−b)(m−1)；
(2)(m2+4)2−16m2
=(m2+4+4m)(m2+4−4m)
=(m+2)2(m−2)2
【解析】(1)直接提取公因式(m−1)，进而得出答案：
(1)利用平方差公式进行因式分解．
本题主要考查了提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
14.【答案】解：当a= 3−2，b= 3+2时，
(1)a2+2ab+b2，
=(a+b)2，
=( 3−2+ 3+2)2，
=(2 3)2，
=12；
(2)a2b−ab2，
=ab(a−b)，
=( 3−2)( 3+2)( 3−2− 3−2)，
=[( 3)2−22]×(−4)，
=−1×(−4)，
=4．
【解析】(1)利用完全平方和公式分解因式后再代入计算．
(2)先提公因式，再代入计算．
本题是运用简便方法进行二次根式的化简求值，分解因式是基础，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
15.【答案】解：(1)A区显示的结果为：25+2a2，B区显示的结果为：−16−6a；
(2)这个和不能为负数，
理由：根据题意得，25+4a2+(−16−12a)=25+4a2−16−12a=4a2−12a+9=(2a−3)2；
∵(2a−3)2≥0，
∴这个和不能为负数．
【解析】本题考查了因式分解，非负数的性质，整式的加减，正确的理解题意是解题的关键．
(1)根据题意列出代数式即可；
(2)根据题意得到25+4a2+(−16−12a)，根据整式加减的法则计算，然后进行因式分解，根据非负数的性质即可得到结论．
16.【答案】解：∵a2−b2+ac−bc=0，∴(a−b)(a+b+c)=0．
∵a+b+c不可能为0，∴a−b=0，即a=b.∴△ABC是等腰三角形．

17.【答案】(1)证明：∵a+b=mn，
∴a2−b2+2mnb
=a2−b2+2(a+b)b
=a2+2ab+b2
=(a+b)2≥0，
∴a2−b2+2mnb为非负数；
(2)解：am−bm不可以为奇数，理由如下：
∵n为偶数，m是整数，
∴mn是偶数，
∵a+b=mn，
∴a+b是偶数，
∴a和b同是偶数或同是奇数，
∴a−b是偶数，
∴am−bm=(a−b)m是偶数，不可以是奇数．
18.【答案】29(答案不唯一)；
52是“神秘平方数”；
k的值为10(答案不唯一)．
【解析】解：(1)根据“神秘平方数”的概念，
∵52+22=29，
∴29是大于20小于30的“神秘平方数”；
故答案为：29(答案不唯一)；
(2)∵62+42=52，
∴52是“神秘平方数”；
(3)∵S=x2+2x+k=(x+1)2+k−1，
∴k−1是平方数即可，
如k−1=32，可得k=10；
∴k的值为10(答案不唯一)．
(1)根据“神秘平方数”，写出一个大于20小于30的“神秘平方数”即可；
(2)由62+42=52，知52是“神秘平方数”；
(3)由S=x2+2x+k=(x+1)2+k−1，知k−1是平方数即可，可令k−1=32，得k=10．
本题考查因式分解的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“神秘平方数”的概念．