安徽省安庆市第四中学九年级上学期1月期末考试数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省安庆市第四中学九年级上学期1月期末考试数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了 已知为锐角，且，则的度数为， 抛物线的顶点坐标是等内容，欢迎下载使用。
*请独立思考，诚信答题，你一定能考出好成绩!
一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 已知为锐角，且，则的度数为（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】由为锐角，且，直接根据特殊角的三角函数值进行解答，即可得出结论．
【详解】解：∵为锐角，且，
又，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数解析式直接可得顶点坐标．
【详解】∵y＝−3（x＋1）2＋2，
∴顶点为（−1，2），
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数由解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．
3. 如图，和中，，则添加下列条件后无法判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴ ，
故选项A不符合题意；
∵，，
∴，
故选项B不符合题意；
∵，，
∴，
故选项C不符合题意；
∵，但不一定相等，
∴不一定相似，
则添加条件后无法判定；
故选项D符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查条件条件使两个三角形相似，掌握相似三角形的判定定理，两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例，夹角对应相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似是解题关键．
4. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 赵爽弦图B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线D. 阿基米德曲线
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A．图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意，
故选：C．
5. 将一副三角板按如图叠放，是等腰直角三角形，是有一个角为的直角三角形，则与的面积之比等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知可得到△AOB∽△DCO，从而得到相似比，根据面积比是相似比的平方即可得到其面积比．
【详解】设BC=a，则AB=BC=a，
∴AB:CD=
∵AB∥CD
∴△AOB∽△COD
∴
∴△AOB与△DCO的面积之比为1:3.
故选:C.
【点睛】考查相似三角形的判定与性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方.
6. 已知函数y=ax2-2ax-1（a是常数且a≠0），下列结论正确的是（ ）
A. 当a=1时，函数图像过点(-1，1)
B. 当a= -2时，函数图像与x轴没有交点
C. 当a，则当x1时，y随x的增大而减小
D. 当a，则当x1时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质逐项分析即可．
【详解】y=ax2-2ax-1（a是常数且a≠0）
A、当a=1时，y=x2−2x−1，令x=−1，则y=2，此项错误；
B、当a=−2时，y=2x2+4x−1，对应的二次方程的根的判别式Δ=42−4×2×(−1)=24>0，则该函数的图象与x轴有两个不同的交点，此项错误；
C、当a>0，y=ax2−2ax−1=a(x-1)2-a+1，则x≥1时，y随x的增大而增大，此项错误；
D、当a0a+b+c=1bc=12a，可判定①；根据可以转化为：，可判定③；根据一元二次方程根据的判别式可判定④；根据且，得到可判定②；由此即可求解．
【详解】解：∵抛物线开口向上且经过点，双曲线经过点，
∴a>0a+b+c=1bc=12a，
∴，故①正确；
∴
∴可以转化为：，
∴或，故③正确；
∵是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
化简，得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，即，故④错误；
∵且，
∴，故②错误；
故答案为：①③．
三．解答题（本题共9小题，满分90分）
15. 如图，在中，，，，求的值．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，正弦的定义，掌握勾股定理的运用，正弦值的计算方法是解题的关键．
根据题意，运用勾股定理求出的值，再根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：，，，
，
．
16. 已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求y的最值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的解析式，掌握待定系数法以及二次函数的一般式化成顶点式是解答本题的关键.
（1）根据与坐标轴的两个交点，使用待定系数法进行解答即可；
（2）将（1）求得的解析式，化成顶点式即可完成解答；
【小问1详解】
解：由题意得，，
​​​​​​​解得，
∴抛物线的解析式；
【小问2详解】
，，
∴当时，y取最小值为．
17. 如图：在中，，点D、E、F分别在上，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形性质及相似三角形判定与性质，先证明，，得出，即可证明结论．
【详解】证明：∵中，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
18. 如图,在平面直角坐标系中，已知ΔABC三个顶点的坐标分别是, , .
（1）以点为位似中心,将ΔABC缩小为原来的得到,请在轴右侧画出;
（2） 的正弦值为 .
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接、，分别取、、中点即可画出△，
（2）利用正弦函数的定义可知．由，即可解决问题．
【详解】解：（1）连接OA、OC，分别取OA、OB、OC的中点 、、，顺次连接 、、，△即为所求，如图所示，
（2），，，

，
．
，
．
【点睛】本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．注意：记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
19. 如图，中，，点D从点B出发，沿边以的速度向终点C运动，过点D作，交边（或）于点E．设点D的运动时间为，的面积为．
（1）当点D与点A重合时，求t的值；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】（1）；（2）当时，当＜时，
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求解的长，从而可得答案；
（2）分，＜两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解的两条直角边，再利用面积公式列函数关系式即可．
【详解】解：（1），


（2）如图，当时，点在上，
由题意得：







当＜时，点在上，如图，
由题意得：

同理：




综上：当时，当＜时，
【点睛】本题考查的是几何动点问题，考查了相似三角形的判定与性质，考查了利用面积公式列函数关系式，分类讨论思想，掌握以上知识是解题的关键．
20. 如图，已知是⊙O的直径，是⊙O的切线，连接与⊙O相交于点D，过B点作，垂足为E，连接．
（1）当点E为的中点时，求证：；
（2）当，时，求直径的长度．
【答案】（1）证明见解析
（2）10
【解析】
【分析】（1）先证明为等边三角形，再证明 证明从而可得结论；
（2）设 而 再利用锐角的正切的含义表示 再利用列方程，再解方程即可得到答案．
小问1详解】
证明：如图，连接BD，
，点E为的中点，
而
为等边三角形，

为的直径，为的切线，



【小问2详解】
解：设 而

，






整理得：
解得：或（不合题意，舍去）
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，切线的性质，勾股定理的应用，锐角的正切的含义，利用正切的含义得到BD，AB的关系是解本题的关键．
21. 如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿和的长度相等，是它们的中点，，，当有人坐在马扎上时，马扎侧面示意图变成图③（假设与都是线段），且，点离地面的距离即马扎实际支撑的高度．若某人坐在马扎上时测得，他要求实际支撑高度为，请问这款马扎能否符合他的要求？（参考数据：，）
【答案】这款马扎不能符合他的要求
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
连接，过作的垂线交于，交于，根据题意可得，，， ，根据等腰三角形的性质得出，证明，从而得出，算出，，再根据勾股定理算出，从而算出，即可求解；
【详解】解：连接，过作的垂线交于，交于，
根据题意可得，．，，
∴是的垂直平分线，
∵，
∴点E在上，
，
，
，
，
，
，
，
，
故这款马扎不能符合他的要求．
22. 在一次竖直向上抛球游戏中，小球上升的高度与小球抛出后经过的时间满足表达式：，其图象如图1所示．

（1）求小球上升的最大高度；
（2）若竖直向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度，发现小球上升高度与小球抛出后水平距离满足如图2所示的抛物线，其中，而小球上升高度与时间仍满足．
①当时，求小球上升到最高点时的水平距离x；
②在小球正前方处挡板上有一空隙，其上沿M的高度为，下沿N的高度为，若小球下落过程恰好从空隙中穿过（不包括恰好击中点M，N，挡板厚度不计），请求出此时v的取值范围．
【答案】（1）5米 （2）①6米；②
【解析】
【分析】（1）化为顶点式求解即可；
（2）①根据计算即可；
②先分别求出高度为和时所用的时间，再根据即可求出v的临界值，从而求出此时v的取值范围．
【小问1详解】
∵，
∴当时，h取得最大值5，
∴小球上升的最大高度为5米；
【小问2详解】
①由（1）知，小球上升到最高点时，
∵，
∴米．
∴小球上升到最高点时的水平距离为6米；
②当时，
，
解得（舍去），，
∴．
当时，
，
解得（舍去），，
∴．
∴此时v的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，实际问题常常构建二次函数模型解决实际问题，数形结合是解答本题的关键．
23. 在学习“旋转”这一重要的平面图形变换时，李老师设计如下的一个问题，让同学们进行探究．如图，，过点作交于点，将绕点逆时针方向旋转．
（1）将旋转至如图的位置时，连接，求证：．
（2）若将旋转至三点在同一条直线上时，求线段的长．
【答案】（1）详见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用平行线的判定与性质求出，根据相似的性质得到，由旋转的性质得到，再利用相似三角形的判定与性质即可得解；
（2）根据勾股定理求出，根据平行线分线段成比例定理求出，分点在上、点在的延长线上两种情况，根据勾股定理求出，据此计算即可．
【小问1详解】
证明：
将绕点顺时针旋转到图位置
【小问2详解】
由（1）知，
如图，当点在上时，
在中，
由勾股定理得，
如图，当点在的延长线上时，
在中，
由勾股定理得，
综上所述：线段的长为或．