黑龙江省齐齐哈尔六校联考2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份黑龙江省齐齐哈尔六校联考2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷，共19页。试卷主要包含了706，841，635，879等内容，欢迎下载使用。
2025~2026 学年上学期“六校联谊”高二期中考试数学
（试卷满分：150 分，考试时间：120 分钟）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用 0.5mm 的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
考试结束后，请将答题卡上交．
本卷主要命题范围：必修第二册第九章和第十章，选择性必修第三册．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
垃圾分类是保护环境、改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展重要举措，现将 3 袋垃圾随机投入 4 个不同的垃圾桶，则不同的投法有（）
A. 7 种B. 12 种C. 64 种D. 81 种
中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按 的比例录取，若某年会试录取人数为 400，则中卷录取人数为（）
A. 40B. 70C. 110D. 150
某小组有 4 名男同学和 3 名女同学，从中任选 3 名同学去参加座谈会，则与事件“3 名同学全是女生”是对立事件的是（）
恰有 1 名同学是女生B. 恰有两名同学是女生
C. 至少有 1 名同学是男生D. 至少有 1 名同学是女生
一批产品中次品率为 10%，随机抽取 1 件，定义，则（）
A 0.05B. 0.1C. 0.8D. 0.9
某校举办运动会，某班级打算从 5 名男生与 4 名女生中选两名男生和两名女生去参加跑步接力比赛，则不同的选派方法数为（）
A. 20B. 35C. 50D. 60
某养猪场圈养了 1000 头小猪，计划半年后出栏，根据经验，该品种的猪生长半年后达到的重量（kg）
服从正态分布，当猪的重量大于 90kg 时，即可出栏，则半年后即可出栏的猪的数量约为（
）
（参考数据：若 ，则 ， ）
A. 683B. 841C. 977D. 955
已知(1＋2x)8 展开式的二项式系数的最大值为 a，系数的最大值为 b，则 的值为（）
A.B.
C.D.
为了协调城乡教育资源平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（ ）种.
B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
下列抽查，适合抽样调查的是（ ）
进行某一项民意测验
调查某化工厂周围 5 个村庄是否受到污染
调查黄河的水质情况
调查某药品生产厂家一批药品的质量情况
在二项式 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
常数项为B. 含 x 的系数为
B.
C. 所有的二项式系数之和为 64D. 所有项的系数之和为
设是一次随机试验中的两个事件，且，则（）
相互独立
C. D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
已知四位数 ，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为.
若某次调查样本数据为 1，a，5，y，7，且a，y 是方程 的两根，则这个样本的方差是
．
某初级中学初一、初二、初三的学生人数比例为 ，假设该中学初一、初二、初三的学生阅读完《三国演义》的概率分别为 ，， ，若从该中学三个年级的学生中随机选取 1 名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于 ，已知该中学初三的学生阅读完《三国演义》的概率不低于初二的学生阅读完《三国演义》的概率，则 的取值范围是.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，随机抽查了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的
，
，
，
，
，
重要指标），将所得到的数据分成 7 组：，
（棉花纤维的长度均在内），绘制得到如图所示的频率分布直方图．
求的值，并估计棉花纤维的长度的众数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作为代表）；
估计棉花纤维的长度的 75%分位数．
为了了解贵州省大学生是否关注原创音乐剧与性别有关，某大学学生会随机抽取 1000 名大学生进行统计，得到如下列联表：
从关注原创音乐剧的 550 名大学生中任选 1 人，求这人是女大学生的概率.
试根据小概率值 的独立性检验，能否认为是否关注原创音乐剧与性别有关联？说明你的理
男大学生
女大学生
合计
关注原创音乐剧
250
300
550
不关注原创音乐剧
250
200
450
合计
500
500
1000
某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从 15 岁人群中选取了 9 人，测得他们的身高（单位：cm）和体重（单位：kg），得到如下数据：
若两组变量间的样本相关系数 满足 ，则称其为高度相关，试判断青少年身高与体重是否高度相关，说明理由（ 精确到 0.01）；
，
，
建立关于 的经验回归方程，并预测某同学身高为 时，体重的估计值（保留整数）.参考数据： ， ，
参考公式：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘
估计公式分别为：， .
举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队 2 人，每人回答一个问题，
由.
附：
，其中
.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
样本号
均
1
2
3
4
5
6
7
8
9
值
身高
165
157
156
173
163
159
177
161
165
164
体重
53
46
48
56
57
49
60
45
54
52
回答正确积 1 分，回答错误积 0 分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为 ，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立.
求甲队总得分为 1 分的概率；
求两队积分相同的概率.
设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的 5 个球，其中甲箱有 3 个蓝球和 2个黑球，乙箱有 4 个红球和 1 个白球，丙箱有 2 个红球和 3 个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出 2 个球，若从甲箱中摸出的 2 个球颜色相同，则从乙箱中摸出 1 个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出 2 个球；若从甲箱中摸出的 2 个球颜色不同，则从丙箱中摸出 1 个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出 2 个球.
若最后摸出的 2 个球颜色相同，求这 2 个球是从乙箱中摸出的概率；
若摸出每个红球记 1 分，每个白球记 0 分，用随机变量表示最后摸出2 个球的分数之和，求的分布列及数学期望.
2025~2026 学年上学期“六校联谊”高二期中考试数学
（试卷满分：150 分，考试时间：120 分钟）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用 0.5mm 的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
考试结束后，请将答题卡上交．
本卷主要命题范围：必修第二册第九章和第十章，选择性必修第三册．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
垃圾分类是保护环境、改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措，现将 3 袋垃圾随机投入 4 个不同的垃圾桶，则不同的投法有（）
A. 7 种B. 12 种C. 64 种D. 81 种
【答案】C
【解析】
【分析】因为每袋垃圾均有 4 个垃圾桶可以选择，结合分步乘法计数原理运算求解.
【详解】因为每袋垃圾均有 4 个垃圾桶可以选择，不同的投法有 种.故选：C.
中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按 的比例录取，若某年会试录取人数为 400，则中卷录取人数为（）
A. 40B. 70C. 110D. 150
【答案】A
【解析】
【分析】依题意，求出中卷录取的比率，再根据会试录取人数即可求得中卷录取人数.
【详解】依题意，中卷录取的比率为：，
故会试录取人数为 400 时，中卷录取人数为.
故选：A.
某小组有 4 名男同学和 3 名女同学，从中任选 3 名同学去参加座谈会，则与事件“3 名同学全是女生”是对立事件的是（）
恰有 1 名同学是女生B. 恰有两名同学是女生
C. 至少有 1 名同学是男生D. 至少有 1 名同学是女生
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知，结合对立事件的定义写出已知事件的对立事件，即可得.
【详解】由对立事件的定义知，与事件“3 名同学全是女生”是对立事件的是事件“3 名同学全至少有 1 名男生”.
故选：C
一批产品中次品率为 10%，随机抽取 1 件，定义，则（）
A. 0.05B. 0.1C. 0.8D. 0.9
【答案】B
【解析】
【分析】由均值的性质即可求解.
【详解】 .
故选：B.
某校举办运动会，某班级打算从 5 名男生与 4 名女生中选两名男生和两名女生去参加跑步接力比赛，则不同的选派方法数为（）
A. 20B. 35C. 50D. 60
【答案】D
【解析】
【分析】利用分步乘法原理结合条件即得.
【详解】根据分步乘法原理由题可得不同的选派方法数为(种).
故选：D.
某养猪场圈养了 1000 头小猪，计划半年后出栏，根据经验，该品种的猪生长半年后达到的重量（kg）服从正态分布，当猪的重量大于 90kg 时，即可出栏，则半年后即可出栏的猪的数量约为（
）
（参考数据：若，则，
）
A. 683B. 841C. 977D. 955
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知： ，则 ，结合正态分布的原则分析求解.
【详解】由题意可知： ，则 ，
可得 ，
所以半年后即可出栏的猪的数量约为 .
故选：C.
已知(1＋2x)8 展开式的二项式系数的最大值为 a，系数的最大值为 b，则 的值为（）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项式系数的性质求得，系数的最大值为 求得 ，从而求得 的值．
【详解】由题意可得 ，又展开式的通项公式为 ，设第 项的系数最大，则，即，
，
，
求得 或 6，此时，
故选：A．
【点睛】方法点睛：求最大二项式系数时：如果 n 是奇数，最大的就是最中间一个，如果 n 是偶数,最大的就是最中间两个；
求系数的最大项时：设第 r+1 项为系数最大项，需列出不等式组，解之求得 .
为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望
中学，则不同的分配方法有（）种.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】采用分类与分步计数原理，先排丙共有种分法，再分为甲、丙在同一所学校和甲、丙不在同一所学校两类，每类分别讨论，最后相加得到结果.
【详解】先将丙安排在一所学校，有种分法；若甲、丙在同一所学校，那么乙就有种选法，
剩下 3 名教师可能分别有 3、2、1 人在最后一所学校（记为 X 校），
分别对应有 1（3 人均在 X 校）、（2 人在 X 校，另 1 人随便排）、
（1 人在 X 校，另 2 人分在同一所学校或不在同一所学校），共 种排法；
若甲、丙不在同一所学校，则甲有种选法，
若乙与丙在同一所学校，则剩下 3 名教师按上面方法有 19 种排法；若乙与丙不在同一所学校，则有剩下 3 人可分别分为 1、2、3 组，分别有、 、种排法，故共有：
种排法.
故选：B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
下列抽查，适合抽样调查是（ ）
进行某一项民意测验
调查某化工厂周围 5 个村庄是否受到污染
调查黄河的水质情况
调查某药品生产厂家一批药品的质量情况
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据抽样调查的定义逐项判断可得答案.
【详解】对于 A，由于民意测验的特殊性，不可能也没必要对所有的人都进行调查，因此也是采用抽样调查的方式，故 A 正确；
对于 B，适合全面调查，故 B 错误；
对于 C，因为无法对所有的黄河水质进行全面调查，所以只能采取抽样调查的方式，故 C 正确；对于 D，对药品的质量检验具有破坏性，所以只能采取抽样调查，故 D 正确；
故选：ACD.
在二项式 的展开式中，下列结论正确的是（）
常数项为B. 含 x 的系数为
C. 所有的二项式系数之和为 64D. 所有项的系数之和为
【答案】BC
【解析】
【分析】求出指定项可判断 A 和 B，利用二项式系数的性质可判断 C，利用赋值法求出展开式系数和可判断 D.
【详解】在二项式展开式中，常数项为 ，所以 A 错误；含 x 的项的系数为 ，B 正确；
所有的二项式系数之和为 ，C 正确；
B.
令 ，可得所有项的系数之和为 1，D 错误．故选：BC．
设是一次随机试验中的两个事件，且，则（）
相互独立
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用条件概率、独立事件、对立事件、互斥事件的概率公式计算逐项判断可得答案.
【详解】对于 A，由题意可知，则，因此 ，故 A 正确；
对于 B，，
，故 B 正确；
对于 C，，所以，因此，故 C 错误；
对于 D， ，因此
，
即 ，故 D 正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
已知四位数 ，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为.
【答案】 ##
【解析】
，
，
【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】 任意交换两个数的位置之后有： ，
， ， ，共 种，
，
，
两个奇数相邻有
所以两个奇数相邻的概率为 .
故答案为：
共 种，
若某次调查样本数据为 1，a，5，y，7，且a，y 是方程 的两根，则这个样本的方差是
．
【答案】4
【解析】
【分析】根据给定条件，利用平均数及方差的定义列式计算.
【详解】由 是方程 的两根，不妨令， ，样本平均数为 ，所以这个样本的方差为 .
故答案为：4
某初级中学初一、初二、初三的学生人数比例为 ，假设该中学初一、初二、初三的学生阅读完《三国演义》的概率分别为 ，， ，若从该中学三个年级的学生中随机选取 1 名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于 ，已知该中学初三的学生阅读完《三国演义》的概率不低于初二的学生阅读完《三国演义》的概率，则 的取值范围是.
【答案】
【解析】
【分析】根据全概率公式得到不等式求出 的范围，再结合 ，从而得解.
【详解】若从该中学三个年级的学生中随机选取 1 名学生，则这名学生阅读完《三国演义》的概率为
，解得 ，
因为该中学初三的学生阅读完《三国演义》的概率不低于初二的学生阅读完《三国演义》的概率，所以 ，
故 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，随机抽查了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的
，
，
，
，
，
重要指标），将所得到的数据分成 7 组：，
（棉花纤维的长度均在内），绘制得到如图所示的频率分布直方图．
求的值，并估计棉花纤维的长度的众数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作为代表）；
估计棉花纤维的长度的 75%分位数．
【答案】（1），众数为，平均数；
（2）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图解得 ，再求出众数及平均数即可；
（2）设棉花纤维的长度的 75%分位数为 ，所以即可求解．
【小问 1 详解】
解：由频率分布直方图知 ，
解得 ．
最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为．平均数
；
【小问 2 详解】
解：设棉花纤维的长度的 75%分位数为 ，
所以，解得 ．
计，得到如下
列联表：
为了了解贵州省大学生是否关注原创音乐剧与性别有关，某大学学生会随机抽取 1000 名大学生进行统
男大学生
女大学生
合计
关注原创音乐剧
250
300
550
不关注原创音乐剧
250
200
450
合计
500
500
1000
从关注原创音乐剧的 550 名大学生中任选 1 人，求这人是女大学生的概率.
试根据小概率值 的独立性检验，能否认为是否关注原创音乐剧与性别有关联？说明你的理
【答案】（1）
（2）有关联，理由见解析
【解析】
【分析】（1）直接计算概率即可.
（2）计算，对比数据得到答案.
【小问 1 详解】
从关注原创音乐剧的 550 名大学生中任选 1 人，这人是女大学生的概率为.
【小问 2 详解】
零假设为 ：是否关注原创音乐剧与性别无关联.
根据列表中的数据，经计算得到，
时，
，
当
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，即认为是否关注原创音乐剧与性别有关联.
某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从 15 岁人群中选取了 9 人，测得他们的身高（单
位：cm）和体重（单位：kg），得到如下数据：
由.
附：
，其中
.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
若两组变量间的样本相关系数 满足 ，则称其为高度相关，试判断青少年身高与体重是否高度相关，说明理由（ 精确到 0.01）；
，
.
建立关于 的经验回归方程，并预测某同学身高为 时，体重的估计值（保留整数）.参考数据： ， ， ，
参考公式：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘
估计公式分别为：， .
【答案】（1）相关，理由见解析
（2） ，身高为 的某同学，体重大概为
【解析】
【分析】（1）根据题意，由相关系数 的公式代入计算，即可判断；
（2）根据题意，由最小二乘法公式代入计算，分别求得，然后代入计算，即可得到结果.小问 1 详解】
.
因为（或），
样本号
均
1
2
3
4
5
6
7
8
9
值
身高
165
157
156
173
163
159
177
161
165
164
体重
53
46
48
56
57
49
60
45
54
52
所以，即身高与体重间是高度相关的；
【小问 2 详解】
因为，
所以 ，
所以体重关于身高的回归方程为 ，所以当 时， .
即某同学身高为 时，体重大概为 .
举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队 2 人，每人回答一个问题，回答正确积 1 分，回答错误积 0 分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率
均为 ，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立.
求甲队总得分为 1 分的概率；
求两队积分相同的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）根据题意可知甲队得 1 分，则一人回答正确，另一人回答错误，结合独立事件概率乘法公式运算求解；
（2）根据题意可得甲、乙得分的概率，分别求两队积分同为 0 分，1 分，2 分的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解.
【小问 1 详解】
记“甲队总得分为 1 分”为事件 A，甲队得 1 分，则一人回答正确，另一人回答错误，所以；
【小问 2 详解】
由题意可知：甲队积 0 分，1 分，2 分的概率分别为，
乙队积 0 分，1 分，2 分的概率分别为，
则
，
所以两队积分相同的概率为
.
记两队积分同为 0 分，1 分，2 分的分别为事件 ，因为两队得分相互独立，互不影响，
设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的 5 个球，其中甲箱有 3 个蓝球和 2个黑球，乙箱有 4 个红球和 1 个白球，丙箱有 2 个红球和 3 个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出 2 个球，若从甲箱中摸出的 2 个球颜色相同，则从乙箱中摸出 1 个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出 2 个球；若从甲箱中摸出的 2 个球颜色不同，则从丙箱中摸出 1 个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出 2 个球.
若最后摸出的 2 个球颜色相同，求这 2 个球是从乙箱中摸出的概率；
若摸出每个红球记 1 分，每个白球记 0 分，用随机变量表示最后摸出的 2 个球的分数之和，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）首先求出从甲箱中摸出的 2 个球颜色相同与不相同的概率，记事件为“这 2 个球是从乙箱中摸出的”， 为“最后摸出的 2 个球颜色相同”，根据条件概率公式计算可得；
（2）依题意的可能取值为 、、 ，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.
【小问 1 详解】
依题意从甲箱中摸出的 2 个球颜色相同的概率，从甲箱中摸出的 2 个球颜色不相同的概率 ，
记事件为“这 2 个球是从乙箱中摸出的”， 为“最后摸出的 2 个球颜色相同”，则.
又因为.
，
所以.
【小问 2 详解】
依题意可得的可能取值为 、、 ，所以
，
，
所以
所以的分布列为：