第54讲　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式高考数学一轮复习讲义练习

这是一份第54讲　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式高考数学一轮复习讲义练习，共9页。试卷主要包含了 假设P＝0， 设A⊆B，且P＝0，25B等内容，欢迎下载使用。

激活思维
1. (人A必二P250习题T1)掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为( )
A. 互斥B. 互为对立事件
C. 相互独立D. 相等
2. (人A必二P250习题T2)假设P(A)＝0.7，P(B)＝0.8，且A，B相互独立，则P(AB)＝___________________，P(A∪B)＝__________________．
3. (人A 选必三P48习题T1)设A⊆B，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，则P(B|A)＝__________________，P(A|B)＝___________________．
4. (人A 选必三P52习题T3)甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，若目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为_________________．
5. (人A 选必三P52练习T4)甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱中随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱中随机摸出1个球．则摸到红球的概率是___________________．
聚焦知识
1. 相互独立事件
(1) 概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝__________________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
(2) 性质：如果事件A与B相互独立，那么A与 eq \x\t(B)， eq \x\t(A)与_B_， eq \x\t(A)与 eq \x\t(B)也都相互独立．
2. 条件概率
(1) 概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝ eq \f(P(AB),P(A))为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
(2) 两个公式
①利用古典概型：P(B|A)＝ eq \f(n(AB),n(A)).
②概率的乘法公式：P(AB)＝___________________．
3. 全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有___________________，我们称上面的公式为全概率公式．
4. *贝叶斯公式：
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)＞0，有P(Ai|B)＝ eq \f(P(Ai)P(B|Ai),P(B))＝ eq \f(P(Ai)P(B|Ai),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(k＝1))P(Ak)P(B|Ak))，i＝1，2，…，n.
研题型 素养养成
举题说法
相互独立事件的判断
例1 (2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．事件甲＝“第一次取出的球的数字是1”，事件乙＝“第二次取出的球的数字是2”，事件丙＝“两次取出的球的数字之和是8”，事件丁＝“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
求相互独立事件同时发生的概率的方法：
(1) 相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．(2) 当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
变式1 (2024·湛江一模)在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件M＝“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件N＝“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件X＝“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件Y＝“甲、乙两人均未选择B选项”，则( )
A. 事件M与事件N相互独立
B. 事件X与事件Y相互独立
C. 事件M与事件Y相互独立
D. 事件N与事件Y相互独立
条件概率
例2 (多选)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现任取一个零件，记事件Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，事件B＝“任取一零件为次品”，则( )
A. P(A1)＝0.25B. P(B|A2)＝0.015
C. P(B)＝0.052 5D. P(A1|B)＝ eq \f(2,7)
求条件概率的常用方法：
(1) 定义法：P(B|A)＝ eq \f(P(AB),P(A)).(2) 样本点法：P(B|A)＝ eq \f(n(AB),n(A)).(3) 缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．
变式2 (2024·开封三模)在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率是( )
A. eq \f(3,4)B. eq \f(3,10)
C. eq \f(3,25)D. eq \f(6,25)
全概率公式
例3 (2024·河南济、洛、平、许三模)某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%.学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的 eq \f(1,4)， eq \f(1,3)， eq \f(5,12).若主持人随机从场下学生中选一人参与互动．
(1) 求选到的学生是艺术生的概率；
(2) 如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大．
若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体怎样未知，那么：①如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；②如果第二阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式．
变式3 (2024·惠州一模)全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱．每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如下表：
(1) 完成2×2列联表，并依据小概率值 α＝0.01的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关？(附：x0.01＝6.635)
(2) 由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6.
①当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
②当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率(精确到0.01).
抽象事件的概率及运算
例4 (2025·镇江期初)(多选)已知事件A与B发生的概率分别为P(A)＝ eq \f(3,5)，P(B)＝ eq \f(4,5)，则下列说法正确的是( )
A. P(AB)＝ eq \f(12,25)B. P(A|B)＞ eq \f(2,5)
C. P(A＋B)＝ eq \f(23,25)D. eq \f(2,3)≤P(B|A)≤1
可用如图所示的Venn图来解决此类问题：
①P(B)＝P(BA)＋P(B eq \x\t(A))＝P(B)P(A|B)＋P(B)P( eq \x\t(A)|B)＝P(A)P(B|A)＋P( eq \x\t(A))P(B| eq \x\t(A))；
②若P(B)≠0，则必有P(A|B)＋P( eq \x\t(A)|B)＝1.
变式4 (2024·滨州二模)已知随机事件A，B发生的概率分别为P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，则下列说法正确的是( )
A. 若P(AB)＝0.9，则A，B相互独立
B. 若A，B相互独立，则P(A|B)＝0.6
C. 若P(A|B)＝0.5，则P(AB)＝0.25
D. 若B⊆A，则P(B|A)＝0.8
随堂内化
1. (2024·青岛一模)(多选)袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A＝“取出的球的数字之积为奇数”，事件B＝“取出的球的数字之积为偶数”，事件C＝“取出的球的数字之和为偶数”，则( )
A. 事件A与B是互斥事件
B. 事件A与B是对立事件
C. 事件B与C是互斥事件
D. 事件B与C相互独立
2. (2024·鹰潭二模)质数又称素数，我们把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和7，…….在不超过20的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件A＝“这两个数都是素数”；事件B＝“这两个数不是孪生素数”，则P(B|A)＝( )
A. eq \f(6,7)B. eq \f(1,7)
C. eq \f(2,3)D. eq \f(4,7)
3. (2025·南京零模)(多选)对于随机事件A，B，若P(A)＝ eq \f(2,5)，P(B)＝ eq \f(3,5)，P(B|A)＝ eq \f(1,4)，则( )
A. P(AB)＝ eq \f(3,20)B. P(A|B)＝ eq \f(1,6)
C. P(A＋B)＝ eq \f(9,10)D. P( eq \x\t(A)B)＝ eq \f(1,2)
4. (2024·上海卷)某校举办科学竞技比赛，有A，B，C三个题库，A题库有5 000道题，B题库有4 000道题，C题库有3 000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确率是_________________．
配套精练
一、 单项选择题
1. (2023·全国甲卷理)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部．若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为( )
A. 0.8 B. 0.4
C. 0.2 D. 0.1
2. (2024·南京二模)已知P(A)＝ eq \f(3,5)，P(A eq \x\t(B))＝ eq \f(1,5)，P(A|B)＝ eq \f(1,2)，则P(B)＝( )
A. eq \f(1,5) B. eq \f(2,5)
C. eq \f(3,5) D. eq \f(4,5)
3. (2024·武汉5月训练)抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A＝“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，B＝“n次中至多有一次正面朝上”，则下列说法不正确的是( )
A. 当n＝2时，P(AB)＝ eq \f(1,2)
B. 当n＝2时，事件A与事件B不独立
C. 当n＝3时，P(A＋B)＝ eq \f(7,8)
D. 当n＝3时，事件A与事件B不独立
4. (2024·福州2月质检)甲、乙、丙三个地区分别有x%，y%，z%的人患了流感，且x，y，z构成以1为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数之比为5∶3∶2，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则x的可能取值为( )
A. 1.21 B. 1.34
C. 1.49 D. 1.51
二、 多项选择题
5. (2024·莆田二检改)若P(AB)＝ eq \f(1,10)，P( eq \x\t(A))＝ eq \f(3,5)，P(B)＝ eq \f(1,4)，则( )
A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B相互独立
C. P(A＋B)＝ eq \f(11,20) D. P( eq \x\t(A)B)＝ eq \f(1,5)
6. (2024·吕梁二模)甲、乙两名同学分别从a，b，c，d四门不同的选修课中随机选修两门．设事件X＝“a，b两门选修课中，甲同学至少选修一门”，事件Y＝“乙同学一定不选修c”，事件Z＝“甲、乙两人所选选修课至多有一门相同”，事件W＝“甲、乙两人均选修d”，则( )
A. P(X)＝P(Z) B. P(Y)＝P(W)
C. X与Y相互独立 D. Z与W相互独立
7. (2024·广州一模)甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球(两箱中的球除颜色外没有其他区别)，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则( )
A. P(A1)＝ eq \f(3,5) B. P(B)＝ eq \f(11,50)
C. P(B|A1)＝ eq \f(9,50) D. P(A2|B)＝ eq \f(2,11)
三、 填空题
8. (2024·天津卷)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A的概率为__________________；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为__________________．
9. (2025·南昌期初)庆“七一”，教育局组织党史知识竞赛，经过激烈角逐，最后甲、乙两队争夺冠军，实行“三局两胜”制(无平局)．若甲队在每局比赛中获胜的概率均为 eq \f(2,3)，且每局比赛结果相互独立，则在甲队获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为___________________.
10. 某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球)．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为___________________．
四、 解答题
11. (2025·肇庆期初联考)某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三种等级：一等品、二等品和次品．根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1.现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品．
(1) 求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率．
(2) 假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰．求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率．
12. (2024·宁波二模)三个人利用手机软件依次进行拼手气抢红包活动，红包的总金额数为3n(n≥2，n∈N)个单位．第一个人抢到的金额数为1到2n－1个单位且等可能(记第一个人抢完后剩余的金额数为W)，第二个人在剩余的W个金额数中抢到1到W－1个单位且等可能，第三个人抢到剩余的所有金额数，并且每个人抢到的金额数均为整数个单位．三个人都抢完后，获得金额数最高的人称为手气王(若有多人金额数相同且最高，则先抢到最高金额数的人称为手气王)．
(1) 若n＝2，则第一个人抢到的金额数可能为1，2，3个单位且等可能．
①求第一个人抢到金额数X的分布列与期望；
②求第一个人获得手气王的概率．
(2) 在三个人抢到的金额数为2，3，4的一个排列的条件下，求第一个人获得手气王的概率．
甲球员是否上场
球队的胜负情况
合计
胜
负
上场
40
45
未上场
3
合计
42