第57讲　正态分布高考数学一轮复习讲义练习

这是一份第57讲　正态分布高考数学一轮复习讲义练习，共8页。试卷主要包含了682 7；， 已知随机变量X～N等内容，欢迎下载使用。

激活思维
1. (人A 选必三P87练习T1)设随机变量X～N(0，1)，则X的密度函数为__________________，P(X≤0)＝__________________，P(|X|≤1)≈___________________，P(X＞1)≈___________________．(精确到0.000 1)
2. (人A 选必三P87练习T2)设随机变量X～N(0，22)，随机变量Y～N(0，32)，则P(|X|≤1)与P(|Y|≤1)之间的大小关系是___________________．
3. (人A 选必三P87习题T2)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170，52)，现随机选择一名该市高二年级的男生，则P(165≤X≤175)＝___________________．
4. (人A 选必三P87习题T3)若X～N(μ，σ2)，则X位于区域[μ，μ＋σ]内的概率是__________________．
5. (人A 选必三P87习题T4)袋装食盐标准质量为400 g，规定误差的绝对值不超过4 g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4，可估计这批袋装食盐的合格率为___________________．
聚焦知识
1. 定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝ eq \f(1,σ\r(2π))·e－ eq \s\up10(\f((x－μ)2, 2σ2)) ，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为__________________．
2. 正态曲线的特点
(1) 曲线是单峰的，它关于直线__________________对称；
(2) 曲线在___________________处达到峰值 eq \f(1,σ\r(2π))；
(3) 当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
3. 3σ原则：假设X～N(μ，σ2)，则
(1) P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
(2) P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
(3) P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
4. 正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝__________________，D(X)＝_________________．
研题型 素养养成
举题说法
正态分布的性质
例1 (多选)若X～N(μ，σ2)，则下列说法正确的是( )
A. P(X＜μ＋σ)＝P(X＞μ－σ)
B. P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)＜P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)
C. P(X＜μ＋σ)不随μ，σ的变化而变化
D. P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)随μ，σ的变化而变化
(1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定．曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示．
(2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
甲
乙
变式1 设X～N(μ1，σ eq \\al(2,1))，Y～N(μ2，σ eq \\al(2,2))，这两个正态密度曲线如图所示，则下列结论正确的是( )
(变式1)
A. P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B. P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C. 函数F(t)＝P(X＞t)在R上单调递增
D. P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)＝P(μ2－2σ2≤Y≤μ2＋2σ2)
正态分布下的概率计算
例2 (2024·新高考Ⅰ卷)(多选)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 eq \x\t(x)＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N( eq \x\t(x)，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z＜μ＋σ)≈0.841 3) ( )
A. P(X＞2)＞0.2B. P(X＞2)＜0.5
C. P(Y＞2)＞0.5D. P(Y＞2)＜0.8
解决正态分布问题有三个关键点：(1) 正态密度曲线的对称轴x＝μ；(2) 标准差σ；(3) 分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在μ＝0时正态密度曲线的对称轴才为x＝0.
1. (2025·南京、盐城期末)(多选)某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X(单位：g)．若X～N(600，σ2)，其中σ＞0，则( )
A. P(X＜600)＝ eq \f(1,2)
B. P(592＜X＜598)＜P(602＜X＜606)
C. P(X＜595)＝P(X＞605)
D. σ越小，P(X＜598)越大
2. (2024·唐山二模)某地区5 000名学生的数学成绩X(单位：分)服从正态分布N(90，σ2)，且成绩在[90，100]的学生人数约为1 800，则估计成绩在100分以上的学生人数约为( )
A. 200B. 700
C. 1 400D. 2 500
3. (2025·济南期初)(多选)已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(100，100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是( )
附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝0.997 4.
A. 该市学生数学成绩的标准差为100
B. 该市学生数学成绩的期望为100
C. 该市学生数学成绩的及格率超过0.8
D. 该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
正态分布的应用
例3 (2024·苏锡常镇调研)单位面积穗数、穗粒数、千粒重是影响小麦产量的主要因素，某小麦品种培育基地在一块试验田种植了一个小麦新品种，收获时随机选取了100个小麦穗，对每个小麦穗上的小麦粒数进行统计得到如下统计表：
其中同一组中的数据用该组区间的中点值作代表．从收获的小麦粒中随机选取5组，每组1 000粒，分别称重，得到这5组的质量(单位：g)分别为38，46，42，40，44.
(1) 根据抽测，这块试验田的小麦亩穗数为40万，试估计这块试验田的小麦亩产量(结果四舍五入到1 kg)；
(2) 已知该试验田穗粒数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差．若小麦穗粒数不低于28粒的穗数超过总体的80%，则称该小麦品种为优质小麦品种，试判断该试验田中的小麦品种是否为优质小麦品种，并说明理由．
附：亩产量＝亩穗数×样本平均穗粒数× eq \f(样本平均千粒重,1 000).
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7.
随堂内化
1. (2024·烟台、德州二模)若随机变量ξ～N(3，σ2)，且P(ξ＞4)＝0.2，则P(2＜ξ＜3)等于( )
A. 0.2B. 0.3
C. 0.4D. 0.5
.
2. (2024·湛江期初摸底)(多选)若随机变量X～N(μ，σ2)，X的密度函数为f(x)＝ eq \f(1,σ\r(2π))e－ eq \s\up10(\f((x－μ)2, 2σ2)) ，则( )
A. X的密度曲线与y轴只有一个交点
B. X的密度曲线关于x＝σ对称
C. 2P(X＞μ＋3σ)＝P(|X－μ|＞3σ)
D. 若Y＝ eq \f(X－μ,σ)，则E(Y)＝0
3. (2024·广州二模)已知一批砂糖橘的果实横径(单位：mm)服从正态分布N(45，52)，其中果实横径落在[40，55]的砂糖橘为优质品，则这批砂糖橘的优质品率约为(若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5)( )
A. 0.682 7B. 0.818 6
C. 0.841 3D. 0.954 5
4. (2024·汕头二模)(多选)某校高三年级选考生物科的学生共1 000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为[30，100]，若等级分X～N(80，25)，则( )
参考数据：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 3.
A. 这次考试等级分的标准差为25
B. 这次考试等级分超过80分的约有450人
C. 这次考试等级分在[65，95]内的人数约为997
D. P(70＜X≤75)＝0.135 9
5. (2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，则P(X＞2.5)＝__________________．
配套精练
一、 单项选择题
1. (2024·厦门四检)已知随机变量X～N(2，σ2)，P(X≤1)＝0.3，则P(X＜3)＝( )
A. 0.2 B. 0.3
C. 0.7 D. 0.8
2. (2024·阜阳一测)设两个正态分布N(μ1，σ eq \\al(2,1))(σ1＞0)和N(μ2，σ eq \\al(2,2))(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )
(第2题)
A. μ1＜μ2，σ1＜σ2 B. μ1＜μ2，σ1＞σ2
C. μ1＞μ2，σ1＜σ2 D. μ1＞μ2，σ1＞σ2
3. (2024·石家庄二模)某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50 000名考生参加这次考试，数学成绩X近似服从正态分布，其正态密度函数为f(x)＝ eq \f(1,σ\r(2π))e－ eq \f((x－90)2,2σ2)，x∈R且P(70≤X≤110)＝0.8，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为( )
A. 2 000 B. 3 000
C. 4 000 D. 5 000
4. (2024·金华义乌三模)某市高中数学统考(总分150分)，假设考试成绩服从正态分布N(95，122)，并按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩从高到低分为A，B，C，D四个等级．若某同学考试成绩为99分，则该同学的等级为(参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.95)( )
A. A B. B
C. C D. D
二、 多项选择题
5. 已知随机变量X～N(μ，σ2)，函数f(x)＝ eq \f(1,σ\r(2π))·e－ eq \s\up10(\f((x－μ)2, 2σ2)) (x∈R)，则( )
A. 当x＝μ时，f(x)取得最大值 eq \f(1,σ\r(2π))
B. 曲线y＝f(x)关于直线x＝μ对称
C. x轴是曲线y＝f(x)的渐近线
D. 曲线y＝f(x)与x轴之间的面积小于1
6. (2024·聊城一模)在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩X～N(μ，σ2)，且E(X)＝80，D(X)＝400，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120分者为优秀．令P(|X－μ|≤σ)＝m，P(|X－μ|＜2σ)＝n，则( )
A. μ＝80，σ＝400
B. 从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为 eq \f(m＋n,2)
C. 从该市高一全体学生中(数量很大)依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为 eq \f(1－n2,2)
D. 从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为 eq \f(1－n,1＋m)
三、 填空题
7. (2024·佛山二模)统计学中通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，简称为3σ原则．假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布N(400，σ2)(单位：g)，某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修．由此可以得出，σ的最大值是_________________．
8. (2024·苏中苏北八市三调)已知随机变量X～N(4，42).若P(X＜3)＝0.3，则P(3＜X＜5)＝___________________；若Y＝2X＋1，则Y的方差为___________________．
9. (2024·荆州模拟)已知随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，则 eq \f(1,x)＋ eq \f(4,a－x)(0＜x＜a)的最小值为___________________．
四、 解答题
10. (2024·南昌二模)一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1 000，52).
(1) 生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间(995，1 000]和(1 005，1 010]内各一只的概率(精确到0.001)．
(2) 根据统计学的知识，从服从正态分布N(μ，σ2)的总体中抽取容量为n的样本，则这个样本的平均数服从正态分布N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(μ，\f(σ2,n))).某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为1 000，1 007，1 012，1 013，1 013(单位：Ω)，你认为这时生产线生产正常吗？请说明理由．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
11. (2024·南京、盐城一模)已知某种机器的电源电压U(单位：V)服从正态分布N(220，202)，其电压通常有3种状态：①不超过200 V；②在200 V～240 V之间；③超过240 V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2.
(1) 求该机器生产的零件为不合格品的概率；
(2) 从该机器生产的零件中随机抽取n(n≥2)件，记其中恰有2件不合格品的概率为pn，求pn取得最大值时n的值．
附：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.95.
穗粒数
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60]
穗数
4
10
56
22
8