第52讲　二项式定理及其应用高考数学一轮复习讲义练习

这是一份第52讲　二项式定理及其应用高考数学一轮复习讲义练习，共7页。试卷主要包含了 10的展开式的第6项的系数是， 3的各项系数和为等内容，欢迎下载使用。

激活思维
1. (人A 选必三P31练习T4)(x－1)10的展开式的第6项的系数是( )
A. －C eq \\al(6,10)B. C eq \\al(6,10)
C. －C eq \\al(5,10)D. C eq \\al(5,10)
2. (人A选必三P34习题T1(2))若二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2项的系数为15，则n＝( )
A. 4B. 5
C. 6D. 7
3. (1－2x)(x＋2)3的各项系数和为( )
A. －27B. 27
C. 16D. －16
4. (人A 选必三P38复习参考题T9改)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是( )
A. 74B. 121
C. －74D. －121
5. (人A选必三P31练习T5)在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是__________________．
聚焦知识
1. 二项式定理
2. 二项式系数的性质
(1) C eq \\al(0,n)＝1，C eq \\al(n,n)＝1，C eq \\al(m,n＋1)＝___________________，
C eq \\al(m,n)＝___________________(0≤m≤n).
(2) 二项式系数先增后减中间项最大．当n为偶数时，第 eq \f(n,2)＋1项的二项式系数最大，最大值为Ceq \\al( eq \s\up4(\f(n,2)) ,n)；当n为奇数时，第 eq \f(n＋1,2)项和第 eq \f(n＋3,2)项的二项式系数最大，最大值为Ceq \\al( eq \s\up6(\f(n－1,2)), n)和Ceq \\al( eq \s\up6(\f(n＋1,2)), n).
(3) 各二项式系数和：C eq \\al(0,n)＋C eq \\al(1,n)＋C eq \\al(2,n)＋…＋C eq \\al(n,n)＝___________________，C eq \\al(0,n)＋C eq \\al(2,n)＋C eq \\al(4,n)＋…＝C eq \\al(1,n)＋C eq \\al(3,n)＋C eq \\al(5,n)＋…＝___________________．
研题型 素养养成
举题说法
展开式的特定项
视角1 (a＋b)n的展开式
例 1-1 (1) (2024·唐山一模)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x3－\f(1,x))) eq \s\up12(4)的展开式中，常数项为__________________．(用数字作答)
(2) (2024·鹰潭一模) eq \f((2x－y)6,x2y4)的展开式中 eq \f(y,x)的系数为___________________．
(3) (2024·益阳4月检测)已知(1＋62x)99＋(62－x)99＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a99x99，且a0，a1，a2，…，a99∈R，则满足ak＜0(k∈N且0≤k≤99)的k的最大值为___________________．
求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．
视角2 (a＋b)m(c＋d)n的展开式
例 1-2 (1) (2024·武汉4月调研)(2x－3)(x－1)5的展开式中x3的系数为( )
A. －50B. －10
C. 10D. 50
(2) (2025·常州期末)已知(x＋ay)(2x－y)5的展开式中x2y4项的系数为30，则a＝___________________．
对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
视角3 (a＋b＋c)n的展开式
例 1-3 (1) (2024·太原三模)(x＋y－1)5的展开式中xy2的系数为( )
A. －20B. 20
C. －30D. 30
(2) (2024·沧州二模)在(x－2y＋3z)6的展开式中，xy2z3项的系数为( )
A. 6 480B. 2 160
C. 60D. －2 160
要求三项展开式中指定的项，常有这几种做法：
(1) 两项看成一项，利用二项式定理展开；
(2) 因式分解，转化为两个二项式再求解(回到视角2)；
(3) 看作多个相同因式的乘积，用组合的知识解答．
二项式系数与项的系数问题
视角1 二项式系数和与系数和
例 2-1 (1) (2024·临汾三模)(多选)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)－\r(3,x))) eq \s\up12(8)的展开式中( )
A. 所有奇数项的二项式系数的和为128
B. 二项式系数最大的项为第5项
C. 有理项共有两项
D. 所有项的系数和为38
(2) (多选)若(1－2x)2 026＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 026x2 026，则下列结果正确的是( )
A. a0＋a1＋a2＋…＋a2 026＝1
B. a0＋a2＋a4＋…＋a2 026＝ eq \f(1＋32 026,2)
C. eq \f(a1,2)＋ eq \f(a2,22)＋…＋ eq \f(a2 026,22 026)＝0
D. a1＋2a2＋3a3＋…＋2 026a2 026＝4 052
一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为 eq \f(1,2)[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为 eq \f(1,2)[g(1)－g(－1)].
变式 2-1 (2024·江门一模)已知(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)11＝a0＋a1(2＋x)＋a2(2＋x)2＋…＋a11(2＋x)11，则a0＋a2＋a4＋…＋a10的值是( )
A. 680B. －680
C. 1 360D. －1 360
视角2 二项式系数与项的系数的最值
例 2-2 (1) (2024·汕头二模)(3＋2x)n展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为( )
A. 8B. 7
C. 6D. 5
(2) (2024·全国甲卷) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋x)) eq \s\up12(10)的展开式中，各项系数的最大值是__________________．
二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))从而解得k.
二项式定理的综合应用
例3 (1) (2024·湖北八市3月联考)已知今天是星期三，则67－1天后是( )
A. 星期一B. 星期二
C. 星期三D. 星期五
(2) (2024·郑州、周口二模)中国南北朝时期的著作《孙子算经》，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m＞0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(md m).若a＝C eq \\al(1,20)·2＋C eq \\al(2,20)·22＋…＋C eq \\al(20,20)·220，a≡b(md 10)，则b的值可以是( )
A. 2 018B. 2 020
C. 2 022D. 2 024
随堂内化
1. (2024·北京卷)在(x－ eq \r(x))4的展开式中，x3的系数为( )
A. 6B. －6
C. 12D. －12
2. (2024·汕头一模) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x3)))(1＋x)7展开式中x3项的系数为( )
A. 42B. 35
C. 7D. 1
3. (2024·常德3月模拟)已知(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8＋a9(x－1)9，则a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9＝( )
A. 9B. 10
C. 18D. 19
4. (2024·岳阳三模)(多选)下列结论正确的是( )
A. 若C eq \\al(n,7)＝C eq \\al(3,7)，则n＝3
B. C eq \\al(m,n)＝ eq \f(m＋1,n＋1)C eq \\al(m+1,n＋1)
C. (x－1)10的展开式的第6项的系数是C eq \\al(5,10)
D. (1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展开式中x2的系数为C eq \\al(3,6)－1
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1. (2024·广东大湾区二模)(2x－y)5的展开式中，x2y3的系数为( )
A. －10 B. 10
C. －40 D. 40
2. (2024·开封二模)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝( )
A. －40 B. 40
C. 41 D. 82
3. (2024·福州4月质检)(1－x)5(1＋2x)4的展开式中x2的系数为( )
A. －14 B. －6
C. 34 D. 74
4. (2024·烟台、德州二模) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋x－\f(1,y))) eq \s\up12(8)展开式中x2y-2的系数为( )
A. －840 B. －420
C. 420 D. 840
5. (2024·温州二模)在(3－x)(1－x)5展开式中，x的奇数次幂的项的系数和为( )
A. －64 B. 64
C. －32 D. 32
6. (2024·武汉5月训练)若(1＋2x)10＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a10(1＋x)10，则a2＝( )
A. 180 B. －180
C. －90 D. 90
7. 已知 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x))) eq \s\up12(n)的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为( )
A. 第5项 B. 第6项
C. 第7项 D. 第8项
8. (2024·三明三模)各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如八进制数(3 750)8转换为十进制数的算法为3×83＋7×82＋5×81＋0×80＝2 024.若将八进制数转换为十进制数，则转换后的数的末位数字是( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
二、 多项选择题
9. (2025·苏州期初)已知二项式 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,\r(x)))) eq \s\up12(6)，则其展开式中( )
A. 二项式系数最大的项为第3项
B. 常数项为第5项
C. 含x3的项为60x3
D. 所有项的系数和为64
10. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是( )
(第10题)
A. 由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想C eq \\al(r,n＋1)＝C eq \\al(r-1,n)＋C eq \\al(r,n)
B. 由“第n行所有数之和为2n”猜想：C eq \\al(0,n)＋C eq \\al(1,n)＋C eq \\al(2,n)＋…＋C eq \\al(n,n)＝2n
C. 第20行中，第10个数最大
D. 第15行中，第7个数与第8个数的比为7∶9
11. 已知函数f(x)＝(4x－1)12＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则( )
A. a3＝43×C eq \\al(3,12)
B. f(x)展开式中，二项式系数的最大值为C eq \\al(6,12)
C. a1＋a2＋a3＋…＋a12＝312
D. f(5)的个位数字是1
三、 填空题
12. (2024·南通一调)已知(x－1)(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝_________________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝___________________．
13. (2024·聊城一模)设6299＝7n＋r，其中n∈N*，且0≤r＜7，则r＝___________________．
14. (2024·湖北宜荆荆随恩5月联考)已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a0＋a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝___________________．
B组 创新题体验
15. 设a，b∈Z，a≠0.如果存在q∈Z使得b＝aq，那么就说b可被a整除(或a整除b)，记作a|b，且称b是a的倍数，a是b的约数(也可称为除数、因数)．b不能被a整除就记作ab.由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若a|b，b|c，则a|c；②a，b互质，若a|c，b|c，则ab|c；③若a|bi，则a| eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) cibi，其中ci∈Z，i＝1，2，3，…，n.
(1) 若数列{an}满足an＝2n-1，其前n项和为Sn，证明：279|S3 000；
(2) 若n为奇数，求证：an＋bn能被a＋b整除．
二项式定理
(a＋b)n＝_________________(n∈N*)
二项展开式
的通项公式
Tk＋1＝____________，它表示第______________项
二项式系数
展开式中各项的二项式系数为C eq \\al(k,n)(k∈{0，1，2，…，n})