第51讲　计数原理高考数学一轮复习讲义练习

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第51讲 计数原理
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激活思维
1. (人A 选必三P5练习T1(1))一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是___________________．
2. (人A 选必三P5练习T1(2))从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是___________________．
3. (人A选必三P25练习T3(2))有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩．如果物理和化学恰有1门被选，那么共有__________________种不同的选法．
4. (人A 选必三P11练习T1)乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后共有___________________项．
5. (人A选必三P26习题T9)学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序．除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有__________________种不同的排法．
聚焦知识
1. 两个计数原理的区别与联系
2. 排列与组合的概念
3. 排列数与组合数
(1) 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有___________________的个数，用符号___________________表示．
(2) 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有__________________的个数，用符号___________________表示．
4. 排列数、组合数的公式及性质
研题型 素养养成
举题说法
两个计数原理的应用
例1 (1) (2024·揭阳二模)智慧农机是指配备先进的信息技术传感器、自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机．正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有___________________种不同的选择方案．
(2) 如果一条直线与一个平面平行，那么称该直线与该平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是___________________．
思路：(1) 弄清完成一件事是做什么；(2) 确定是先分类后分步，还是先分步后分类；(3) 弄清分步、分类的标准是什么；(4) 利用两个计数原理求解．
变式1 (1) 用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )
(变式1(1))
A. 120
B. 160
C. 180
D. 240
(2) (2024·石家庄二模)各位数字之和为4的三位正整数的个数为__________________．
排列与组合
视角1 相邻、相间问题
例 2-1 (1) (2024·岳阳三模)把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲、乙安排在不相邻的两天，乙、丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法种数为( )
A. 96B. 60
C. 48D. 36
(2) (2024·金华义乌三模)在义乌，婺剧深受民众喜爱．某次婺剧表演结束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相邻且老旦不排在最右边的不同排法种数是( )
A. 36B. 48
C. 60D. 72
相邻、相间问题的解题策略：
(1) 相邻问题的模型为将n个不同元素排成一排，其中k个元素排在相邻位置上，求不同排法的种数．解决此问题的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，视为一个整体，当作一个元素同其他元素一起进行排列，共有A eq \\al(n－k+1,n－k＋1)种排法，然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有A eq \\al(k,k)种排法，根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有A eq \\al(n－k+1,n－k＋1)·A eq \\al(k,k)种．
(2) 对于不相邻的排列问题，我们往往先安排无约束条件的元素，再让不相邻的其余元素插空排列，即先排m＋n个元素中无约束条件的n个元素，然后将有约束条件的m个元素插入n＋1个空位中，则共有A eq \\al(n,n)·A eq \\al(m,n＋1)种排法．
变式 2-1 (2025·济南期初)由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为( )
A. 60B. 108
C. 132D. 144
视角2 分组分配问题
例 2-2 (1) (2024·河南济、洛、平、许四模)为加强校企合作，促进大学毕业生就业，某企业欲从本市科技大学的农学院、外国语学院、管理学院这三个学院招录6名大学生，每个学院至少招录1名，则不同的名额分配方案种数为( )
A. 10B. 20
C. 216D. 729
(2) (2024·杭州二模)将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者去一个社区，每个社区至少1名志愿者，则不同的分配方法种数是( )
A. 300B. 240
C. 150D. 50
对于不同元素的分配问题，可以按需分配(即定人又定数可直接取)，也可按先分组后分配的方式处理，分组时应注意整体均匀分组与部分均匀分组的区别．
(1) 整体均匀分组：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A eq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2) 部分均匀分组：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
(3) 不均匀分组：解答本类题，只需先分组，后排列，注意分组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
变式 2-2 (2024·保定二模)6名同学想平均分成两组进行半场篮球比赛，有同学提出用“剪刀、石头、布”游戏决定分组．当大家同时展示各自选择的手势(剪刀、石头或布)时，如果恰好只有3个人手势一样，或有3个人手势为上述手势中的同一种，另外3个人手势为剩余两种手势中的同一种，那么同手势的3个人为一组，其他人为另一组，则下列结论正确的是( )
A. 在进行该游戏前将6人平均分成两组，共有20种分组方案
B. 一次游戏共有63种手势结果
C. 一次游戏分不出组的概率为 eq \f(160,35)
D. 两次游戏才分出组的概率为 eq \f(14 420,310)
视角3 定序问题
例 2-3 在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有A，B，C，D，E，F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A，C，D按先后顺序汇报(不一定相邻)，那么不同的汇报安排种数为( )
A. 100B. 120
C. 300D. 600
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列，对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A eq \\al(n,n)除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A eq \\al(m,m)，即得到不同排法种数为 eq \f(A eq \\al(n,n),A eq \\al(m,m))＝A eq \\al(n－m,n).
变式 2-3 将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数为( )
A. 480B. 360
C. 120D. 240
隔板法
例3 (2024·湖北联考)已知x，y，z∈N*，且x≥1，y≥2，z≥3，则方程x＋y＋z＝10的解的组数为___________________.
对于相同元素的分配问题，可以利用分类加法计数原理分类讨论，还可以利用“隔板法”．
把n个相同的小球放到m(m＜n)个不同盒子中，不同放法的种数的求解方法是：
(1) 若每个盒子至少放一球，则只需在n个小球产生的n－1个间隙中放置m－1块隔板分隔成m份即可，共有C eq \\al(m-1,n－1)种不同放法．此类型问题等价于“将n个相同元素分成m(m≤n)组，每组至少一个”的分组问题，可把n个元素排成一排，从n－1个空中选m－1个空，各插一个隔板，有C eq \\al(m-1,n－1)种分法．
(2) 若允许某些盒子不放球，则相当于在n＋m－1个位置中选放m－1块隔板，共有C eq \\al(m-1,n＋m－1)种不同放法．
变式3 某学校购买了10个相同的篮球分配给高三年级6个班，要求每个班至少分配一个篮球，则不同的分配方法种数为( )
A. 126 B. 84 C. 72 D. 48
随堂内化
1. (2025·德州期初)为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞蹈、摄影等5门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为( )
A. 48B. 36
C. 24D. 12
2. (2023·全国乙卷理)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A. 30种B. 60种
C. 120种D. 240种
3. (2024·厦门四检)某校5名同学到A，B，C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学．若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有( )
A. 18种B. 30种
C. 42种D. 60种
4. 用四种颜色给图中的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则不同的涂法种数为( )
(第4题)
A. 72B. 96
C. 108D. 144
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1. (2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，则甲不站在两端，且丙和丁相邻的不同的排列方式有( )
A. 12种 B. 24种
C. 36种 D. 48种
2. (2023·全国甲卷理)有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( )
A. 120 B. 60
C. 40 D. 30
3. (2024·武汉2月调研)将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为( )
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
4. 如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )
(第4题)
A. 120种
B. 180种
C. 221种
D. 300种
5. (2024·河南济、洛、平、许三模)有5名志愿者去定点帮扶3位困难老人，若要求每名志愿者都要帮扶且只帮扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者帮扶，则不同的安排方法共有( )
A. 180种 B. 150种
C. 90种 D. 60种
6. 小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择(可以有笔记本不被选择)，单价均为一元一本，小明只有8元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有( )
A. 70种 B. 165种
C. 280种 D. 1 860种
7. (2025·大同期初)某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”(如2 024是“幸运数”)，并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有( )
A. 32个 B. 28个
C. 27个 D. 24个
8. (2024·嘉兴二模)6名学生在游乐场游玩A，B，C三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若A项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有( )
A. 180种 B. 210种
C. 240种 D. 360种
二、 多项选择题
9. (2024·镇江期初)小明、小华、小红、小兰四位同学分别到镇江的南山、焦山、北固山参观旅游，要求每位同学只去一个地方，每个地方至少安排一位同学参观，则下列说法正确的是( )
A. 若安排两位同学去焦山，则有12种安排方法
B. 若安排小红和小兰去同一个地方参观，则有6种安排方法
C. 若小华不去南山参观，则有24种安排方法
D. 共有18种安排方法
10. 现有4个小球和4个小盒子，下面的说法正确的是( )
A. 将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有24种放法
B. 将4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，恰有两个空盒的放法共有18种
C. 将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，恰有一个空盒的放法共有144种
D. 将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种
三、 填空题
11. (2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有__________________种．(用数字作答)
12. 7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻，则不同的排法种数为___________________．(只考虑左右人选，不考虑具体方位)
13. (2024·邢台一模)4名男生和2名女生随机站成一排，每名男生至少与另一名男生相邻，则不同的排法种数为_________________．
14. (2024·张家口一模)有5位大学生要分配到A，B，C三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A单位实习，则这5位学生实习的不同分配方案有__________________种．(用数字作答)
15. (2024·永州三模)在2024年龙舟公开赛期间，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法有__________________种．
B组 能力提升练
16. 绿化美化环境，建设美丽乡村．某村拟将村外的空地分成五块(如图(1))，种植花卉(中间的圆圈不种植)，现有4种不同的花卉供选择，要求每一块种植一种花，相邻区域种不同的花卉，设所种花卉的种数为X.
图(1)
(第16题)
(1) 求X的分布列与期望；
(2) 若将空地分成n＋1(n≥2)个区域(如图(2))，在这n＋1个区域上种植花卉，要求相邻区域种不同的花卉，现有5种不同的花卉供选择，问：有多少种不同的种植方法？
图(2)
分类加法
计数原理
分步乘法
计数原理
相同点
用来计算完成一件事的方法种数
不同点
分类、相加
分步、相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事
每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)
注意点
类类独立，不重不漏
步步相依，缺一不可
名称
定义
排列
从n个不同元素中
取出m(m≤n)个元素
按照__________________排成一列
组合
作为一组
公式
(1) A eq \\al(m,n)＝__________________＝ eq \f(n！,(n－m)！)(n，m∈N*，且m≤n).
(2) C eq \\al(m,n)＝ eq \f(A eq \\al(m,n),A eq \\al(m,m))
＝ eq \f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)
＝ eq \f(n！,m！(n－m)！)(n，m∈N*，且m≤n).
特别地，C eq \\al(0,n)＝1
性质
(1) 0！＝___________________；A eq \\al(n,n)＝___________________．
(2) C eq \\al(m,n)＝C eq \\al(n－m,n)；C eq \\al(m,n＋1)＝___________________．
(3) kC eq \\al(k,n)＝nC eq \\al(k-1,n－1).
(4) C eq \\al(m,n)＋C eq \\al(m,n－1)＋…＋C eq \\al(m,m)＝C eq \\al(m+1,n＋1)