第39讲　第1课时　空间角的计算高考数学一轮复习讲义练习

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举题固法
异面直线所成角的计算
例1 (2025·苏州期中)如图(1)，在平面四边形ABCD中，CB＝CD＝2 eq \r(3)，tan ∠CDB＝ eq \r(2)，O为对角线BD的中点，F为BC的中点，E为线段AD上一点，且BE⊥AO，CO＝AB，AB⊥BD.
图(1)

图(2)
(例1)
(1) 求AE的长；
(2) 在平面四边形ABCD中，以BD为轴将△BCD向上折起，如图(2)，当平面CBD⊥平面ABD时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值．
向量法求异面直线所成角的步骤
(1) 选好基底或建立空间直角坐标系；
(2) 求出两直线的方向向量v1，v2；
(3) 代入公式|cs 〈v1，v2〉|＝ eq \f(|v1·v2|,|v1||v2|)求解．
变式1 (2024·武汉5月训练)已知菱形ABCD中∠DAB＝ eq \f(π,3)，将△DAC沿对角线AC折起，使以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )
A. eq \f(3,5) B. eq \f(\r(3),2)
C. eq \f(3,4) D. eq \f(\r(3),4)
线面所成角的计算
例2 (2024·广州一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，∠DCB＝∠PCB＝ eq \f(π,4)，M，N分别为DP和AB的中点．
(例2)
(1) 求证：MN∥平面PBC；
(2) 求证：平面PBC⊥平面ABCD；
(3) 求CM与平面PAD所成角的正弦值．
变式2 (2024·青岛一模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1与BB1的距离为 eq \r(3)，AB＝AC＝A1B＝2，A1C＝BC＝2 eq \r(2).
(变式2)
(1) 求证：平面A1ABB1⊥平面ABC；
(2) 若点N在棱A1C1上，求直线AN与平面A1B1C所成角的正弦值的最大值．
二面角
例3 (2024·新高考Ⅱ卷)如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5 eq \r(3)，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F满足 eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(2,5) eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))，将△AEF沿EF折起至△PEF，使得PC＝4 eq \r(3).
(例3)
(1) 求证：EF⊥PD；
(2) 求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
可通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．如果题干是夹角，则一定是锐角或直角．
变式3 (2024·全国甲卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，ED＝ eq \r(10)，FB＝2 eq \r(3)，M为AD的中点．
(变式3)
(1)求证：BM∥平面CDE；
(2) 求二面角F-BM-E的正弦值．
．
配套精练
一、 单项选择题
1. 在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC，M，N分别为AC，AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为( )
A. eq \f(\r(3),3) B. eq \f(\r(3),6)
C. eq \f(\r(6),3) D. eq \f(\r(6),6)
2. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. eq \f(1,10) B. eq \f(2,5)
C. eq \f(\r(30),10) D. eq \f(\r(2),2)
3. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和A1D1的中点，则直线AC与平面ABEF所成角的正弦值为( )
A. eq \f(2\r(5),5) B. eq \f(\r(10),5)
C. eq \f(2\r(3),5) D. eq \f(\r(15),5)
4. 如图，底面ABCD是边长为2的正方形，半圆面APD⊥底面ABCD，点P为圆弧AD上的动点．当三棱锥P-BCD的体积最大时，二面角P-BC-D的余弦值为( )
(第4题)
A. eq \f(\r(2),5) B. eq \f(\r(5),5)
C. eq \f(\r(5),3) D. eq \f(2\r(5),5)
二、 多项选择题
5. 如图，E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱CD上的两点，且AB＝2，EF＝1，则下列说法中不正确的有( )
(第5题)
A. 异面直线B1D1与EF所成的角的大小为45°
B. 异面直线B1D1与EF所成的角的大小为30°
C. 直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为45°
D. 直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为60°
6. 如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AE＝BC＝2，AB＝AD＝1，CF＝ eq \f(8,7)，则( )
A. BD⊥EC
B. BF∥平面ADE
C. 平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为 eq \f(1,3)
D. 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 eq \f(5,9)
(第6题)
三、 填空题
7. 已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，SD⊥平面ABCD，线段AB，SC的中点分别为E，F，若异面直线EC与BF所成角的余弦值为 eq \f(\r(5),5)，则SD＝___________________．
8. 在正四棱锥S-ABCD中，已知O为顶点在底面内的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角为__________________．
9. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2，且平面BCC1B1与平面D1EB的夹角的余弦值为 eq \f(\r(3),3)，则线段D1E的长为___________________.
(第9题)
四、 解答题
10. (2025·无锡期末)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，AA1＝ eq \r(2)，∠A1AD＝ eq \f(π,4)，E是线段BC的中点．
(第10题)
(1) 求证：D1B∥平面C1DE；
(2) 求二面角E-DC1-C的余弦值．
11. (2024·晋城二模)如图(1)，在△ABC中，AC＝BC＝4，AB＝4 eq \r(2)，D是线段AC的中点，E是线段AB上的一点，且DE⊥AB，将△ADE沿DE翻折到△PDE的位置，使得PE⊥BD，连接PB，PC，如图(2)所示，点F是线段PB上的一点．
图(1)

图(2)
(第11题)
(1) 若BF＝2PF，求证：CF∥平面PDE；
(2) 若直线CF与平面PBD所成角的正弦值为 eq \f(4\r(38),57)，求线段BF的长．