第38讲　空间直角坐标系与空间向量高考数学一轮复习讲义练习

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激活思维
1. (人A选必一P22T3改)已知点M在z轴上，且点M到点A(1，0，2)与到点B(1，－3，1)的距离相等，则点M的坐标是( )
A. (0，0，3)B. (0，0，2)
C. (0，0，－2)D. (0，0，－3)
2. (人A选必一P15T3改编)如图，在三棱锥O-ABC中， eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(CB,\s\up6(→))， eq \(OE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→))，若 eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b， eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则 eq \(DE,\s\up6(→))＝( )
(第2题)
A. eq \f(1,3)a－ eq \f(2,3)b－ eq \f(1,3)c
B. eq \f(2,3)a－ eq \f(1,3)b－ eq \f(1,3)c
C. eq \f(1,3)a－ eq \f(1,3)b－ eq \f(2,3)c
D. eq \f(2,3)a－ eq \f(1,3)b－ eq \f(2,3)c
3. 已知直线l的一个方向向量为m＝(x，2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1，2)，若l∥α，则x等于( )
A. －6B. 6
C. －4D. 4
4. (人A选必一P7例2改编)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则 eq \(AA′,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))＝___________________，AC′的长为__________________．
(第4题)
聚焦知识
1. 空间向量中的有关定理
(1) 共线向量定理
空间中两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得___________________．
(2) 共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：__________________，
其中x，y∈R，a，b为不共线的向量．
(3) 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得__________________，{a，b，c}叫做空间中的___________________.
2. 空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
3. 空间位置关系的向量表示
4. 证明空间四点共面的方法
对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：
(1) eq \(MP,\s\up6(→))＝x eq \(MA,\s\up6(→))＋y eq \(MB,\s\up6(→))；
(2) 对空间任一点O， eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \(OM,\s\up6(→))＋x eq \(MA,\s\up6(→))＋y eq \(MB,\s\up6(→))；
(3) 对空间任一点O， eq \(OP,\s\up6(→))＝x eq \(OM,\s\up6(→))＋y eq \(OA,\s\up6(→))＋z eq \(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；
(4) eq \(PM,\s\up6(→))∥ eq \(AB,\s\up6(→))(或 eq \(PA,\s\up6(→))∥ eq \(MB,\s\up6(→))或 eq \(PB,\s\up6(→))∥ eq \(AM,\s\up6(→)))．
研题型 素养养成
举题固法
空间向量的线性运算及共线、共面定理
例1-1 如图，在空间四边形OABC中， eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b， eq \(OC,\s\up6(→))＝c.若点M在OA上，OM＝2MA，N是BC的中点，则 eq \(MN,\s\up6(→))＝___________________．(用a，b，c表示)
(例1-1)
例1-2 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，满足 eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))).
(1) 判断 eq \(MA,\s\up6(→))， eq \(MB,\s\up6(→))， eq \(MC,\s\up6(→))是否共面；
(2) 判断点M是否在平面ABC内．
应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
空间向量数量积的运算及应用
例2 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
(例2)
(1) 求AC1的长；
(2) 求证：AC1⊥BD；
(3) 求BD1与AC夹角的余弦值．
空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
变式2 (人A选必一P14练习T2)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则BC′与CA′所成角的余弦值为__________________．
(变式2)
利用空间向量证明平行与垂直问题
例3 如图，在直三棱柱ADE-BCF中，侧面ABFE和侧面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．
(例3)
(1) 求证：OM∥平面BCF；
(2) 求证：平面MDF⊥平面EFCD.
(1) 利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素).
(2) 向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．
变式3 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(变式3)
(1) 求证：B1E⊥AD1.
(2) 在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由．
随堂内化
1. (2025·常州期末)(多选)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，O为底面A1B1C1D1对角线的交点，则( )
A. eq \(AC1,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(AA1,\s\up6(→))
B. eq \(DO,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(AA1,\s\up6(→)))
C. | eq \(BD1,\s\up6(→))|＝2
D. 〈 eq \(A1D,\s\up6(→))， eq \(CD1,\s\up6(→))〉＝120°
2. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD所成角为30°.
(第2题)
(1) 求证：CM∥平面PAD；
(2) 求证：平面PAB⊥平面PAD.
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1. 已知向量a＝(－2，1，3)，b＝(－1，3，2)，c＝(1，t，－1)共面，则实数t的值是( )
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
2. (2024·苏中苏北七市二调)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列关系正确的是( )
A. AD⊥B1C B. A1D⊥BD
C. AC1⊥A1C D. AC1⊥CD1
3. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点， eq \(AG,\s\up6(→))＝2 eq \(GE,\s\up6(→))，则 eq \(GF,\s\up6(→))＝( )
(第3题)
A. eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AA1,\s\up6(→))
B. eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AA1,\s\up6(→))
C. － eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(AA1,\s\up6(→))
D. － eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AA1,\s\up6(→))
4. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，设BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝∠BAC＝60°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为( )
(第4题)
A. eq \f(\r(33),2) B. eq \f(\r(29),2)
C. eq \f(5,2) D. eq \f(\r(23),2)
二、 多项选择题
5. (2024·镇江期初)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠A1AB＝∠A1AD，A1C1∩B1D1＝O1，则下列说法正确的( )
A. 四边形B1BDD1为矩形
B. eq \(AO,\s\up6(→))1· eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(AO,\s\up6(→))1· eq \(AD,\s\up6(→))
C. eq \(AO,\s\up6(→))1＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AA,\s\up6(→))1
D. 如果 eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AA,\s\up6(→))1，那么点M在平面A1BD内
6. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝ eq \r(3)AD＝ eq \r(3)AA1＝ eq \r(3)，P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是( )
(第6题)
A. 当 eq \(A1C,\s\up6(→))＝2 eq \(A1P,\s\up6(→))时，B1，P，D三点共线
B. 当 eq \(AP,\s\up6(→))⊥ eq \(A1C,\s\up6(→))时， eq \(AP,\s\up6(→))⊥ eq \(D1P,\s\up6(→))
C. 当 eq \(A1C,\s\up6(→))＝3 eq \(A1P,\s\up6(→))时，D1P∥平面BDC1
D. 当 eq \(A1C,\s\up6(→))＝5 eq \(A1P,\s\up6(→))时，A1C⊥平面D1AP
7. (2025·南通启东、通州期中联考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝AD＝ eq \r(2)，P是底面ABCD上的一点，且D1P∥平面A1C1B，则( )
A. D1B⊥AC
B. D1B⊥平面A1C1B
C. D1P的最小值为 eq \r(5)
D. A1P＋PB的最小值为 eq \r(10)

三、 填空题
8. 已知正四面体A-BCD的棱长为2，若M，N分别是AB，CD的中点，则线段MN的长为__________________．
9. 如图，已知二面角α-AB-β的大小为60°，其棱上有A，B两点，射线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于棱AB.若| eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，| eq \(AC,\s\up6(→))|＝1，| eq \(BD,\s\up6(→))|＝2，则CD的长为___________________．
(第9题)
10. (2024·晋中三模改)已知三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝4，PC＝1，∠APB＝∠APC＝∠BPC＝ eq \f(π,3)，M，N，T分别为棱AB，AC，PB的中点，则直线PM与NT所成角的正切值为___________________．
四、 解答题
11. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F分别为棱AB，BC，AA1，D1C1的中点，连接CD1，EM，MN，EN，NF，EF.
(第11题)
(1) 求证：D1C∥平面EMN；
(2) 求证：E，F，N，M四点共面．
12. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝ eq \f(\r(2),2)AD，设E，F分别为PC，BD的中点．
(第12题)
(1) 求证：EF∥平面PAD；
(2) 求证：平面PAB⊥平面PDC.
B组 能力提升练
13. 如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(第13题)
(1) 求证：BD⊥AA1.
(2) 判断在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
___________________
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
_________________
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
_________________
模
|a|
eq \r(a eq \\al(2,1)＋a eq \\al(2,2)＋a eq \\al(2,3))
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cs 〈a，b〉＝ eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a eq \\al(2,1)＋a eq \\al(2,2)＋a eq \\al(2,3))·\r(b eq \\al(2,1)＋b eq \\al(2,2)＋b eq \\al(2,3)))
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔m·n＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝λm
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0
三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面
eq \(PA,\s\up6(→))＝λ eq \(PB,\s\up6(→))
eq \(MP,\s\up6(→))＝x eq \(MA,\s\up6(→))＋y eq \(MB,\s\up6(→))
对空间任一点O， eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋t eq \(AB,\s\up6(→))
对空间任一点O， eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \(OM,\s\up6(→))＋x eq \(MA,\s\up6(→))＋y eq \(MB,\s\up6(→))
对空间任一点O， eq \(OP,\s\up6(→))＝x eq \(OA,\s\up6(→))＋(1－x) eq \(OB,\s\up6(→))
对空间任一点O， eq \(OP,\s\up6(→))＝x eq \(OM,\s\up6(→))＋y eq \(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y) eq \(OB,\s\up6(→))