第39讲　空间角与距离的计算高考数学一轮复习讲义练习

这是一份第39讲　空间角与距离的计算高考数学一轮复习讲义练习，共5页。
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1. (人A选必一P38练习T1)在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BCA＝90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( A )
A. eq \f(\r(30),10)B. eq \f(1,2)
C. eq \f(\r(30),15)D. eq \f(\r(15),10)
【解析】 如图，建立空间直角坐标系．设BC＝CA＝CC1＝1，则A(1，0，1)，B(0，1，1)，D1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，F1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))，所以 eq \(BD1,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，－1))， eq \(AF1,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0，－1))，所以|cs 〈 eq \(BD1,\s\up6(→))， eq \(AF1,\s\up6(→))〉|＝ eq \f(|\(BD1,\s\up6(→))·\(AF1,\s\up6(→))|,|\(BD1,\s\up6(→))||\(AF1,\s\up6(→))|)＝ eq \f(\f(3,4),\r(\f(1,4)＋\f(1,4)＋1)×\r(\f(1,4)＋1))＝ eq \f(\r(30),10).
(第1题答)
2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线DC1与平面ACE所成角的正弦值为( A )
A. eq \f(\r(2),6)B. eq \f(\r(3),6)
C. eq \f(\r(2),3)D. eq \f(\r(3),3)
【解析】 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，C1(0，2，2)，A(2，0，0)，E(2，1，2)，C(0，2，0)，所以 eq \(DC1,\s\up6(→))＝(0，2，2)， eq \(AE,\s\up6(→))＝(0，1，2)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，2，0).设平面ACE的法向量为m＝(x，y，z)，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(AE,\s\up6(→))＝y＋2z＝0，,m·\(AC,\s\up6(→))＝－2x＋2y＝0，))取z＝1，得m＝(－2，－2，1).设直线DC1与平面ACE所成的角为θ，则sin θ＝ eq \f(|\(DC1,\s\up6(→))·m|,|\(DC1,\s\up6(→))||m|)＝ eq \f(|－4＋2|,\r(4＋4)×\r(4＋4＋1))＝ eq \f(\r(2),6).
(第2题答)
3. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在BB1，DD1上，且A1C⊥平面AEF，AD＝3，AB＝4，AA1＝5，则平面AEF和平面D1B1BD夹角的余弦值为( C )
(第3题)
A. eq \f(\r(2),25)B. eq \f(6\r(2),25)
C. eq \f(12\r(2),25)D. eq \f(3,4)
【解析】 以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(4，0，0)，D(0，3，0)，D1(0，3，5)，A1(0，0，5)，C(4，3，0)，所以 eq \(BD,\s\up6(→))＝(－4，3，0)， eq \(DD1,\s\up6(→))＝(0，0，5).设平面DBB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DD1,\s\up6(→))＝0，,n·\(BD,\s\up6(→))＝0，))所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5z＝0，,－4x＋3y＝0，))取x＝3，得n＝(3，4，0).由于A1C⊥平面AEF，所以平面AEF的一个法向量为 eq \(A1C,\s\up6(→))＝(4，3，－5). 设平面AEF和平面D1B1BD的夹角为θ，则cs θ＝ eq \f(|n·\(A1C,\s\up6(→))|,|n||\(A1C,\s\up6(→))|)＝ eq \f(12\r(2),25)，所以平面AEF和平面D1B1BD夹角的余弦值为 eq \f(12\r(2),25).
(第3题答)
4. (人A选必一P35T2(1)改)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，已知AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为( B )
(第4题)
A. eq \f(2,7)B. eq \f(2\r(35),7)
C. eq \f(\r(35),7)D. 1
【解析】 由题意知A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C(1，2，0)， eq \(A1C,\s\up6(→))＝(1，2，－3)， eq \(BC,\s\up6(→))＝(0，2，0)， eq \(A1C,\s\up6(→))方向上的单位向量为μ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(14))，\f(2,\r(14))，－\f(3,\r(14))))，所以点B到直线A1C的距离为 eq \r(|\(BC,\s\up6(→))|2－(\(BC,\s\up6(→))·μ)2)＝ eq \r(4－\f(8,7))＝ eq \f(2\r(35),7).
5. (人A选必一P35T2(3)改)若正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为( B )
A. eq \f(\r(3),2)B. eq \f(\r(2),4)
C. eq \f(1,2)D. eq \f(\r(3),3)
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，0)，A(1，0，1)，B(1，1，1)，O eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，C1(0，1，0)， eq \(D1A,\s\up6(→))＝(1，0，1)， eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，1，0)， eq \(OC1,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0)).设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(D1A,\s\up6(→))＝x＋z＝0，,n·\(AB,\s\up6(→))＝y＝0，))令x＝1，得n＝(1，0，－1)为平面ABC1D1的一个法向量，故点O到平面ABC1D1的距离为d＝ eq \f(|n·\(OC1,\s\up6(→))|,|n|)＝ eq \f(\f(1,2),\r(2))＝ eq \f(\r(2),4).
(第5题答)
聚焦知识
1. 两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两条异面直线l1，l2的方向向量．
2. 直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cs β|＝ eq \f(|a·n|,|a||n|).
3. 平面与平面的夹角的求法
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cs θ＝|cs 〈n1，n2〉|＝ eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).
4. 点P到直线 l 的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量 eq \(AP,\s\up6(→))＝a，则向量 eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为 eq \(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，点P到直线l的距离为PQ＝_ eq \r(a2－(a·u)2)_．
5. 点面距的求法
(1) 定义法：自点向平面作垂线，利用三角形知识求垂线段的长度；
(2) 等积法：利用体积相等求棱锥的高，如VP-ABC＝VA-PBC.
(3) 向量法：如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝ eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).
说明：线面距和面面距可转化成点面距求解．
l1与l2所成的角θ
a与b的夹角β
范围
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
(0，π)
求法
cs θ＝ eq \f(|a·b|,|a||b|)
cs β＝ eq \f(a·b,|a||b|)