第17讲　导数与函数的极值、最值高考数学一轮复习讲义练习

这是一份第17讲　导数与函数的极值、最值高考数学一轮复习讲义练习，共12页。试卷主要包含了 用总长14等内容，欢迎下载使用。

激活思维
1. (多选)下列四个函数在x＝0处取得极值的是( )
A. y＝x3B. y＝x2＋1
C. y＝|x|D. y＝2x
2. (人A选必二P94练习T1(3)改)已知函数f(x)＝6＋12x－x3，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，3))，则f(x)的最大值为______________，最小值为____________．
3. (人A选必二P92练习T1)已知函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极大值点是______________，极小值点是____________．
(第3题)
4. (人A选必二P104复习参考题T9)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则c的值为_____________．
5. (人A选必二P104复习参考题T14)用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5 m，那么高为______________m时，容器的容积最大，最大容积为______________m3.
聚焦知识
1. 极值
(1) 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)__f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0为f(x)的______________；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)__f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0为f(x)的______________．极小值点与极大值点统称为_____________，极大值与极小值统称为极值．
(2) 当函数f(x)在x0处连续时，判断f(x0)是极大(小)值的方法：
如果x＜x0有f′(x)__0，x＞x0有f′(x)__0，那么f(x0)是极大值．
如果x＜x0有f′(x)__0，x＞x0有f′(x)__0，那么f(x0)是极小值．
2. 最值
在闭区间[a，b]上的_____________一定存在最大值和最小值，最大值是区间端点值和区间内的极大值中的最大者，最小值是区间端点值和区间内的极小值中的最小者．
3. 常用结论
(1) 在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个(或者没有)；
(2) 给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑f′(x0)＝0，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！
研题型 素养养成
举题说法
求函数的极值
视角1 极值点的判断(识图)
例 1-1 (多选)若函数f(x)的定义域为(－4，3)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则( )
(例 1-1)
A. f(x)有两个极大值点
B. f(x)有一个极小值点
C. f(0)＞f(1)
D. f(－2)＞f(－3)
变式 1-1 (多选)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则( BCD )
(变式 1-1)
A. f(x)在(a，b)内一定不存在最小值
B. f(x)在(a，b)内只有一个极小值点
C. 函数f(x)在(a，b)内有两个极大值点
D. 函数f(x)在(a，b)内可能没有零点
视角2 求极值
例 1-2 (2024·马鞍山三模)已知函数f(x)＝3ln x＋a(x2＋25)－ eq \f(5x,2)，直线l在y轴上的截距为3，且l与曲线y＝f(x)相切于点(1，f(1)).
(1) 求实数a的值；
(2) 求函数f(x)的单调区间与极值．
变式 1-2 (2024·威海二模节选)已知函数f(x)＝ln x－ax＋1，求f(x)的极值．
根据极值求参数
例2 (2025·八省联考)已知函数f(x)＝a ln x＋ eq \f(b,x)－x.
(1) 设a＝1，b＝－2，求曲线y＝f(x)的斜率为2的切线方程；
(2) 若x＝1是f(x)的极小值点，求b的取值范围.
变式2 (2024·连云港、如皋联考节选)若函数f(x)＝ln x＋ eq \f(2,x＋a)(a＞0)有极值点，则实数a的取值范围为_____________．
求函数的最值
视角1 不含参函数的最值
例 3-1 (2025·大同期初)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－x(a，b∈R)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＋ eq \f(7,6)＝0.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 若对于区间[－3，3]上任意两个自变量的值x1，x2，有 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f(x1)－f(x2)))≤c，求实数c的最小值．
变式 3-1 (2024·杭州二模)函数f(x)＝ eq \f(－x2＋3x＋2,\r(x＋1))的最大值为_____________．
视角2 含参函数的最值
例 3-2 (2024·吕梁二模)已知函数f(x)＝a ln x－2x－ eq \f(a2,x)(a≠0).
(1) 当a＝1时，求f(x)的单调区间和极值；
(2) 求f(x)在区间(0，1]上的最大值．
变式 3-2 (2024·南京二模节选)已知函数f(x)＝ eq \f(x2－ax＋a,ex)，其中a＞0，若f(x)在区间[0，a]上的最小值为 eq \f(1,e)，求实数a的值．
随堂内化
1. (2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(提示：直接画f(x)的图象)( )
A. a＜bB. a＞b
C. ab＜a2D. ab＞a2
2. (2024·张家口一模节选)函数f(x)＝ eq \f(x2,e2x)的极大值为_____________，极小值为______________．
3. (2024·黄山一检改编)已知函数f(x)＝ eq \f(3,2)x2－4ax＋a2ln x在x＝1处取得极大值，则实数a＝______________.
4. (2025·聊城期中)设f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((x＋a)2，x≤－1，,ex－x＋a，x＞－1.))若f(－1)为f(x)的最小值，则实数a的取值范围是____________．
配套精练
练习1
一、 单项选择题
1. 设函数f(x)的导函数为f′(x)，y＝f′(x)的部分图象如图所示，则( )
(第1题)
A. 函数f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))上单调递增
B. 函数f(x)在(0，4)上单调递增
C. 函数f(x)在x＝3处取得极小值
D. 函数f(x)在x＝0处取得极大值
2. (2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋ eq \f(b,x)取得最大值－2，则f′(2)＝( )
A. －1 B. － eq \f(1,2)
C. eq \f(1,2) D. 1
3. (2024·岳阳二模)函数f(x)＝6＋12x－x3的极小值点为( )
A. (4，－10) B. (－2，－10)
C. 4 D. －2
4. 已知函数f(x)＝ eq \f(1,2)x2－(1＋a)x＋a ln x在x＝a处取得极大值，则实数a的取值范围为( )
A. [1，＋∞) B. (1，＋∞)
C. (0，1) D. (0，1]
二、 多项选择题
5. (2023·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)＝a ln x＋ eq \f(b,x)＋ eq \f(c,x2)(a≠0)既有极大值也有极小值，则( )
A. bc＞0 B. ab＞0
C. b2＋8ac＞0 D. ac＜0
6. (2025·常州期中)已知函数f(x)＝(x－a)2(x－b)(a＜b)，2为f(x)的极大值点，则下列结论正确的有( )
A. a＝2
B. 若4为函数f(x)的极小值点，则b＝4
C. 若f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2b,3)，b))内有最小值，则b的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，＋∞))
D. 若f(x)＋4＝0有三个互不相等的实数解，则b的取值范围是(5，＋∞)
三、 填空题
7. (2024·苏中苏北八市三调)设a为实数，若函数f(x)＝ eq \f(1,3)x3－ax2＋1在x＝－4处取得极大值，则a的值为_____________．
8. (2021·新高考Ⅰ卷)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为____________．
9. 若函数f(x)＝－ eq \f(1,3)x3＋x在(a，10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是_____________．(提示：a3－3a＋2＝(a＋2)(a－1)2)
四、 解答题
10. (2024·汕头一模)已知函数f(x)＝ax－ eq \f(1,x)－(a＋1)ln x(a∈R).
(1) 当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；
(2) 若f(x)既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围．
11. (2024·苏锡常镇二调)已知函数f(x)＝ eq \f(ex－1,x)＋a ln x(a∈R).
(1) 当a＝0时，证明：f(x)＞1；
(2) 若f(x)在区间(1，＋∞)上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围.
12. (2024·茂名二模)已知函数f(x)＝ex sin x－ax.
(1) 若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为x＋y＝0，求实数a的值；

(2) 若a＝ eq \f(3,2)，求函数f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值.
练习2
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1. (2024·承德二模)设a为实数，若函数f(x)＝ eq \f(1,3)x3－ax2＋3在x＝1处取得极小值，则a＝( )
A. 1 B. eq \f(1,2)
C. 0 D. －1
2. 已知函数f(x)＝ eq \f(1,3)x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是( )
A. [0，1] B. (－∞，0]∪[1，＋∞)
C. [0，2] D. (－∞，0]∪[2，＋∞)
3. (2024·苏中苏北七市二调)若函数f(x)＝eax＋2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围为( )
A. (－2，＋∞) B. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
C. (－∞，－2) D. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))
4. (2022·全国乙卷文)函数f(x)＝cs x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为( )
A. － eq \f(π,2)， eq \f(π,2) B. － eq \f(3π,2)， eq \f(π,2)
C. － eq \f(π,2)， eq \f(π,2)＋2 D. － eq \f(3π,2)， eq \f(π,2)＋2
二、 多项选择题
5. (2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则( )
A. 当a＞1时，f(x)有三个零点
B. 当a＜0时，x＝0是f(x)的极大值点
C. 存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴
D. 存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心
6. (2024·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则( )
A. x＝3是f(x)的极小值点
B. 当0＜x＜1时，f(x)＜f(x2)
C. 当1＜x＜2时，－4＜f(2x－1)＜0
D. 当－1＜x＜0时，f(2－x)＞f(x)
三、 填空题
7. (2024·武汉期初)若函数f(x)＝(2x＋1)ln x－ax是(0，＋∞)上的增函数，则实数a的最大值为______________．
8. (2024·邢台二模)如图，四边形ABCD和EFGH是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿MN，NP，PQ，QM折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为____________．
(第8题)
9. (2024·苏锡常镇一调)已知a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，4lgab＋lgba＝4，则 eq \f(2,b)＋ln eq \f(a,b)的最小值为_____________．
四、 解答题
10. (2024·济南一模)已知函数f(x)＝e2x＋ex－ax.
(1) 当a＝3时，求f(x)的单调区间；
(2) 讨论f(x)极值点的个数．
11. (2024·邵阳二联)设函数f(x)＝m(x＋1)ex，m＞0.
(1) 求f(x)的极值；
(2) 若对任意x∈(－1，＋∞)，ln f(x)≤2ex恒成立，求m的最大值.
B组 能力提升练
12. (2024·深圳一调节选)已知函数f(x)＝a(x－1)ex+1－2x ln x－x2(a∈R).
(1) 当a＝0时，求函数f(x)在区间[e-2，1]上的最小值；
(2) 讨论函数f(x)的极值点个数．