第16讲　导数与函数的单调性高考数学一轮复习讲义练习

这是一份第16讲　导数与函数的单调性高考数学一轮复习讲义练习，共9页。试卷主要包含了 已知曲线C等内容，欢迎下载使用。

激活思维
1. (人A选必二P87练习T1(2)改)函数f(x)＝ex－x的单调递减区间为( )
A. (1，＋∞)B. (0，＋∞)
C. (－∞，0)D. (－∞，1)
2. 已知函数f(x)＝ eq \f(1,3)x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(－3，1)，则m＋n的值为( )
A. －2B. 2
C. －3D. 1
3. (人A选必二P89练习T3改)(多选)已知函数y＝f′(x)的图象如图所示，那么下列关于函数y＝f(x)的判断正确的是( )
(第3题)
A. 在区间(0，a)上，f(x)为定值
B. 函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增
C. 函数y＝f(x)在区间(c，e)内单调递增
D. 函数y＝f(x)在区间(b，d)内单调递减
(人A选必二P89练习T1(2)改)函数f(x)＝x3－x2－x的单调递增区间为____________
5. 若函数f(x)＝－x2＋4x＋b ln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是____________．
聚焦知识
1. 求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1) 确定f(x)的_____________；
(2) 求导数f′(x)；
(3) 在定义域内解不等式f′(x)__0(或f′(x)__0)，得函数f(x)的单调递增(减)区间；
(4) 当_____________时，f(x)在相应区间上是增函数，当______________时，f(x)在相应区间上是减函数．
2. 常用结论
(1) f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件．
(2) f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件．
(3) 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
研题型 素养养成
举题说法
函数单调性的判断
视角1 不含参函数
例 1-1 (1) (2024·怀化二模)已知f(x)＝2x2－3x－ln x，则f(x)的单调递增区间为____________．
(2) (2024·淮北二模节选)已知函数f(x)＝cs 2x＋x2－1，记g(x)＝f′(x)，试判断g(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的单调性．
变式 1-1 (2024·开封三模节选)已知函数f(x)＝x3－3ln x，f′(x)为f(x)的导函数，求函数g(x)＝f(x)－f′(x)－ eq \f(9,x)的单调区间．
视角2 含参函数
例 1-2 (1) (2025·肇庆期初联考)已知a＞0，函数f(x)＝ex－(a－1)x－ln a，讨论f(x)的单调性．
(2) (2025·德州期初节选)已知函数f(x)＝ln x＋ax2－(a＋2)x.若0＜a≤2，讨论函数f(x)的单调性．
变式 1-2 (2024·武汉4月调研)已知函数f(x)＝ln x－ax＋x2.
(1) 若a＝－1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2) 讨论f(x)的单调性．
结合函数单调性确定参数
例2 (1) 若函数f(x)＝(x2＋mx)ex在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))上存在单调递减区间，则实数m的取值范围是____________．
(2) (2024·上饶一模)若函数f(x)＝x3－ eq \f(1,2)ax2＋6x在区间(1，3)上单调递增，则实数a的取值范围为______________．
1. (2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则实数a的最小值为( )
A. e2B. e
C. e-1D. e-2
2. 若函数h(x)＝ln x－ eq \f(1,2)ax2－2x在[1，4]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为_____________．
3. 若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是( )
A. (－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞)
B. (－3，－1)∪(1，3)
C. (－2，2)
D. 不存在这样的实数k
随堂内化
1. (2025·烟台期中)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ eq \f(1,3)x3－ eq \f(1,2)x2－2x.若函数y＝f(x)在区间[a－1，a]上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A. (－∞，－2]B. (－∞，－1]
C. [－1，2]D. [2，＋∞)
2. (2024·北京卷改编)函数f(x)＝x－ln (1＋x)的单调递减区间是______________；单调递增区间是____________．
3. (2024·滨州二模)若函数f(x)＝kx2－ex在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数k的取值范围是______________．
4. (2025·八省联考)已知曲线C：y＝x3－ eq \f(2,x)，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点．若△OPM的面积为 eq \r(2)，则△MNQ的面积为______________.
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1. 函数f(x)＝x2－4ln x＋2x－3的单调递减区间是( )
A. (1，＋∞)
B. (－2，1)
C. (0，1)
D. (－∞，－2)和(1，＋∞)
2. (2024·上饶一模)已知函数f(x)＝xex，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的导函数为f′(x)＝(x－1)ex
B. f(x)在(－1，＋∞)上单调递减
C. f(x)的最小值为－ eq \f(1,e)
D. f(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝2x
3. 若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) B. eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
C. (1，2] D. [1，2)
4. (2024·汕头二模)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，3)上单调递减，则实数a的最大值为( )
A. eq \f(1,e) B. eq \f(1,3e)
C. eq \f(1,3e3) D. eq \f(1,e3)
二、 多项选择题
5. 若函数y＝ eq \f(f(x),ln x)在(1，＋∞)上单调递减，则称f(x)为“P函数”．下列函数中为“P函数”的为( )
A. f(x)＝1 B. f(x)＝x
C. f(x)＝ eq \f(1,x) D. f(x)＝ eq \r(x)
6. 已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则g(x)＝ eq \f(ex,f(x))在区间( )
(第6题)
A. (0，1)上单调递增
B. (1，4)上单调递减
C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(4,3)))上单调递减
D. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，4))上单调递减
7. (2024·南昌二模)已知f(x)＝x＋a cs x(a≠0)，则下列说法正确的是( )
A. f(x)在R上可能单调递减
B. 若f(x)在R上单调递增，则a∈[－1，0)∪(0，1]
C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(π,2)))是f(x)的一个对称中心
D. f(x)图象所有的对称中心在同一条直线上
三、 填空题
8. 若函数g(x)＝ln x＋ eq \f(1,2)x2－(b－1)x存在单调递减区间，则实数b的取值范围是_____________．
9. (2024·广州一模节选)已知函数f(x)＝cs x＋x sin x，x∈(－π，π)，那么f(x)的单调递增区间为____________，单调递减区间为______________.
10. (2024·苏锡常镇二调)如果函数f(x)在区间[a，b]上为增函数，则记为f(x)[a，b]，函数f(x)在区间[a，b]上为减函数，则记为f(x)[a，b].如果 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(4,\r(x)))) eq \s\up12([m，8])，则实数m的最小值为_4_；如果函数f(x)＝ eq \f(1,3)x3－ eq \f(3,2)ax2＋2a2x，且f(x)[1，2]，f(x)[2，3]，则实数a＝____________．
四、 解答题
11. (2023·北京卷节选)设函数f(x)＝x－x3eax＋b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1.
(1) 求a，b的值；
(2) 设g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间．
12. (1) (2024·烟台、德州二模节选) 已知函数f(x)＝mx－ln x，x∈(1，＋∞)，讨论f(x)的单调性．
(2) (2024·青岛一模节选)已知函数f(x)＝ eq \f(1,2)x2－ax＋ln x，讨论f(x)的单调性．
B组 创新题体验
13. (2025·烟台期中)(多选)设在区间D上的可导函数f(x)，其导函数为f′(x)，函数f′(x)的导函数为f″(x).若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．又当函数f′(x)在区间D上单调递减时，称函数y＝f(x)为区间D上的“上凸函数”，则( )
A. 任何一个三次函数均有“拐点”
B. 函数f(x)＝2x cs x－1为区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的“上凸函数”
C. 若函数f(x)＝x3－4ax2－3a2x＋2的“拐点”在y轴的右侧，则函数f(x)在区间(a，4a)上单调递减
D. 若函数f(x)＝－ eq \f(1,3)x3＋ eq \f(1,2)ax2＋ax－ax ln x存在拐点，且为定义域上的“上凸函数”，则a＝8