安徽省六安市轻工中学九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省六安市轻工中学九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 2022年11月29日23时08分，神舟十五号载人飞船成功发射．3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．下列航天图标是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解题的关键．根据中心对称图形的概念逐项分析即可，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．不是中心对称图形，不符合题意；
C．是中心对称图形，符合题意；
D．不中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
2. 二次函数的图像的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数性质直接解答即可．
【详解】解：二次函数图像的顶点坐标是，
故选：D．
【点睛】此题考查二次函数的性质，熟记顶点式解析式形式的性质是解题的关键．
3. 已知，那么下列比例式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】解：A、∵，
∴，故A不符合题意；
B、∵，
∴，故B符合题意；
C、∵，
∴，故C不符合题意；
D、∵，
∴，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
4. ABC与DEF的相似比为1：4，则ABC与DEF的面积比为（ ）
A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：16
【答案】D
【解析】
【分析】根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可解决问题．
【详解】解：∵与的相似比为，
∴与的面积比为，即为，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
5. 如图，在Rt中，，，，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据正弦的定义：对边比斜边，进行计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查正弦的定义．熟练掌握正弦的定义是解题的关键．
6. 如图，在中，，，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择恰当方法证明三角形相似．由，证明，得到，代入求解即可．
【详解】解：由，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
故选：A．
7. 在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，则sinB的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用勾股定理先求出AB的长度，最后利用正弦值的定义得到，进而得到最终答案．
【详解】解：如图所示
在中，由勾股定理可得：．
．
故选：A．
【点睛】本题主要是考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
8. 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则的长为（ ）
A. 12米B. 米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可以求得的长，再根据勾股定理即可求得的长，本题得以解决．
【详解】解：∵米，迎水坡AB的坡比为，
∴，
∴米，
∴米，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用坡度和勾股定理解答．
9. 已知在中，， ，，则的长（ ）
A. 7B. 8C. 8或17D. 7或17
【答案】D
【解析】
【分析】①过作交于，可求 ，，从而可求，，即可求解；②过作交的延长线于，由即可求解．
【详解】解：①如图，过作交于，

，
，，
，，
，
，
；
②如图，过作交的延长线于，

，，
；
综上所述：的长为7或17．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握解法是解题的关键．
10. 如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转90°得到，连接，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据得到，则点E在以为直径的圆上，取中点G，当过点G时，有最小值，由旋转的性质得到，则此时也取最小值，即可解答．
【详解】解：在正方形中，，
∵，
∴，
∴，
∴点E在以为直径圆上，
取中点G，连接，当过点G时，有最小值，

又∵按逆时针方向旋转90°得到，
∴，
∴此时也取最小值，
∵，为的半径，即，
∴此时，
∴，
即的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了角度的转化与判断点的轨迹，解题的关键是运用数学结合思想处理题给条件，从而得到点的轨迹．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）
11. 计算：_______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据直接解答即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查特殊角锐角三角函数值．熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
12. 若P是线段的黄金分割点，且，，则_________．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】由P是线段的黄金分割点，且，可得，进而可解答，掌握黄金分割点的知识是解题的关键．
【详解】解：∵P是线段的黄金分割点，且，
∴，即，
∴或（舍去）．
故答案为：．
13. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴的负半轴上，直线AB交y轴于点C，若，的面积为9，则反比例函数的表达式为_______．
【答案】
【解析】
【分析】过点A作AD⊥y轴于D，则，由线段的比例关系求得△AOD的面积，再根据反比例函数的k的几何意义得结果．
【详解】解：过点A作AD⊥x轴于D，则，
∴，
∵△AOB的面积为9，
∴△AOD的面积，
根据反比例函数k的几何意义得，，
∴，
∵，
∴，
∴反比例函数的表达式为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的k的几何意义的应用及平行线分线段成比例定理，解题关键是借助线段的比例关系求得△AOD的面积．
14. 已知抛物线上有且只有三个点到x轴的距离等于p，点在抛物线上，且点A到y轴的距离小于2．
（1）______．
（2）n的取值范围是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据抛物线上有且只有三点到的距离等于，可知为抛物线顶点到的距离，即可解答；令点到轴的距离等于，即，求出相应的值，根据点到轴的距离小于，即可解答
【详解】（1）抛物线上有且只有三个点到x轴的距离等于p，
为抛物线顶点到的距离，
，
抛物线顶点坐标为，
，
故答案为：．
（2）令点到轴的距离等于，有，即，
当时，将点代入，解得：，
当时，将点代入，解得：，
点到轴的距离小于，有，即，又x=1是对称轴，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，解题关键是熟练掌握二次函数图像的性质并灵活运用．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．代入特殊角三角函数值进行计算即可．
【详解】解：原式
．
16. 已知抛物线经过点和．
（1）求b，c的值；
（2）当时，求y的值．
【答案】（1），
（2）y的值为38
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
（1）通过待定系数法求解；
（2）将代入求解即可．
【小问1详解】
解：将点和代入得，
，
解得：；
【小问2详解】
解：当时，
．
四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在中，．
（1）求的值．
（2）求的面积（结果保留根号）
【答案】（1）
（2）面积为
【解析】
【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形．
（1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可；
（2）利用勾股定理及三角形面积求解即可．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点．
在中，，，
，
，
在中，
，
；
小问2详解】
解：由（1）知：在中，，，
，
．
18. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）以点O为位似中心，作出的位似图形，且与的位似比为；
（2）做出绕点O逆时针旋转后的图形．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题考查了作图—位似变换，作图——旋转变换．
（1）连接，并延长到点，使；连接，并延长到点，使；连接，并延长到点，使，依次连接，，，即可得到；
（2）利用网格特点和旋转的性质作出点A、B、C的对应点、、、依次连接，，，即可得到．
【小问1详解】
如图，为所求．
【小问2详解】
如图，为所求．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点，点M在第一象限内，且，．
（1）求点M的坐标．
（2）求的值．
【答案】（1）的坐标是
（2）的值为
【解析】
【分析】本题主要考查三角函数的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义．
(1)作，垂足为H，在中，根据已知条件，，结合锐角三角函数的定义，求出，然后求出的长，据此即可求得点M的坐标；
(2)，根据,求出的长，在中，利用勾股定理求得的长,进而根据角的三角函数值与三角形边的关系，即可求得结论．
【小问1详解】
解：过点作，垂足为点，
由，，
，
，
故点的坐标是；
【小问2详解】
解：由（1）知，
，
．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【答案】（1）；
（2）当或时，一次函数的值大于反比例函数的值
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．
（1）先用待定系数法求解反比例函数解析式，从而得出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据图象，即可进行解答．
【小问1详解】
解：∵反比例的图象过点，即，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
又∵点在函数的图象上，
∴，，
∴
又∵一次函数过、两点，
即，
解之得．
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
由图像可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．
六、解答题（本题满分12分）
21. 如图，聪聪想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离（AB）为16m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角α为30°，看建筑物顶部D的仰角β为53°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．
（1）求AB与CD之间的距离（结果保留根号）．
（2）求建筑物CD的高度（结果精确到1m）．（参考数据：，，，）
【答案】（1）；（2）51m
【解析】
【分析】（1）作于M，根据矩形的性质得到，，根据正切的定义求出AM；
（2）根据正切的定义求出DM，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：（1）作于M，
则四边形ABCM为矩形，
，，
在中，，
则，
答：AB与CD之间的距离；
（2）在中，，
则，
，
答：建筑物CD的高度约为51m．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
七、解答题（本题满分12分）
22. 某厂家生产一种儿童电动玩具，3月份前4天生产的该儿童玩具售价y（元/个）和销量t（个）的数据如下表所示：
从第5天开始工厂对外调整价格为28元一个，据统计第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为（，且x为整数）．
（1）直接写出销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式，并且求出第5天以后第几天的销量最大，最大值为多少？
（2）若成本价为20元，求该工厂这些天（按20天计）出售儿童电动玩具得到的利润W（元）与x的函数关系式，直接写出第几天的利润最大及其最大值．
【答案】（1）销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式为，第5天以后第20天的销量最大，最大值为500；
（2）W（元）与x的函数关系式为；第20天时工厂利润最大，最大利润为4000元．
【解析】
【分析】（1）根据表格中数据，用待定系数法求出销量t与第x天满足的关系式，并根据第5天以后儿童电动玩具销量t（套）和第x天的关系式，由函数性质求出最值；
（2）根据单件利润×销售量＝总利润分段列出函数解析式，即可由函数性质得到答案．
【小问1详解】
解：由表格可知，前4天销量t与第x天满足一次函数关系，
设把代入得：
，
解得，
∴销量t与第x天满足的关系式为；
∵第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为，
∵，
∴当时，t随x的增大而增大，
∵，
∴当时，t有最大值，最大值为，
∴销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式为，第5天以后第20天的销量最大，最大值为500；
【小问2详解】
解：设y与x的函数解析式为，
把代入得：
，
解得，
∴y与x的函数解析式为，
①当时，，
当时，W有最大值，最大值为；
②当时，，
∵，
∴当时，W有最大值，最大值为，
∴第20天时W的最大值为4000元．
∴W（元）与x的函数关系式为；第20天时工厂利润最大，最大利润为4000元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是找到等量关系求分段函数的解析式．
八、解答题（本题满分14分）
23. （1）如图1，在中，，垂足为D，，垂足为E，与交于点F，
①求证：；
②若，求的值；
（2）如图2，在中，，点E为边上一点，过C作交延长线于点D，若，求的长．
【答案】（1）①见解析；②或；（2）
【解析】
【分析】（1）①利用等角对等边得到BD=AD，通过证明≌得出结果；
②设，，通过∽求出或，求出结果；
（2）过和∥交延长线于，过作交，于，两点，过作交于，首先通过平行四边形得到，通过≌得到，再利用∽得到CG=1，然后利用勾股定理求出结果 ．
【详解】解：（1）①∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴≌
∴
②设，
∵
∴
设，则
∵

∴∽
∴
∴

∴或
∵
∴或
在中
∴或
（2）过和∥交延长线于，过作交，于，两点，过作交于
∵∥ ∥
∴四边形为平行四边形

∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴≌
∴
设，则
∵
∴∽
∴

∴
（舍去）
∴
∴
∵
∴
∴四边形为矩形
∴
∴
在中
第x天
1
2
3
4
售价y/（元/个）
30
32
34
36
销量t/个
100
120
140
160