安徽省九年级上学期第三次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省九年级上学期第三次月考数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
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注意事项：共八大题，23小题，满分150分，答题时间120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 太阳从东边升起B. 买一张彩票，刮开中大奖
C. 章老师身高米D. 下周一天气晴
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了必然事件、随机事件和不可能事件，根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义进行分析即可判断求解，掌握必然事件、随机事件和不可能事件的定义是解题的关键．
【详解】解：． 明天太阳从东边升起，是必然事件，故符合题意；
．买一张彩票，刮开中大奖，是随机事件，故不符合题意；
．章老师身高米，是不可能事件，故不符合题意；
．下周一天气晴，是随机事件，故不符合题意；
故选：．
2. 下列图象中，可能是的图象的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象，根据二次函数的顶点式可判断抛抛物线开口向上，对称轴为，顶点为，即可解答．解题的关键是熟练运用顶点式判断抛物线开口，对称轴，顶点等信息．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点为，
观察图象，则C选项符合题意，
故选：C．
3. 下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（ ）
A. 等边三角形B. 平行四边形C. 正方形D. 菱形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．解题的关键是了解轴对称图形是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
【详解】解：A、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
4. 若所在平面内有一点，点到上点的最大距离为，最小距离为，则的半径为（ ）
A. B. C. 或D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，分点在圆外和圆内两种情况解答即可求解，运用分类讨论解答是解题的关键．
【详解】解：设的半径为，
当点在圆外时，；
当点在圆内时，；
∴的半径为或，
故选：．
5. 已知在不透明的袋子中装有黑、白两种球共个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过大量重复试验，发现摸出黑球的频率稳定在附近，则袋子中白球的个数约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了用频率估计概率，设袋子中黑球有个，由题意可得，求出黑球个数，即可求出白球个数，理解摸出黑球的频率稳定在附近即是摸出黑球的概率是是解题的关键．
【详解】解：设袋子中黑球有个，
由题意可得，，
∴，
∴袋子中黑球有个，
∴袋子中白球的个数为个，
故选：．
6. 如图，是圆劣弧上一点，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理可得，计算即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故选：．
7. 为做好疫情防控工作，在学校门口放置了，，三条体温检测通道，某日入校张老师与王同学走相同通道的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出树状图，共有种等可能情况，其中张老师与王同学走相同通道的情况为种，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：树状图如图：
共有种等可能情况，其中张老师与王同学走相同通道的情况为种，
∴张老师与王同学走相同通道的概率为：，
故选：B
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，解本题的关键在正确画出树状图．概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比．
8. 如图，是的切线，点A为切点，交于点C，的延长线交于点D，点E在优弧上，连接，，，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据圆周角定理得，再结合切线的性质进行求解是解决问题的关键．
【详解】解：连接，

由圆周角定理可知，，
∵是的切线，
∴，
∴，
故选：C．
9. 如图，在中，，点M从点A出发沿边向点B以的速度移动，同时点N从点B出发沿边向点C以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，在中，利用勾股定理可求出的长度，当运动时间为时，，，根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：在中，，，，
∴．
当运动时间时，，，，
依题意得：，即，
整理得：，
解得：，
∴点，的运动时间为．
故选：A．
10. 王刚在练习投篮，篮球脱手后的运动轨迹近似为如图所示的抛物线，已知篮圈高米，王刚投篮时出手高度为米，若要使篮球刚好投进篮圈，则投篮时王刚离篮圈中心的水平距离为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，得出，点的纵坐标为，再把代入二次函数解析式中，得出一元二次方程，解出的值，再结合图象，即可得出答案．
【详解】解：根据题意，可得：，点的纵坐标为，
当时，可得：，
即，
解得：，，
∵函数对称轴为，
又∵点在对称轴的右侧，
∴，
∴的水平距离为米，
∴投篮时王刚离篮圈中心的水平距离为米．
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解本题的关键在将函数问题转化为方程问题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 将二次函数的图象绕原点旋转，所得新抛物线的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，确定二次函数的解析式，先把二次函数转化为顶点式，再确定旋转后的抛物线的的值和顶点坐标，即可得出结果．掌握求解的方法是解题关键．
【详解】解：∵，
∴原抛物线的顶点为，
由题意得：旋转后的图象和原图象关于顶点对称，开口方向相反，
∴新图象的顶点为，，
∴所得的图象的解析式为：．
故答案为：．
12. 如图所示的是一个母线长为10的圆锥，将其侧面展开后得到一个半径为10，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径是______．

【答案】7
【解析】
【分析】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【详解】解：设这个圆锥的底面半径为：，
由题意可得：，
解得：，
故答案为：7．
13. 如图，内切于正方形，向正方形内丢一枚石子，石子落在内的概率是______．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查几何概率的意义，解题的关键是在这个圆面上随意抛一枚石子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
【详解】解：设正方形的边长为，
的半径为，
，，
石子落在内的概率是，
故答案为：．
14. 如图，抛物线与直线相交于点，为线段上一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点．

（）的值为______．
（）长度的最大值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（）把代入求出点坐标，再代入即可求解；
（）设点的横坐标为，的长度为，分别求出点和点的纵坐标，可得，根据二次函数的性质即可求解；
本题考查了一次函数和二次函数的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：（）把代入得，
，
∴，
把代入得，
，
解得，
故答案为：；
（）设点的横坐标为，的长度为，则点的纵坐标为，
∵轴，
∴点的横坐标也为，
∴点的纵坐标为，
∴，
∴是的二次函数，
∵，
∴当时，取最大值，
此时，，
∴长度的最大值为，
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离为，试判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】相离，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，先解一元二次方程，得到的半径，再根据的半径与圆心到直线的距离大小比较即可判断求解，掌握直线和圆的位置关系的判断方法是解题的关键．
【详解】解：相离，理由如下：
解方程得，，，
∵的半径是一元二次方程的一个根，
∴的半径为，
∵圆心到直线的距离为，
∴，
∴直线与的位置关系是相离．
16. 如图，每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，的顶点均在格点（网格线的交点）上．

（1）画出绕点顺时针旋转后所得的．
（2）画出关于原点中心对称的并直接写出点的坐标．
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析，点的坐标为．
【解析】
【分析】（）根据旋转的性质画出图形即可；
（）根据中心对称图形的性质画出图形即可，由图形即可写出点的坐标；
本题考查了作旋转后的图形，作中心对称图形，坐标与图形，掌握旋转的性质和中心对称图形的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求，由图可得，点的坐标为．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知关于x的一元二次方程，若从中任取一个数字代入n，求使方程有实数根的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查概率公式、一元二次方程的根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程有实数根，得出，求出n的范围，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴符合条件的有：，共4个数，
∴n的值使一元二次方程有实数根的概率为．
18. 如图，一系列同心圆圆心都是点，它们的半径从小到大依次是，从内到外第一个圆的切线交第二个圆于两点，第二个圆的切线交第三个圆于两点，第三个圆的切线交第四个圆于两点．
（1）的长度为______；的长度为______．
（2）请用含的式子表示出的长度．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（）设切线的切点为，连接，利用勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质得到，即可求解，同理可求出；
（）根据（）的结果找到规律，即可求解；
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，找规律，掌握切线的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：设切线的切点为，连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
故答案为：，；
小问2详解】
解：由（）可得，
时，，
时，，
时，，
，
∴．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某社会组织志愿者们为A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，志愿者王芳、李明被分配到此次检测行动中来．
（1）王芳被分配到B小区工作是______事件．（请填入“随机”、“必然”或“不可能”）
（2）求王芳、李明被分配到同一个小区工作的概率．
【答案】（1）随机 （2）
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，解本题的关键在正确画出树状图．概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比．
（1）根据随机事件的定义即可求解；
（2）画出树状图，共有16种等可能情况，其中王芳、李明被分配到同一个小区工作的情况为4种，再根据概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：王芳被分配到B小区工作是随机事件，
故答案为：随机；
【小问2详解】
解：树状图如图：
共有16种等可能情况，其中王芳、李明被分配到同一个小区工作的情况为4种，
∴王芳、李明被分配到同一个小区工作的概率为：．
20. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到．
（1）求点经过的路线的长度．
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出，再根据旋转得性质得，之后根据弧长公式计算弧即可；
（2）根据旋转得性质得，然后根据，即可得出阴影部分的面积．
【小问1详解】
解：在中，，，，
由勾股定理得：，
由旋转得性质得，
弧；
【小问2详解】
解：由旋转得性质得：，
，
，，
．
．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转变换及性质，弧长公式，扇形的面积，勾股定理等，熟练掌握图形的旋转变换及性质，弧长的计算公式以及扇形面积的计算公式是解答此题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 有张背面相同卡片的正面上分别写有数字，，，，将卡片的背面朝上洗匀．
（1）从中随机抽取一张卡片，记下数字，放回洗匀，不断重复上述过程，若共抽卡片次，其中有次抽到数字，则这次中抽到数字的频率为______．如果再抽第次，那么抽中的数字的概率为______．
（2）健健和康康兄弟俩为决定当天晚饭后洗碗任务的归属，设计了如下游戏规则：两人从四张卡片中同时各抽取一张卡片，若两张卡片上数字和为正数，则健健洗碗；若两张卡片上数字和为负数，则康康洗碗．该游戏规则公平吗？请用树状图或列表方法说明理由．
【答案】（1），；
（2）该游戏规则公平，理由见解析．
【解析】
【分析】（）利用频率和概率公式计算即可求解；
（）用列表法求出总的情况数，数字和为正数和负数的情况数，即可判断求解；
本题考查了频率和概率公式，用列表法或树状图法判断游戏公平性，掌握列表法或树状图法是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵共抽卡片次，其中有次抽到数字，
∴这次中抽到数字的频率为；
抽到数字的概率为，
如果再抽第次，抽中的数字的概率为；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：该游戏规则公平，理由如下：
列表如下：
由表可得，共有中情况，其中两张卡片上数字和为正数情况有种，两张卡片上数字和为负数的情况有种，
∴该游戏规则公平．
七、（本题满分12分）
22. 如图，为的外接圆，是的中点，接交于点，延长至点，使得平分．
（1）求证：直线是的切线．
（2）若的半径为，，求的长．
（3）在（）的前提下，点在上，的内心在边上，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（）连接，由是的中点，可推导出垂直平分，进而得到，由得到，又根据三角形外角性质可得，结合平分即可得到，即可求证；
（）由垂直平分得到，，利用勾股定理求出，得到的长，再利用勾股定理即可求出的长；
（）连接，由点为的内心，得到，，进而得到，，利用角的关系可得到，即可得到．
【小问1详解】
解：连接，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴
，
，
，
，
∴，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
解：∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：连接，
∵点为的内心，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，线段垂直平分线的判定和性质，弧、弦、圆心角之间的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，勾股定理，掌握这些性质定理是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是上方抛物线上的一个动点，其横坐标为．连接，，．
（1）求直线的解析式．
（2）当的面积等于时，求的值．
（3）在（2）的条件下，若是轴上一动点，是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或或
【解析】
【分析】（1）根据抛物线解析式求得的坐标；用待定系数法求解，将点的坐标代入即可．
（2）先求出点坐标，再根据抛物线解析式设点的坐标，过点作轴的平行线，根据三角形面积求解．
（3）根据边作为平行四边形的边时，分别画出图形，根据平行四边形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
当时，，当时，，
解得：
设直线的解析式为，
解得：
直线的解析式为；
【小问2详解】
过点作轴的平行线交于点，如图所示：
设点的坐标为，则
的面积等于时，
即
解得：，
【小问3详解】
存在，理由如下：
由（2）可得，则，则轴，
当是平行四边形的一条边时
如图所示：
、分别有三个点
设点
点的纵坐标为绝对值为
即
解得：（舍去），或，或
故点、、的横坐标分别为：，，
，
点的坐标为：或或；
即点的坐标为：或或；
综上所述，存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．点的坐标为：或或．