安徽省安庆市部分学校九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省安庆市部分学校九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共24页。
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的）
1. 已知点在双曲线上，则a的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，将点代入，即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：，
故选：B．
2. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把原式变形为，再代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴

故选：D
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，根据题意，把原式变形为是解题的关键．
3. 在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，根据正弦的定义直接计算即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
4. 已知关于x的反比例函数的图像位于第二、四象限，则关于x的二次函数的图像不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的图像位于第二、四象限可得，由此可判断二次函数中 a、b、c的符号及对称轴的位置．进而可得二次函数经过一、二、三象限，不经过第四象限．
本题考查的是反比例函数的性质和二次函数的性质，注意：二次函数图像的位置是由a、 b、c三个系数的符号共同决定的．熟练掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
【详解】∵反比例函数的图像位于第二、四象限，
∴，
∵二次函数中，
，，，
a、b同号对称轴在y轴左侧，
∴二次函数的图像经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
5. 如图，是的高，若，，则的长为（ ）
A 6B. 5C. 4D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及特殊角锐角三角函数．由，，从而求出，由勾股定理：即可求出答案．
【详解】解：是的高，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
6. 如图，圆规两脚，张开的角度为，，则两脚张开的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查三角函数的应用，等腰三角形的性质，能够熟练构造直角三角形利用三角函数表示线段长度是解题关键．
过点O作，垂足为C，则通过等腰三角形可知，结合用三角函数值表示，进而表示出即可．
【详解】解：过点O作，垂足为C，
∵，，
∴，，
在中，，
∴．
故选C．
7. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则物距是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
过点O作，根据 ，，从而得到，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】
解：过点O作，垂足为E，延长交于点F，
，，
，，，
，
，
∵蜡烛火焰的高度 为6cm ，像距 为15cm ，蜡烛火焰倒立的像的高度 是 9 cm ，物距 为 ，
解得：，
物距是．
故选：B．
8. 地理学上把两翼指向上风方向，迎风坡平缓前进，背风坡陡呈弧线凸出，平面呈抛物线的沙丘叫做“抛物线型沙丘”．如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为O点，建立如图2所示的坐标系，若点，点是图1中抛物线型沙丘的两个端点，则a的值为（ ）
A. 15B. 18C. 24D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．根据题意，可设抛物线的解析式为，将点A坐标代入求出m的值即可得出其解析式，再求出时x的值即可得出答案．
【详解】解：根据题意，可设抛物线的解析式为，
将点代入得，
解得，
则抛物线解析式为，
当时，，
解得，
∵点B在第四象限，
∴，
故选：B．
9. 如图，某同学在A处看见河对岸有一大树．想测得A与的距离，他先从A向正西走90米到达的正南方处，再回到A向正南走30米到处，再从处向正东走到处，使得，A，三点恰好在一条直线上，测得米，则A与的距离为（ ）

A. 米B. 120米C. 135米D. 150米
【答案】D
【解析】
【分析】证明，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出．
【详解】解：由题意可得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴米，
∴，解得：米，
∴点A与P的距离为150米，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单几何问题，涉及到相似三角形的判定与性质、勾股定理，灵活运用所学知识是解题关键．
10. 如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB的延长线上的点Q重合．DE交BC于点F，交AB的延长线于点E，DQ交BC于点P，于点M，，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由折叠性质可知，．再根据平行线的性质得，，于是，从而可判断选项A正确；由等腰三角形的性质得．从而，于是可得．从而可判断选项B正确；证明，利用相似三角形的性质求得．从而可判断选项C正确；证明，从而得，，于是，可得与不相似．于是可判断选项D错误．
【详解】解：由折叠性质可知，．
∵，
∴，
∴，
∴，故选项A正确；
∵，，
∴．
∵，
∴．故选项B正确；
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．故选项C正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与不相似．
故选项D错误．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，平行线的性质，折叠的性质以及等腰三角形形的性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若抛物线与x轴只有一个公共点，则k的值为________．
【答案】16
【解析】
【分析】令y=0得到关于x的一元二次方程，由抛物线与x轴只有一个交点，得到方程根的判别式等于0，计算求解即可．
【详解】解：令y=0，得到 ．
∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴==64-4k=0，解得k=16
故答案为：16．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点．解题的关键在于明确交点个数与判别式△的关系．
12. 在△ABC中，若，则的度数是 _____．
【答案】##105度
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了非负数的性质．
先利用非负数的性质得到，即，则根据特殊角的三角函数值得到的度数，然后根据三角形内角和定理计算出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 如图，中，，边在轴上，以为位似中心，作与位似，若的对应点，则的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据，，推出，求出值，得到位似比，进而求出，即可得解．
【详解】解：∵，，
∴轴，；
∵的对应点，
∴，
∴
∴的坐标为：，即：；
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标系中的位似．熟练掌握位似图形的性质，求出位似比，是解题的关键．
14. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）抛物线的表达式为______；
（2）若点是轴上的一个动点，当的值最小时，则______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据轴对称求线段和的最值问题；
（1）根据抛物线的对称轴为直线，与x轴交于，列出方程组，解方程即可求解；
（2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，此时最小，即的值最小，令，则，进而得出直线的函数表达式为．令，即可求解．
【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，与x轴交于，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为．
故答案为：．
（2）如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，此时最小，即的值最小，令，则，
∴点C的坐标为，
∴点的坐标为，由抛物线可知，顶点D的坐标为．
设直线的函数表达式为，则，
解得，
∴直线的函数表达式为．令，则，
解得，即直线与x轴的交点M的坐标为，即．
故答案为：．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 如图，在中，，，，求的长．
【答案】．
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点A作，交的延长线于点H，则，先根据正弦的定义求出，进而利用勾股定理求出，则，再利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，则．
∵，，
∴．
在中，由勾股定理得．
又∵，
∴，
∴．
16. 已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出向下平移4个单位长度得到的．
（2）以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析
【解析】
【分析】（1）分别作出点、B、C向下平移4个单位后的点、、，顺次连接即可得到即可；
（2）延长至，使，延长至，使，与重合，顺次连接、、，即可得到．
【小问1详解】
解：如图所示：，即为所求；
【小问2详解】
解：如图：即为所求；
【点睛】本题考查了作图－位似变换与平移变换，熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解本题的关键．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度．
【答案】这个建筑物的高度为12米
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点A作，交于点F，垂足为G，根据，得到，根据相似三角形的性质列方程并求解，即得答案．
【详解】如图，过点A作，交于点F，垂足为G，
由题意，得厘米米，米，厘米米，
，
，
，
，
米．
答：这个建筑物的高度为12米．
18. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流I（A）与电阻R（）的关系图象，该图象经过点．
（1）求I与R之间的函数表达式；
（2）当时，求I的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式；
（2）求出最小电阻和最大电阻对应的电流，即可得出结果．
【小问1详解】
解：设I与R之间的函数表达式：，
图象经过点，
，
解得：，
I与R之间的函数表达式：；
【小问2详解】
解：当时，，
当时，，
当时，求I的取值范围．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，延长平行四边形一边至点F，连接交于点E，．
（1）若，求线段的长；
（2）若的面积为6，求平行四边形的面积．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了三角形的面积公式和平行四边形的性质及面积公式．
（1）利用平行四边形的性质可以证明，然后利用相似三角形的性质和已知条件即可求解；
（2）利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可以求出，然后利用平行四边形的面积即可求解．
【小问1详解】
解：∵四边形为平行四边形，
∴，．
∴，
∴．
又∵，，
∴；
【小问2详解】
解：如图，过点E作于点M，交CF于点N．
∵，
∴．
由（1）知，
∴．
∵的面积为6，
∴，即，
∴平行四边形的面积．
20. 如图，已知，两点在二次函数与一次函数的图象上．
（1）求该一次函数和二次函数的表达式；
（2）请直接写出当时，自变量x的取值范围；
（3）若二次函数的图象交y轴于点C，连接，求的面积．
【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与不等式关系及函数在三角形面积计算中的应用．
（1）把代入一次函数，解方程即可求得m的值；把，分别代入二次函数，得到关于和的方程组，解得a和b的值，则可得二次函数的解析式；
（2）根据函数图象，二次函数图象位于一次函数图象上方的函数值大，可直接得出答案；
（3）先利用二次函数交y轴于点C，求得点C的坐标，再根据点B的坐标，可得轴，根据直角三角形面积公式计算即可得的面积．
【小问1详解】
解：∵在一次函数的图象上，
∴，解得：，
∴一次函数的表达式为；
∵，两点在二次函数的图象上，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为：；
【小问2详解】
解：，，
由图象可得当时，自变量x的取值范围为或；
【小问3详解】
解：∵二次函数交y轴于点C，
∴，
又∵，
∴轴，，
∴的面积为．
六、解答题（本题满分12分）
21. 如图，中，，，，D是的中点，动点P从点A出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）当t为多少秒时，以点A、D、P为顶点的三角形与相似？
（2）若为钝角三角形，请直接写出t的取值的范围．
【答案】（1）2或；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据条件、勾股定理求出，用的代数式表示，然后分两种情况讨论与相似，利用相似三角形的性质求出；
（2）根据（1）的结论，分两种情况即可得到的取值的范围．
【小问1详解】
解：在中，，，，
，
D是的中点，
，
动点P从点A出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，设点P的运动时间为t秒，
，，
若以点A、D、P为顶点的三角形与相似，而，
分两种情况：
①当时，，如图1，
即，
解得；
②当时，，如图2，
即，
解得；
故当t为2或秒时，以点A、D、P为顶点的三角形与相似
【小问2详解】
解：由（1）知：当时，，当时，，而是锐角，
当时，为钝角，为钝角三角形；
当时，为钝角，为钝角三角形；
故若为钝角三角形，则t的取值的范围是或．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理和对钝角三角形的讨论，熟练掌握相似三角形的判定与性质与分类讨论的思想是解答此题的关键．
七、解答题（本题满分12分）
22. 如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛20千米的点A处，它沿着点A的南偏东的方向航行．

（1）填空： 度， 度；
（2）渔船航行多远时距离小岛B最近？（结果保留根号）
（3）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行千米到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？（结果精确到1千米，参考数据，，）
【答案】（1）60；45；
（2）渔船航行时，距离小岛B最近；
（3）救援队从B处出发沿着南偏东方向航行到达事故地点航程最短，最短航程约为．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
（1）由已知得出，即可解决；
（2）过点作垂线交于点，则为所求，根据已知条件得到即可解答；
（3）根据特殊角的锐角三角函数值得到，从而求出的长度，再求出的度数，即可得到的度数．
【小问1详解】
解：如图：

由题意得：，，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
故答案为：60；45；
【小问2详解】
解：过点作的垂线交于点，
∵垂线段最短，上的点距离点最近，即为所求，
由题意可知：，，
∴，
∴，
∴渔船航行时，距离小岛最近．
【小问3详解】
解：在中，，
，，
，
∵，，
，
．
答：从处沿南偏东出发，最短行程．
23. 如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点A的坐标为．
（1）求b的值；
（2）若点D是线段AC上方抛物线上的一个动点（点D与A，C不重合），求点D到直线的最大距离；
（3）当时，函数的最大值为，求t的值．
【答案】（1）b的值为
（2）点D到直线的最大距离为
（3）t的值为或2
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的增减性．
（1）将点A的坐标代入，即可求出b的值；
（2）过点D作轴，交AC于点E，交x轴于点F，过点D作于点G．先求出直线的函数解析式为：，设，，即可求出当时，有最大值，最大值为；再证明，即可求出；
（3）根据，得出当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，再根据二次函数的性质，进行分类讨论即可．
【小问1详解】
解：将点代入中，
得，
解得，
即b的值为；
【小问2详解】
解：由（1）知该抛物线的表达式为，．
如图，过点D作轴，交AC于点E，交x轴于点F，过点D作于点G．
设直线的函数表达式为，将，代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
∵点D在抛物线上，
∴设，，
∴．
∵，
∴当时，有最大值，最大值．
∵，，
∴，
∴．
∵，．
∴．
∴，
即点D到直线的最大距离为；
【小问3详解】
解：把代入，得，
解得，．
∵，
∴该抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
∵当时，函数的最大值为，
①当时，时，取得最大值，解得；
②当时，时，取得最大值．