安徽省六安市金安区六安皋城中学九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省六安市金安区六安皋城中学九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4，共26页。试卷主要包含了选择题，四象限，等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．
【详解】解：A．旋转180°，与原图形完全重合，是中心对称图形；故此选项正确；
B．旋转180°，不能与原图形完全重合，不是中心对称图形；故此选项错误；
C．旋转180°，不能与原图形完全重合，不是中心对称图形；故此选项错误；
D．旋转180°，不能与原图形完全重合，不是中心对称图形；故此选项错误；
故选：A．
【点睛】考点：中心对称图形．
2. 已知半径为，点为内一点，，则满足条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，即可求解．
【详解】解：∵半径为，点为内一点，，
∴．
故选：B
3. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【详解】将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，
所得抛物线的函数表达式为．
故选：D．
4. 如图，是的切线，B为切点，与交于点C，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，根据切线的性质可判断，再由可得出，在等腰中求出即可．
【详解】解：∵是的切线，B为切点，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
5. 如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质可直接得出结论．
【详解】解：∵，
和分别是和的高，，，
其相似比为，
与的面积的比为．
故选：A．
6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC＝3cm，则AE等于( )
A. 3cmB. 4cmC. 6cmD. 9cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质可知AE＝BE，推出∠A＝∠1＝∠2＝30°．再根据角平分线的性质，可求出DE＝CE＝3cm，最后根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠A＝∠1＝∠2，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝∠1＝∠2＝30°，
∵∠1＝∠2，ED⊥AB，∠C＝90°，
∴CE＝DE＝3cm，
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝30°，
∴AE＝2DE＝6cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．
7. 如图，将绕点逆时针旋转一定的度数，得到．若点在线段的延长线上，若，则旋转的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．熟练掌握旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键．
由旋转的性质可知，，是旋转角，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：由旋转的性质可知，，是旋转角，
∴，
∴，
故选：B．
8. 二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数、反比例函数和正比例函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据二次函数的图象可得，，的符号，再根据反比例函数的图象、正比例函数的图象特点即可得．
【详解】解：抛物线开口向上，与轴的交点位于轴的正半轴，
，，
抛物线的对称轴位于轴的右侧，
，
，
，
由可知，反比例函数的图象位于第二、四象限，
由可知，正比例函数的图象经过原点，且经过第一、三象限，
故选：B．
9. 如图，在中，，为的中点，点在上，，交于点，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识．如图，延长到，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，，利用勾股定理求出，即可解决问题．
【详解】解：如图，延长到，使得，连接．
，，，
，
，，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
10. 如图1，在矩形中，动点E从点A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作，交于点F，设点E的运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是（ ）
A. 20B. 16C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知，易证，可得，根据二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，列出方程式即可解题．
【详解】解：若点在上时，如图，
，，
，
在和中，，，
∴，
由二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，此时，
，
即，
，
当时，代入方程式
解得：(舍去)，，
，
，，
矩形的面积为；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出为中点是解题的关键．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】设，，代入代数式即可解答．本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
【详解】解：∵
设，，
．
故答案为：．
12. 若弦长等于半径，则弦所对圆周角的度数是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理的运用，根据圆的一条弦长等于它的半径知：这条弦和两条半径组成了等边三角形，所以这条弦所对的圆心角是，再根据弦所对的圆周角有两种情况讨论求解，解决本题的关键是得到这条弦所对的圆心角的度数．
【详解】解：根据题意，弦所对的圆心角是，
①当圆周角的顶点在优弧上时，则圆周角，
②当圆周角的顶点在劣弧上时，则根据圆内接四边形的性质，和第一种情况的圆周角是互补，等于，
故答案为：或．
13. 如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义、平行四边形的面积，解决这类问题，要熟知反比例函数图象上点到轴的垂线段与此点与原点的连线组成的三角形面积是．
连接，过点和点分别作轴的垂线段和CD，证明则 面积面积； 易知面积 面积由此可得 面积面积面积面积，解即可，注意
【详解】解：连接，过点和点分别作轴的垂线段和CD，
∴，
又∵
∴，
∴面积面积.
∵点在双曲线上，
∴面积，
∵点在双曲线上， 且，
∴面积，
∵四边形是平行四边形，
∴面积面积面积面积，
解得(正数舍去)，
故答案为： ．
14. 如图，在中，、，，点P是内部的一个动点，连接，且满足，过点P作交于点D．
（1）____________；
（2）当线段最短时，的面积为____________．
【答案】 ①. 90°##90度 ②.
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，勾股定理．确定点的运动轨迹是解题的关键．
由题意得，，则点在以为直径的圆上运动，如图，记的中点为，连接，交于，此时线段最短，由题意知，，由勾股定理得，，则，证明，可求，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上运动，
如图，记的中点为，连接，交于，此时线段最短，
由题意知，，
由勾股定理得，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
故答案为：90°，．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，二次根式的性质化简，再根据实数的运算顺序计算．
此题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，二次根式的性质和运算，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
【详解】
．
16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点式网格线的交点），，，．
（1）先将竖直向下平移5个单位，再水平向右平移2个单位得到，请画出；
（2）将绕A点逆时针旋转，得到，请画出．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质找到的对应点，进而画出；
（2）根据旋转的性质找到的对应点，进而画出；
【小问1详解】
解：如图所示即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示即所求．
【点睛】本题考查了平移作图，画旋转图形，熟练掌握平移的性质与旋转的性质是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．

（1）求m的值和反比例函数解析式；
（2）当时，求x的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于、B两点可得的值，进而可求反比例函数的表达式；
（2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【小问1详解】
将点代入得：
解得：
将代入得：
∴
【小问2详解】
由得：，解得
所以的坐标分别为
由图形可得：当或时，
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质．
18. 如图，，，．
（1），求；
（2），求的长．
【答案】（1）6 （2）5
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据平行线分线段成比例定理求解即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到，然后代值计算即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，即，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
∴的长为5．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（、）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：，，，）
【答案】每节拉杆的长度为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键．
如图1，作，垂足为，设，则，利用三角函数求出，如图2，作，垂足为，则，得到，然后利用列方程求解即可．
【详解】解：如图1，作，垂足为，设，则，
，
，
如图2，作，垂足为，则，
，
，
，
，
解得：．
答：每节拉杆的长度为．
20. 如图，是的直径，弦于点E，且，点M在上，经过圆心O，连接．
（1）若，求的半径；
（2）若，求线段的长．
【答案】（1）13 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．
（1）设的半径长为r，则，根据勾股定理得出，即，求出r即可；
（2）连接，证明，得出，设的半径长为r，根据勾股定理得出，解方程，求出结果即可．
【小问1详解】
解：设的半径长为r，
则，
∵是的直径，弦于点E，且，
∴，
∴，
即，
解得，，
即的半径是13；
【小问2详解】
解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵是的直径，弦于点E，且，
∴，
∴，
∴，
设的半径长为r，
则，
解得，或（舍去），
∴．
六、（本大题满分12分）
21. 为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，通过对本地市场进行调查发现：当售价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，售价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
（1）求每天销量（吨）与售价（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）当售价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1），
（2）将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．
【解析】
【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润销售量（批发价成本价），列出销售利润w（元）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【小问1详解】
解：根据题意得，
所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，
自变量x的取值范围是；
小问2详解】
解：设每天获得利润为w千元，根据题意得
，
∵，
∴当，w随x的增大而增大．
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．
七、（本大题满分12分）
22. 如图1，和中，，，边与相交于点，且，连接，．
（1）求的值为_______；
（2）如图2，连接，，求证：；
（3）将绕着点在平面内旋转，在旋转过程中是否为定值，若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）是定值，；
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质；
（1）设，，得到，，代入即可；
（2）先证出，得到，即可证出结果；
（3）先证出，得到，即可求出结果．
【小问1详解】
解：根据题意不妨设，，
∵
∴
∵，
∴
∴
故答案为：；
【小问2详解】
∵，
∴，即
∵
∴，
∴
∴，
∴，
即：，
又∵，
∴
【小问3详解】
∵，
∴
即
∵
∴，
∴
∴，
∴，
即：，
又∵
∴
∴
∴
∴为定值．
八、（本大题满分14分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，且．

（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）当时，m取得最大值，此时点P的坐标为
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）先求出点，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点P作轴交直线于E，连接，先求出直线的解析式为，设，则，，由得出，因此，最后根据二次函数的性质即可求出m最大值及此时点P的坐标；
（3）分两类进行讨论：①当是矩形的边时，有两种情形，当四边形为矩形时，如图2，连接，过点作轴于M，证明，，求出，，，从而得出满足条件的Q点和N点的坐标；当四边形是矩形时，如图2，过点作轴交的延长线于，过点作轴于T，证明，，求出，，，从而得出满足条件的Q点和N点的坐标；②当是对角线时，设，由Q是直角顶点，根据勾股定理得出方程，此方程无解，此种情形不存在．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵抛物线经过点，，，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
【小问2详解】
如图1，过点P作轴交直线于E，连接，

设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵直线与y轴交于点D，
∴，
∴，
∵轴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当时，m取得最大值，此时点P的坐标为；
【小问3详解】
存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．
由（2）知：，
①当是矩形的边时，有两种情形，

当四边形为矩形时，如图2，连接，过点作轴于M，
则，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
当四边形是矩形时，如图2，过点作轴交的延长线于，过点作轴于T，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当是对角线时，设，则，，，
∵Q是直角顶点，
∴，
∴，
整理得，此方程无解，此种情形不存在；
综上所述， 或．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象与性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，综合性较强，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据题意正确作出图形，进行分类讨论是解题的关键．