2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区八年级（上）期中数学模拟试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区八年级（上）期中数学模拟试卷-自定义类型，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.各省足球联赛火热开启，下列队徽图案为轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2.如图，已经△ABC≌△DEF，A、D、C、F在同一条直线上，则下列结论错误的是（ ）
A. AB DE B. BC EF
C. BM＝EM D. AD＝CF
3.在中，下列条件中，不能判是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. ，，D.
4.按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为25，则最后输出的y值是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连结，则与和为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；点与的距离为；③；④；⑤其中正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是 ．
8.我国明代数学家程大位在《算法统筹》中记载着一道关于荡秋千的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺尺），将它往前（水平距离）推送10尺（尺）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺（尺），秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？请你结合下图计算绳索长 尺．
9.如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为 ．
10.如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为28，则的长为_ __．
11.如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则 度．
12.如图所示的网格是正方形网格，则 （点，，是网格线交点）．
13.我们规定运算符号的意义：当时，；当时，，其他运算符号意义不变按上述规定，计算的结果为 ．
14.青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ．
15.如图，在四边形中，，，为上一点，且为等边三角形，若，则图中阴影部分面积之和为 ．
16.已知在等腰中，，，，点是直线上一点，连接，在的右侧作等腰，其中，，连接，则的最小值为 （用含的代数式表示）．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.求下列各式中的x．
(1)
(2)
18.计算：
(1)
(2)
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断．
20.(本小题8分)
如图，在中，分别以AB，AC为边向外作等边三角形ABD、等边三角形ACE，CD与BE相交于点P．
(1) 求证：．
(2) 求的度数．
(3) 连接AP，求证：AP平分．
21.(本小题8分)
图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图：
(1) 如图①，在上画一点E，连结，使；
(2) 如图②，在上画一点F，连结，使；
(3) 如图③，在上画一点M，连结，使．
22.(本小题8分)
如图，在中，，，为的中点，点在边上以的速度由点向点运动，同时，点在边上以的速度由点向点运动．设运动的时间为．
(1) 求的长用含的代数式表示；
(2) 若以，，三点为顶点的三角形和以，，三点为顶点的三角形全等，且和是一组对应角，求的值．
23.(本小题8分)
已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律：
(1) 设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数；
当a为奇数时，如①3，4，5；②5，，；③7，，；④9， ， ；⑤11，60，61；
当a为偶数时，如①6，8，；②8，，；③，，；④，，，；⑤， ， ；
(2) 若，，，n为正整数，且，求证：不论n为何值，a，b，c都是勾股数组．
24.(本小题8分)
已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动，
(1) 在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：；
(2) 在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由．
25.(本小题8分)
【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．
(1) 【阅读理解】仿照以上方法计算： ， ；
(2) 【解决问题】若，写出满足题意的的整数值 ；
(3) 【扩展探究】①如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1；②试求出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数．
26.(本小题8分)
定义：我们把被三角形的一条角平分线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.
(1) 如图1，在中，若，，为上一点，且与互为友好三角形，则 .
(2) 如图2，已知，，与相交于点，求证：与互为友好三角形.
(3) 如图3，在中，为上一点，且与互为友好三角形，为延长线上一点，且于点，的延长线于点，.
①求证：.
②若，，求的长.
27.(本小题8分)
通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1) 【模型理解】
如图①，，共顶点A，，，，连．由，得．又，，可以推理得到，进而得到 ， ．
(2) 【问题研究】
小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题．
如图②，已知直线a、b及点P，a与b不平行．作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上．

小明同学作法简述如下：如图③，过点P作，垂足为点D，以P为直角顶点作等腰直角三角形，过点E作，交b于点B，在a上截取，连．即为所要求作的等腰直角三角形．
请证明小明的作法是正确的．
(3) 【深入研究】
小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边，使得点A、B分别在直线a、b上．
请你简述作法，并在图④中画出示意图．（不需要尺规作图）
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】9
8.【答案】14.5
9.【答案】16
10.【答案】12
11.【答案】15
12.【答案】45
13.【答案】3
14.【答案】10
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
解：
，
∴或；
【小题2】
解：
∴．

18.【答案】【小题1】
解：
．
【小题2】
解：
．

19.【答案】解：信封的长、宽之比为，
设长方形信封的长为，宽为，
由题意得：，
（负值已舍去），
长方形信封的长为，宽为，
正方形贺卡的面积为，
正方形贺卡的边长是．
，
，
，即信封的宽大于正方形贺卡的边长，
小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封．

20.【答案】【小题1】
解：∵和都是等边三角形
∴
∴，即
∵在和中：
∴
∴
【小题2】
解：由（1）知
∴
在中：
将代入：
则
∵是等边三角形
∴
∴
【小题3】
解：过点A作于M，于N
∴
由（1）知，
∴，
在和中，
∴．
∴．
又∵，
∴平分（到角两边距离相等的点在角的平分线上）

21.【答案】【小题1】
解：
【小题2】
解：过点D作的垂线，与相交于点F，
∵，
∴，
又∵，
∴；
【小题3】
解：取格点G，连接，交于点M，
由图可得，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．

22.【答案】【小题1】
解：由题意可得；
【小题2】
解：为的中点，
，
，
，
当，时，，
即，，
解得，；
当，时，，
即，，
解得，；
综上所述，或．

23.【答案】【小题1】
40
41
48
50
【小题2】
证明：，
，
，
，
，
∴不论n为何值，a，b，c都是勾股数组．

24.【答案】【小题1】
解：过作于，于，
∵是的平分线，
∴，，
∵，，
∴
，
∴．
【小题2】
画出图形，结论仍成立，
理由如下：
过作于，于，
∵是的平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．

25.【答案】【小题1】
4
6
【小题2】
1或2或3
【小题3】
解：①第一次：，
第二次：，
第三次：，
第3次之后结果为1，
故答案为：3次；
②由上述求解过程可知，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，
，，
进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，
，，
进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，
只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255，
故答案为：255．

26.【答案】【小题1】
2
【小题2】
∵，∴.
又∵，∴，
∴，
∴与互为友好三角形
【小题3】
①∵与互为友好三角形，
∴平分，
又于点，于点，
∴，
.
在和中，
∴
②∵在和中，
∴，
∴，设，则，
解得，

27.【答案】【小题1】
CE
【小题2】
∵是以P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴即为所要求作的等腰直角三角形．
【小题3】
如图④，
作法：1．作于点F；
2．以为边在右侧作等边；
3．以为边在上方作等边c；
4．连接交直线a于点I；
5．连接并延长交直线b于点B；
6．在射线上取一点A，连接，使；
7．连接，
就是所要求作的等边三角形．
证明：由作法得和都是等边三角形，，
∴，
∴点P、点H都在的垂直平分线上，
∴直线垂直平分，
∴IG=IF，
在和中，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴就是所要求作的等边三角形．