2026年高考数学压轴专项训练压轴题14立体几何动点归类(原卷版+解析)

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压轴题型一：动点--恒平行定位比值型
1．如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在矩形中，，在上且，将沿折起到，使得平面，点在线段上，若平面，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（ ）
A．B．C．D．
4．三棱柱中，点在棱上，满足，点在棱上，且，点在直线上，若平面，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（ ）

A．B．C．D．
压轴题型二：动点--恒平行最值范围型
1．如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
2．如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度的最小值是（ ）

A．B．2C．D．3
4．正方体 的棱长为 是棱 的中点， 是侧面 内一点，且 平面 ，则 长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知菱形ABCD的边长为2，且分别为棱中点.将和分别沿折叠，若满足平面DEBF，则线段AC的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
压轴题型三： 动点--恒平行轨迹型
1．如图所示，在棱长为2的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为 ．
2．如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 ．
3．如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，若平面，则动点的轨迹长度为

4．在棱长为的正方体中，点、分别是棱、的中点，是侧面上的动点，且平面，则点的轨迹长为 .
5．如图，在棱长为3的正方体中，点M，N分别为棱AB，上的点，且，点P是正方体表面上的一点，若平面，则点P的轨迹长度为 ．
压轴题型四：动点--恒垂直型
1．长方体中，，点是平面内的动点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．在四棱柱中，平面，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则（ ）

A．对任意的，存在点，使得
B．当且仅当时，存在点，使得
C．当且仅当时，存在点，使得
D．当且仅当时，存在点，使得
3．如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，点在线段上，且，则当三棱锥的体积最小时，线段的长度为（ ）

A．B．C．D．
4．在中，，，，平面，，是边上的一动点，则的最小值为（ ）
A．B．7C．D．
5．在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，且，，点在底面内的射影在的外部，且，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
压轴题型五：动点--恒垂直轨迹应用型
1．在正四棱柱中，，，是该正四棱柱表面上的一动点，且满足，则点的运动轨迹的长度为（ ）

A．B．C．D．
2．已知正四面体的棱长为2，点是的中点，点在正四面体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹周长为（ ）
A．4B．C．D．
3．如图，在直三棱柱中，是边长为4的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．π
4．在正四棱柱中， ，，是该正四棱柱表面上的一动点，且满足，则点的运动轨迹的长度为（ ）
A．8B．C．D．
5．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则（ ）
A．是平行四边形，且周长为
B．是平行四边形，且周长为
C．是等腰梯形，且周长为
D．是等腰梯形，且周长为
压轴题型六：动点--向量式子型
1．在正方体中，，E为 的中点，点F满足下列结论错误的是( ).
A．若，则点F到平面的距离为
B．若，则四面体的体积是定值
C．若，则点F的轨迹长为
D．若，，则存在点使得，的最小值为
2．已知正三棱锥中，两两垂直，，点满足，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，正方体的棱长为1，点为棱的中点，空间中一点满足，则点的轨迹截正方体表面所得图形的周长为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在棱长为2的正方体中，，，，，则下列说法错误的是（ ）

A．当时，平面
B．当时，四面体的体积为定值
C．当时，，使得平面
D．三棱锥体积的取值范围为
5．已知正方体的棱长为，，，若平面，则线段的长度的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
压轴题型七：动点--折线最值型
1．已知，如图三棱锥中，，，D为中点，E为中点，M是上的动点，N是平面上的动点，则最小值是（ ）

A．B．C．D．
2．如图，在三棱柱中，底面，∠ACB=90°，为上的动点，则的最小值为
A．B．C．5D．
3．如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设的中点为，即可证明，从而得到，再将平面与平面展开并摊平，在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值，利用余弦定理计算可得.
4．如图，棱长为6的正方体中，为正方体表面上的一个动点，､分别为的三等分点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在直三棱柱中，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
压轴题型八：动点--体积最值型
1．如图所示，四边形是边长为2的正方形ABCD在平面上的投影光线、、、互相平行，光线与平面所成角为，转动正方形ABCD，在转动过程中保持平面且，若平面ABCD与平面所成角为，且，则多面体的体积的最大值为 .

2．棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为 .
3．正方体的棱长为3，是平面上一动点，是棱上一点，若，且的面积是面积的4倍，则三棱锥体积的最大值是 .
4．如图，已知边长为1的正方形与正方形所在平面互相垂直，为的中点，为线段上的动点，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 .
5．已知正方体的棱长为，点是棱上的定点，且，点是棱上的动点，则三棱锥的体积最小值为 ．
压轴题型九：动点--体积比值型
1．如图，三棱柱中，是上靠近的四等分点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（ ）
A．9：7B．C．D．
2．如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，则 ．

3．如图，在平行六面体中，是线段上的一点，且，则三棱锥的体积与平行六面体的体积之比为
4．在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为，三棱柱的体积大小为，则 .
5．在正四棱锥中，为的中点，过作截面将该四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，则的最大值是 .
压轴题型十：动点--角度存在型
1．（山东省齐鲁名校2025届高三第六次联考模拟预测（冲刺二）数学试题）如图所示，在棱长为1的正方体中，为上的动点（不与点重合），则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．平面平面
C．点到平面的距离为定值
D．存在一点，使得直线与平面所成角为
2．（2025·安徽安庆·二模）如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（ ）
A．存在点，使得
B．直线与平面所成的最大角为
C．若不共面，则四面体的体积的最大值为
D．若，则点的轨迹的长为
3．（浙江省强基联盟2024-2025学年高二下学期3月联考数学试卷）棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，点是棱上的动点，且满足，以下说法正确的是（ ）
A．
B．存在，使得平面平面
C．点到平面的距离的最小值是
D．直线与平面所成角的最大值是
4．（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，过点B且与AC平行的平面分别与棱SA，SC交于E，F，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的外接球的表面积为
B．平面ABC
C．
D．若F为SC的中点，则BF与SA所成角的余弦值为
5．（四川省攀枝花市2025届高三第二次统一考试数学试题）已知正方体的棱长为分别为的中点，P为正方体的内切球O上任意一点，则（ ）
A．与所成角的范围是B．球O被截得的弦长为
C．三棱锥体积的最大值为D．的取值范围是
综述
立体几何动点是立体几何小题考察的重难点，也是综合考察点，涉及到了线面的平行、垂直位置关系，涉及到截面、外接球、内切球、体积、表面积，以及课本上定义的圆锥曲线几何图形（平面截圆锥得到圆锥曲线）等等知识。还涉及到求最值喝范围，求参数等等计算。
一、截面
在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥， 球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清 楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。。
模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点。做出过三E,F,C1点的截面
方法：两点成线相交法或者平行法
特征：
三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是EF（这类型的关键）；
2、“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以。最后处有解释。
方法一：相交法，
以“第三点”所在的表面中，，剔除掉与EF所在的表面平行，寻找合适的表面来做交线
如下图，符合的有c1的表面有三个，红色的和EF平行而不会相交，去掉，可供选择的是上表面（蓝色）或者右表面（绿色的），
先用上表面（红色的）来做：
所以，先补出扩展EF直线所在的前侧面。如左下第一图开始。并延长EF交A1B1于G
此时G也在上表面了，连接GP，出来与棱A1D1交点H.
连接HB，则的如右图的截面。

再用右表面绿色的来做：
则发现，右边面和EF相交于前侧面下方，如左下第一图开始，延长EF交C1C于I
此时I也在右表面了，连IC1交棱CB于J.
连接FJ，则出右图的截面。

最终，两个合在一起，就是如图的截面。以上过程，与EF是否中点，几何体是否正方体无挂具体的G,H,I,J都可以通过对应的E、F几等分点以及几何体长宽高的不同变化来计算出来，这个几何体也不一定是长方体，还可以是斜棱柱，都不影响这个作图。
方法二：平行线法。
本题用平行线法，并不太快捷，不过也成立。
平行线法特征： 有两点连线在表面：EF，在前侧面

方法如下：
寻找C1点所在的与线EF的所在红色表面平行的面：里边侧面（绿色的）
在这个面内，过C1做EF平行线，显然必须扩展这个面了。如第三图。
注意！注意！，E与F分别在右侧面和下侧面上（红色面就不要用了）
注意这仨面的相交棱，
下边过C1做EF平行线，交这俩棱于K,L第二排图
分别连FK与EL，交点为J与H。出截面，与第一种方法一致。

二、动点外接球与内切球
1.构造长方体法：正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，即，找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝eq \r(,a2＋b2＋c2)，求出R.
2. 长方体正方体特征构造补形法
(1) 长方体切角型(有三条线两两垂直)

(2) 对棱相等型可以(补形为长方体)
3垂线模型：
（1）、将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
（2）、为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径。利用正弦定理，得），；
（3）.利用勾股定理求三棱锥的外接球半径
= 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②.
三、阿氏圆与阿氏球的定义与应用
定义：已知平面上两点，则所有满足的动点的轨迹是一个以定比为内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，圆的半径为，圆心为.
√满分技法
作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
√满分技法
基础模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点。做出过三E,F,C1点的截面
特征：1、三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是EF（这类型的关键）；2、“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以。最后处有解释。
方法：相交线法
以“第三点”所在的表面中，，剔除掉与EF所在的表面平行，寻找合适的表面来做交线
如下图，符合的有c1的表面有三个，红色的和EF平行而不会相交，去掉，可供选择的是上表面（蓝色）或者右表面（绿色的），
先用上表面（红色的）来做：
所以，先补出扩展EF直线所在的前侧面。如左下第一图开始。并延长EF交A1B1于G
此时G也在上表面了，连接GP，出来与棱A1D1交点H.
连接HB，则的如右图的截面。

再用右表面绿色的来做：
则发现，右边面和EF相交于前侧面下方，如左下第一图开始，延长EF交C1C于I
此时I也在右表面了，连IC1交棱CB于J.
连接FJ，则出右图的截面。
√满分技法
立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.
√满分技法
恒垂直型截面，可以借助投影解决，投影型，需要利用”三垂线定理及其逆定理“这个性质转化寻找。
三垂线定理指的是平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
√满分技法
线与线恒垂直型，要考虑是否满足符合阿氏圆和阿氏球的定义和条件。可以借助阿氏圆和阿氏球来解决轨迹问题。
√满分技法
折线型距离，常常转化为平面距离来计算。转化方式有以下几种常用的方式：
翻折型：借助平面（主要是三角型）翻折或者旋转，把空间两个面的动点距离转化为同一个平面内的两点距离或者其它距离。
建系型：通过设点建系计算，有时候需要构造函数求最值范围。
√满分技法
体积最值型，，此类问题考查空间想象能力和运算求解能力，难度比较大.。
主要研究掌握三棱锥的体积最值。三棱锥的与底面积和高有关。
若底面面积不变，高增大时，体积增大；
若高不变，底面面积增大时，体积增大。
若点到平面的距离不变，则当三角形的面积最大时，三棱锥的体积取最大。
涉及到与球有关的几何体体积。则需要求球的半径，可以根据题意先确定出球心的位置，然后可在三角形中表示球的半径
√满分技法
空间动点角度，涉及到主要特征就是：过定点。核心原理是：平移不改变角度（主要是线与线）的大小。
如果过定点直线与定直线成定角，则这两条直线位置关系是“圆锥母线与轴”的关系型
如果过定点直线与平面成定角，则可以转化为过定点直线与平面的法向量成定角，然后与1原理相同。