2026年高考数学压轴专项训练压轴专题19排列组合归类(原卷版+解析)

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压轴题型一：基础模型1：人坐座位
1．中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型．现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（ ）
A．384B．486C．216D．208
2．据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音．如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（ ）
A．48B．50C．66D．78
3．年月日，第四届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有个国家和地区加现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位在排成一排的个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有（ ）种．
A．B．C．D．
4．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学演讲比赛，若安排上场顺序时甲、乙均不能第一个上场，且乙不能最后一个上场，则这5人上场顺序的不同排法种数为（ ）
A．27B．48C．54D．72
5．甲、乙、丙等6名同学站成一排，甲、乙不站在两端，丙站在甲、乙之间，则不同的站法有（ ）
A．60种B．48种C．36种D．24种
压轴题型二： 基础模型2：球放盒子
1．某活动现安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地配合工作，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者A去甲活动场地，志愿者B不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（ ）
A．18种B．12种C．9种D．6种
2．某校组织校运会活动，由甲､乙､丙三名志愿者负责四个任务，每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且甲不负责任务，则不同的任务分配方法种数为（ ）
A．12B．18C．24D．30
3．河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（ ）
A．450B．360C．180D．90
4．某班级共有44位同学，在一次春季研学活动中，要按学号顺序抽取两位同学担任活动的负责人，并使抽到的学号将其余同学仍按学号顺序自然分成三组，且要求每组的人数均大于零且是3的倍数，则两位负责人的选取方法种数是（ ）
A．55B．66C．78D．132
5．小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（ ）
A．20160B．20220C．20280D．20340
压轴题型三：基础模型3：书架插书法（定序型）
1．国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（ ）
A．84B．120C．504D．720
2．某学校组织学生到敬老院慰问演出，原先准备的节目单上共有5个节目(3个歌唱节目和2个舞蹈节目).根据实际需要，决定将原先准备的节目单上的5个节目的相对顺序保持不变，再在节目单上插入2个朗诵节目，并且朗诵节目在节目单上既不排第一，也不排最后，则不同的插入方法一共有（ ）
A．18种B．20种C．30种D．34种
3．某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（ ）.
A．42B．56C．30D．72
4．10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）
A．B．C．D．
5．有10本不同的书紧贴着依次立放在书架上，摆成上层3本下层7本，现要从下层7本中任取2本再随机分别调整到上层，若其他书本的相对顺序不变，则上层新增的2本书不相邻的概率为
A．B．C．D．
压轴题型四：基础模型4：数字化法
1．2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（ ）
①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F，事件B：从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，在某城市中，M､N两地之间有整齐的方格形道路网，其中､､､是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网M､N处的甲､乙两人分别要到N､M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N､M处为止，则下列说法错误的是（ ）
A．甲从M必须经过到达N处的方法有9种
B．甲､乙两人相遇的概率为
C．甲乙两人在处相遇的概率为
D．甲从M到达N处的方法有20种
3．如图，三个区域有通道口两两相通，一质点从其所在的区域随机选择一个通道口进入相邻的区域，设经过次随机选择后质点到达区域的概率为，若质点一开始在区域，则（ ）

A．B．C．D．
4．平面直角坐标系上将横、纵坐标都为整数的点记为格点，点从格点出发，每次运动到另一格点时，沿水平或竖直方向移动一个单位，则点经过6次移动回到格点的移动路径总数为（ ）
A．81B．200C．400D．480
5．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则下列正确的是（ ）
A．质点回到原点的概率为；B．质点回到原点的概率为
C．质点位于4的位置的概率为D．质点位于4的位置的概率是
压轴题型五：基础模型5：相同元素（挡板法）
1．2025年5月17日进行全国高中数学联赛（江苏赛区）预赛，某校拥有11个参加预赛的名额，现将这11个名额分配给高二的四个班级，有班级可以不分配名额，则名额分配的不同种数为（ ）
A．455B．364C．210D．120
2．现有13个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一班和二班每班至少3个名额，三班和四班每班至少2个名额，五班可以不分配名额，则名额分配方式共有（ ）.
A．15种B．35种C．70种D．125种
3．学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（ ）种分配方案．
A．135B．10C．75D．120
4．学校决定把个参观航天博物馆的名额给三（1）､三（2）､三（3）､三（4）四个班级.要求每个班分别的名额不比班级序号少，即三（1）班至少个名额，三（2）班至少个名额，……，则分配方案有（ ）
A．种B．种C．种D．种
5．某校得到北京大学给的10个推荐名额现准备将这10个推荐名额分配给高三年级的6个班级(每班至少一个名额)，则高三（1）班恰好分到3个名额的概率为（ ）
A．B．C．D．
压轴题型六：地图染色（平面型）
1．用四种不同的颜色给图中5个区域染色，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算)染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ）

A．112种B．146种C．192种D．168种
2．给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案.
A．96B．144C．240D．360
3．给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ）
A．216种B．180种C．192种D．168种
4．某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（ ）
A．24种B．36种C．48种D．72种
5．如图所示，有5种不同的颜色供选择，给图中5块区域A，B，C，D，E染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，则共有（ ）种不同的染色方法.
A．210B．360C．420D．640
压轴题型七：几何体染色
1．如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有
A．24种B．18种C．16种D．12种
2．将一个五棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有4种颜色可供使用，那么不同染色方法总数为
A．120B．125C．130D．135
3．用种不同的颜色对正四棱锥的条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种
A．B．C．D．
4．正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（ ）种.
A．420B．600C．720D．780
5．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数是
A．540B．480C．420D．360
压轴题型八：电梯模型
1．有2个人在一座6层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则2 个人在不同楼层离开的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．大厦一层有四部电梯，人在一层乘坐电梯上楼，则其中人恰好乘坐同一部电梯的概率为
A．B．C．D．
3．有一座6层大楼，3人从大楼第一层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这3人离开电梯的层数之和为10的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．有3人同时从底楼进入同一电梯，他们各自随机在第2至第7楼的任一楼走出电梯．如果电梯正常运行，那么恰有两人在第4楼走出电梯的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．电梯有位乘客，在层楼房的每一层停留，如果有两位乘客从同一层出去，另两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，则不同的下楼方法的种类数是（ ）
A．B．C．D．
压轴题型九：空车位模型
1．一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有
A．6种B．12种C．36种D．72种
2．某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A车和B车，同时进来C，D两车．在C，D不相邻的情况下，C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．某小区有排成一排的7个车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的3个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ）
A．24B．80C．120D．160
4．要将4辆汽车并排停放在5个车位上，其中甲、乙两辆汽车车体较宽需要放在一起并占用3个车位，其他两辆汽车各占1个车位，则不同的停车方法种数为（ ）
A．6B．10C．12D．20
5．某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲､乙､丙､丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲､乙两车不停泊在同一排，则不同的停车方案有（ ）
A．288种B．336种C．384种D．960种
压轴题型十：球放盒子编号型
1．体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有（ ）
A．8种B．10种C．12种D．16种
2．将5个颜色互不相同的小球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的小球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）
A．3种B．4种C．10种D．25种
3．将编号的小球放入编号为盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的编号不能相同,则不同的放球方法有（ ）
A．种B．种C．种D．种
4．将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）
A．10种B．25种C．36种D．52种
5．8个完全相同的球放入编号1，2，3的三个空盒中，要求放入后3个盒子不空且数量均不同，则有 种放法.
压轴题型十一： 数列型
1．从1，2，3，…，20中选取四元数组，满足 ，则这样的四元数组的个数是
A．B．C．D．
2．若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两数都是正数的概率为，则（ ）
A．B．C．D．
3．定义数列如下：存在，满足，且存在，满足，已知数列共4项，若且，则数列共有（ ）
A．190个B．214个C．228个D．252个
4．定义“有增有减”数列如下：，满足，且，满足.已知“有增有减”数列共4项，若，且，则数列共有
A．64个B．57个C．56个D．54个
5．记为一个位正整数，其中都是正整数，．若对任意的正整数，至少存在另一个正整数，使得，则称这个数为“位重复数”．根据上述定义，“四位重复数”的个数为
A．个B．个C．个D．个
压轴题型十二：多条件限制型
1．中国象棋是一种古老而富有智慧的棋类游戏，其蕴含着丰富的传统文化内涵和哲学思想.一副中国象棋中，具有红黑两个阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，其中“马”棋子走法尤为特别，其走法如图1所示，称为“马走日”；当距“马”最近的交叉线处有棋子时，走法数会减少，如图2，图3所示，称为“绊马腿”.若将矩形棋盘（如图4）视作平面直角坐标系，棋盘的左下角为坐标原点，如图5所示，假如棋盘中有如图5所示的四个棋子固定不动且不能被“马”吃掉，问黑方的“马”从原点朝着红方阵营（轴正方向）出发到达点，有 种不同的行进路线.


2．有 10 个不同的小球，其中 4 个红球，3 个白球，3 个黑球.将这 10 个球排成一排，要求红球互不相邻，且白球也互不相邻，不同的排法有 种.
3．定义：对于一个位正整数，若其各位数字的极差（即最大数字与最小数字之差）不超过2，则称其为位“稳定数”，则三位“稳定数”共有 个.
4．若数列共项，，且对任意中0的个数不少于1的个数，则称数列为“广义和谐01数列”.若“广义和谐01数列” 中，，其中有项为0，有项为1，则称数列为“和谐01数列”.用表示个个1构成的“广义和谐01数列”的个数，当时，则 （用含的式子表示）.
5．某学校派5人参加连续8天的志愿服务活动，其中甲连续参加2天，其中第三天和第五天各需2个人同时参加，其余的天数只能有一个人参加，每个人都至少参加一次活动，至多参加两次活动，则不同的安排方法有 种．（结果用数字表示）

综述
解排列组合问题要遵循两个原则：
（1）是按元素(或位置)的性质进行分类；
（2）是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，
再考虑其他元素(或位置)．
不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：
①不均匀分组；
②均匀分组；
③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
三、古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
四、避免容易犯如下的两个错误：
①搞不清楚到底是分类还是分步，不知道是用加法计数原理还是乘法计数原理；
②在求解时考虑不全，存在重复或遗漏现象
具体问题可使用对应方法、最基础的思维
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；
元素相间的排列问题——“插空法”；
元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；
(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
六、模拟考试中常见的考察方向
1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;
2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;
3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;
4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;
5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;
6.间接法:正难则反、等价转化的方法.
√满分技法
人坐座位性质：
一人一位；
有顺序；
座位可能空；
人是否都来；
必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列
主要核心特征：
相邻：捆绑法------捆绑的新的“大人”内部有排列（小排列）
不相邻：插空法，一般不相邻插入别的空隙
限制条件较多。特多的限制条件，称为“多重限制型题”，要有“主次”。属于超难题
平均分配：
所有是一人一组，只有一种分配；
2.如果两人以上出现相同人数，除以相同的组数的阶乘。
√满分技法
基础型：幂指数型（球放盒子型）
如四个不同的球放三个不同的盒子，有多少种方法？
特征：
1.先分组再排列（尽量遵循这个，否则容易出现重复）
2.分组时候要注意是否存在“平均分配”的情况
√满分技法
定序型：保持原有书的顺序不变
书架插书法特征：
书架上原有书的顺序不变；
新书要一本一本插；
（3）也可以把有顺序得“书”最后放，先放没顺序得，但是得从“总的座位”中选（百分比法）
√满分技法
数字化法：标记元素为数字或字母，重新组合，特别适用于“相同元素”
1.相同元素无排列（只选不排）；2.部分相同元素，只对“相同元素”不排列

√满分技法
相同元素模型：
（1）、讨论法（通法，必须学会的方法）；
（2）、隔板法（巧法）
相同元素特征与方法：
特色：
先分组后排列，相同元素分组永远是1-------重要之极的“认知”
坑：
注意，如果出现相同元素的分组，分组时出现组数相同，则依旧是相同元素，只选不排。
√满分技法
地图染色问题，要从“颜色用了几种”，“地图有没有公用区域”方向考虑：
1.用了几种颜色。如果颜色没有全部用完，就要有选色的步骤
2.尽量先从“最多”公共相邻区域开始。所以要观察“地图”是否可以“拓扑”转化
染色的地图，还要从“拓扑结构”来转化
以下这俩图，就是“拓扑”一致的结构
√满分技法
地图染色立体型结构，思维方向：
可以把立体图形“拍扁了”，“拓扑”为平面型染色，这是几何体染色的一个小技巧。如棱台拍扁了，就为内外相似性多边形。所以注意这类图形之间的互相转化。如下模型
如果是棱柱，可以缩小棱柱上地面为棱台，再“拍扁”
√满分技法
公交车与电梯模型，可以转化为球放盒子，然后先分组后排列。
要注意是否需要剔除掉“空”盒子
√满分技法
空车位模型，本质上还是把空车位当作相同元素来排列。排列时候，要灵活思维：把车位暴力拆掉，则可以转化为车与空车为排列问题。这样可以用“人坐座位”以及“数字化法”来排列组合。
√满分技法
编号型球放盒子，有以下几种情况。
第一种，球相同，每个盒子球个数不小于编号数，则可以借助“相同”这个条件，每个盒子放入比七编号数少1的球个数。然后再挡板法。
第二种，球不同，盒子有编号。可以“先分组再排列”。
第三种，球有编号，还可能涉及到数字和等加强条件，则多采取分类讨论形式。
√满分技法
多重限制型，属于“人坐座位”模型
特征：
一人一位；
有顺序；
座位可能空；
人是否都来；
必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列
难题特征：
相邻：捆绑法------捆绑的新的“大人”内部有排列（小排列）
不相邻：插空法
限制条件较多。特多的限制条件，称为“多重限制型题”，属于超难题