2026年高考数学压轴专项训练压轴题05导数应用基础核心技巧(原卷版+解析)

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压轴题型一：导数计算
1．已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，则（ ）
A．11520B．23040C．11520D．23040
3．已知是的导函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，且，则实数（ ）
A．2024B．2023C．D．
5．已知在等比数列中，，，若函数，则（ ）
A．2B．C．D．
压轴题型二：导数几何意义比大小
1．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数 的部分图象如图所示，为 的导函数，则（ ）
A．B．
C．D．
3．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）

A．B．
C．D．
4．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）

A．B．
C．D．
5．如图，直线是曲线在处的切线，则（ ）
A．B．C．D．
压轴题型三：“过点”切弦条数判断
1．已知函数，过点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知函数，过点可作曲线切线的条数为
A．0B．1C．2D．3
3．已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（ ）
A．1B．2C．3D．不确定
4．已知函数过点作曲线的切线，则切线的条数为 ．
5．已知函数，过点作曲线的切线，则切线的条数为 ．
压轴题型四：“过点”切线条数求参
1．已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则（ ）
A．B．C．D．或
2．若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．若过点可作函数图象的两条切线，则必有（ ）
A．B．
C．D．
4．过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是 .
5．若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为 .
压轴题型五：切线法：分界求参
1．已知函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．若存在，使得对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
4．已知函数，若恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数，若关于的不等式（是自然对数的底数）在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
压轴题型六：切线法：距离转化应用
1．已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为
A．B．C．D．
2．已知实数，，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．8C．4D．16
3．若＝＝1，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为（ ）
A．B．
C．D．e4＋5e2＋5
4．已知，，则的最小值为 ．
5．已知，则的最小值为 .
压轴题型七：求曲线公切线
1．曲线与的公切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．函数和的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．函数与函数公切线的纵截距为（ ）
A．1或0B．-1或0C．1或D．-1或
4．已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程 .
5．曲线与曲线的公切线方程为 ．
压轴题型八： 公切线求参
1．若函数与的图象有且只有一条公切线，则实数的值为（ ）
A．B．1C．2D．4
2．若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
压轴题型九：切线法：双切线两根型
1．已知直线与曲线和分别相切于点，.有以下命题：（1）(为原点)；（2）；（3）当时，.则真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，，直线分别与曲线和曲线相切于点，，且直线也与曲线，都相切，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知抛物线E：的焦点为F，过F的直线交E于点，，E在B处的切线为，过A作与平行的直线，交E于另一点，记与y轴的交点为D，则（ ）
A．B．
C．D．面积的最小值为16
5．已知，过点可作曲线的两条切线，切点为，．求的取值范围（ ）
A．B．C．D．
压轴题型十： 切线法：切线逼近求零点
1．已知函数，在上有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（ ）
A．B．
C．D．
4．函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 ．
6．已知函数函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是 .
压轴题型十一：切线法：切线逼近不等式整数解
1．设函数（）（为自然对数的底数），若关于的不等式的正整数解有且只有两个，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．定义在上的偶函数满足，且，关于的不等式的整数解有且只有个，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

结束总论
一．基本初等函数的导数公式
函数
导数
（c为常数）
二．导数的运算法则
符号表达
文字叙述
两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数
两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方
三．复合函数的导数
(1)复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函
数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
(2)复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y
对u的导数与u对x的导数的乘积.
四.函数在某点处的导数的几何意义
(1)切线的定义
在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线
P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线.
(2)函数在某点处的导数的几何意义
函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线的斜率，即f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为.
五．切线方程的求法
(1)已知切点时求切线方程的方法：
①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；
②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).
(2)切点未知时的解题通法：
①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；
②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
③将已知条件代入②中的切线方程求解.
六、与切线有关的问题的求解技巧
1、会利用导数的几何意义，即曲线在点处的切线的斜率为；
2. 注意切点坐标的“一拖三”（切点与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上）．
3.解决两曲线的公切线问题的关键是分别求出切线，然后利用方程思想解题.
√满分技法
导数计算技巧：
任何导数值，都是具体的数，求导时候，可以作为常数对待。
复杂函数求导，可以利用整体代换法来换元对待。
√满分技法
导数的几何意义，在实际做题思维中，有两个方向：
导数就是切线斜率。需要注意的是原函数增减，不仅仅对应着导函数正负，还要适当的对比，原函数的上凸下凹，还对应着导函数函数值的绝对值大小，可以适当借鉴物理学中的加速度来让学生理解。
导函数作为切线斜率，还要用极限思想，对应着割线的斜率。注意对应的极限逼近数值逼近思维。
√满分技法
求“过点”型，如下图，
求导过程与计算如下，切线条数判断经验型标准：有几个切点，即有几条切线
√满分技法
“过点”型切线条数求参，有如下几个方向：
如果有可能，可以简单求导画出图像，根据图像凸凹情况“目测”型判断（但易误判）
可以采取“参变分离”方法，转化为水平线与函数图像交点求最值（极值）型
可以采取求导分类讨论型求解，此时要注意一些题型会有可能需要处理“隐零点”的转化。
√满分技法
涉及到交点个数题型，可以有三个思路：
全部移项到一侧，含参型，分类讨论，这是属于“小题大做”型，思维简单，讨论参数时较麻烦。
可以采取“参变分离”，转化为不含参函数图像，以及含参的“水平线”法来解决交点个数问题，必要时候，可以用“洛必达”法则来处理“断点”型函数值不存在的问题。
特殊技巧，就是“分涵”，分离函数来处理，分离函数型，多分离成为不含参的曲线，与含参的直线型，此时求交点来判断，要注意的是，含参直线，多有“含参直线过定点”这个特殊性质，也就是参数起到了“旋转”直线的动态过程。
√满分技法
高中数学有“三大几何意义”型公式，隐藏的比较深，如下三种形式：
距离型。多是借助距离公式（平方和形式），如这种形式。可以处理为（a，b）与（c，d）两点的距离的平方。
分式型，多为斜率公式。
带绝对值型，可以用点到直线距离公式来凑配转化。
√满分技法
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切， 然后分别设切点，求对应的切线，两条切线再用待定系数法求切点坐标或者对应关系。
压轴题型八： 公切线求参
√满分技法
√满分技法
已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点.
不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.
具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，
则f′(x1)＝g′(x2)（平行），或者f′(x1)*g′(x2)=-1（垂直）等条件转换

压轴题型九：
√满分技法
√满分技法
利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

压轴题型八： 公切线求参
√满分技法
√满分技法
对于不等式含参型整数解，多转化为切线逼近求不等式整数解，。
转化目标：
一侧是可求导画图的函数
一侧是含参型动直线。
通过动直线与函数图像的关系，代入整数值，寻找满足整数解的参数范围
要注意的是，因为是满足的整数解，所以代入点时，要“跳跃型”代入。