2026年高考数学压轴专项训练压轴题15立体几何19题题型归类(原卷版+解析)

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压轴题型一：常规几何体的怪异结论
1．已知正方体的棱长为1．
(1)证明：平面；
(2)已知点为平面内一动点，且与所成角为，求线段所形成的曲面面积S；
(3)在棱上分别取点（均不与端点重合），二面角，分别记为，求的取值范围．
2．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点.
(1)求平面与平面的夹角的余弦值；
(2)点为正方体表面或内部一点.
①若点为线段上一点，点，分别为直线，直线上的动点，求的最小值；
②若点在正方体的表面上，且点到以为公共顶点的三个面中的两个面的距离相等，到第三个面的距离等于点到该正方体中心的距离，求出满足条件的点的个数.
3．如图，在空间直角坐标系中，点分别在轴上（点异于点），且.
(1)当（表示面积）取得最大值时，求点到平面的距离.
(2)若，动点在线段上（含端点），探究：是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
(3)记平面与平面、平面、平面的夹角分别为，比较与1的大小关系，并说明理由.
4．如图，已知直三棱柱，点为棱的中点，点分别为棱上的动点，记平面与平面所成角为.

(1)求证：；
(2)若，请完成以下两个问题：
①求证：平面平面；
②当角取最大时，在平面与平面的交线上存在一点，计算直线与平面所成角的正弦值的最大值.（可以使用（1）中结论）
压轴题型二：怪异几何体的常规证明
1．如图，半径为2的半球面O，底面设为，AB是半球面O的直径，点C在半球面上，且，平面平面. 过点C的平面与半球面O相交形成圆S，CD为圆S的一条直径，且D在平面ABC上，且平面与的夹角为，点C，D均在平面的同侧，记，.
(1)求证：平面；
(2)点P在圆S上，设，. 且，Q在平面上.
（i）用表示PQ的长；
（ii）当DQ与平面ABC所成角最大时，求.
2．球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学.对于半径为的球，过球面上一点作两条大圆的弧，，它们构成的图形叫做球面角，记作（或），其值为二面角的大小，其中点称为球面角的顶点，大圆弧称为球面角的边.不在同一大圆上的三点，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧，这三条劣弧组成的图形称为球面，这三条劣弧称为球面的边，三点称为球面的顶点；三个球面角称为球面的三个内角.
已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点.
(1)球面的三条边相等（称为等边球面三角形），若，请直接写出球面的内角和（无需证明）；
(2)与二面角类比，我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角，记为.其中点称为三面角的顶点，称为它的棱，称为它的面角.若三面角的三个面角的余弦值分别为.
①求球面的三个内角的余弦值；
②求球面的面积.
3．我国南北朝数学家祖暅于5世纪末提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
(1)如图1，左边是半径为R的半球，右边是底面半径和高都等于R的圆柱，它们的底面在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，现在用平行于平面的平面去截半球和新几何体，得到如图所示两个阴影面，设底面圆心O到截面的距离为d，分别求图中的两个阴影面积及新几何体的体积.
(2)如图2，一个球体被平面截下的部分叫做球缺.截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高.根据祖暅原理，推导半径为R，高为H的球缺的体积公式.
(3)若正方体棱长为，求该正方体与以A为球心，2为半径的球的公共部分的体积.
4．如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面.得到的几何体称之为“斜截圆柱”．AB是底面圆O的直径，，椭圆面过点B且垂直于平面ABC，且与底面所成二面角为45°，椭圆上的点在底面上的投影分别为，且均在直径AB同一侧．

(1)当时，求的长度；
(2)当时，若下图中，点，，，…，将半圆平均分成7等分，求；
(3)证明：．
压轴题型三：圆锥曲线翻折几何体
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B两点其中点A在x轴上方连接，将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，折叠后A，B在新图形中对应点记为，.
(1)当时，
①求三棱锥的外接球的表面积；
②求三棱锥的体积；
(2)是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
2．平面内有椭圆与点，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，椭圆的焦距为，且，过点M的直线交椭圆于两点，直线交轴于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，求直线斜率的取值范围；
(3)将平面沿轴翻折成大小为的二面角，若，求直线与平面所成角的正弦值.
3．已知椭圆 的上顶点为 ，且过点 .

(1)求椭圆的方程；
(2)若斜率为 的直线 与椭圆交于 、 两点（直线 斜率为正），直线 、 （若 、 重合， 直线 即为椭圆 在 点处的切线） 分别与 轴交于 两点， 为 中点.
（i） 求 的最大值;
（ii）当 最大时，将坐标平面沿 轴折成二面角 ，在二面角 大小变化过程中，求三棱锥 外接球表面积取得最小值时三棱锥 的内切球的半径.
4．平面直角坐标系中，已知椭圆C：（）左、右焦点分别为，，离心率为，经过且倾斜角为（）的直线l与C交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8.现将平面沿x轴向上折叠，折叠后A，B两点在新图象中对应的点分别记为，，且二面角为直二面角，如图所示.
(1)求折叠前C的标准方程；
(2)当时，折叠后，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)探究是否存在使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
压轴题型四：高等数学“定义”型
1．若简单多面体可以被分割成个完全相同的小多面体，则称该简单多面体为“等和多面体”，其中分别表示简单多面体的顶点数、棱数、面数.记每个小多面体的顶点数、棱数、面数分别为，，，，（为与分割方式有关的正整数）.
(1)已知长方体是“等和多面体”，按分割方式：过长方体共顶点的三条棱的中点，各作一个与该棱垂直的平面，将长方体分割成若干个完全相同的小长方体，求该分割方式下的值；
(2)判断正四面体是否为“等和多面体”.若是，请先描述一种分割方式，再求出该分割方式下的值；若不是，请说明理由；
(3)若简单多面体是“等和多面体”，求分割后小多面体的个数与的等量关系.
参考公式：多面体欧拉定理可表示为“顶点数棱数面数”，即.
2．在空间中，过点作平面的垂线，垂足为，记.设为两个不同的平面，为平面外的三点..
(1)若，判断直线与平面的位置关系；
(2)平面与平面夹角为锐角且交于直线，直线，求证：；
(3)若对于任意点，恒有成立，求平面与平面夹角的大小.
3．个有次序的实数，，…，所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，，称为维信号向量.设，则和的内积定义为，且.
(1)写出所有3维信号向量；
(2)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(3)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；
4．在直三棱柱中，，，，点是平面上的动点．
(1)若点在线段上（不包括端点），设为异面直线与所成角，求的取值范围；
(2)若点在线段上，求的最小值；
(3)若点在线段上，作平行交于点，是上一点，满足．设，记三棱锥的体积为．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．据此，判断函数在定义域内是否存在，使得函数在上的图象是中心对称图形，若存在，求及对称中心；若不存在，说明理由．
压轴题型五：类比平面曲线公式型
1．在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为.
(1)若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）；
(2)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，点，点，平面，平面，求出点到平面的距离；
(3)已知集合，，.记集合中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，集合中所有点构成的几何体为.
（ⅰ）求和的值；
（ⅱ）求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值.
2．在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为.
(1)若平面，直线的方向向量为，求直线与平面所角的正弦值；
(2)已知集合，记集合中所有点构成的几何体体积为，集合，记集合中所有点构成的几何体为，求的值及几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值.
3．在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．此方程称为平面的点法式方理，整理变形可得，此方程称为平面的一般式方程．已知集合，，．
(1)指出集合M和N表示的图形；
(2)求过三点，，的平面的点法式方程和一般式方程；
(3)设R中所有点构成的几何体为K，求K中有公共棱的相邻两个面的夹角的余弦值．
4．在空间直角坐标系Oxyz中，这点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为．
(1)已知直线的方程为，直线的方程为．请分别写出直线和直线的一个方向向量．
(2)若直线与都在平面内，求平面的方程；
(3)若集合中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．
压轴题型六：类比平面向量扩展型
1．若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为与的混合积为．若，则与共面；若，则与异面．已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点．
(1)证明：与是异面直线．
(2)若点，求的长的最小值．
(3)若为坐标原点，直线，求的坐标．
2．行列式是解决复杂代数运算的算法，二阶行列式其运算法则如下：.若，则称为空间向量与的向量积，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点，且三点不共线.
(1)①若，，求；
②求证：是平面的一个法向量；且.
(2)①记的面积为，证明：.
②三棱锥，其中，，，求三棱锥的体积.（用，，表示）
(3)如图，两点分别是三角形的两条边上的动点（不含端点），其中的中点为，其中的中点为.求证：三角形面积是四边形面积的四分之一.
3．定义空间中既有大小又有方向的量为空间向量．起点为，终点为的空间向量记作，其大小称为的模，记作等于两点间的距离．模为零的向量称为零向量，记作．空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义与性质和平面向量一致，如：对任意空间向量，均有，，；对任意实数和空间向量，均有；对任意三点，均有等．已知体积为的三棱锥的底面均为，在中，是内一点，．记．
(1)若到平面的距离均为1，求；
(2)若是的重心，且对任意，均有．
（i）求的最大值；
（ii）当最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组满足对任意，均有，且对任意均有求证：不可能对任意及均成立．
（参考公式：）
4．n个有次序的实数，，…，所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量，若，称为n维信号向量.设，，则和的内积定义为，且.
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(2)证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量，，…，满足它们的前m个分量都是相同的，求证：.
压轴题型七： 综合应用型
1．炎炎夏日，上学路上若有一支冰淇淋该多么美妙啊！小明同学酷爱甜筒冰淇淋（图1），他想动手做一个甜筒模型（图2），若根据设计稿已知为直角三角形，四边形为直角梯形，，，曲线是以为圆心的四分之一圆弧，，，，，将平面图形旋转一周得到小明设计的甜筒．
(1)求该甜筒的体积；
(2)小明准备将矩形旋转所形成的几何体都用来盛装冰淇淋（如图2所示），该矩形内接于图形，在弧上（不与端点重合），点在线段上，与所在的直线重合，设，求：
①盛装冰淇淋容器的体积；（用表示）
②炎热的天气下，若冰淇淋融化的时间与盛装的体积满足关系，请计算这个冰淇淋完全融化需要的最长时间．
(3)小明想给甜筒一些新的装饰，如果修改后的甜筒俯视图如图3所示，且通过拼装后可以变成一个正四棱锥（即俯视图可以看作一个正四棱锥的展开图），我们记侧棱的长为1，，正四棱锥的表面积记作，体积记作．求（将其表示为的形式，其中为常数）．
2．阅读下列材料，回答问题：
如图，在空间直角坐标系中，过原点与轴成角的直线绕轴一周，生成以为顶点轴为对称轴的两个圆锥形的几何体，不经过原点与轴成角的平面截几何体的表面得到的截口曲线称为圆锥曲线.

当时，平面截几何体的表面得到的截口曲线在一个圆锥上，以下证明它是椭圆：如图，在该圆锥内放置两球和，使它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切，切点分别形成圆和圆）且与平面相切（位于平面上下两侧），切点分别为和，在截口曲线上任取一点P，作直线交圆于点，连接和，因为和都是大球的切线段，所以，同理，所以，因为两球外离，和分别是两球的内外公切线段，都为定值且，所以此时平面截圆锥得到的圆锥曲线满足椭圆定义，应为椭圆.依据上述材料所述，请回答：

(1)当时，对应的圆锥曲线是什么曲线？（直接回答不必证明）
(2)当，对应的圆锥曲线是什么曲线？并根据所给图形利用材料所提供的思路进行证明；

(3)如图，将等边绕边旋转至，并且使二面角为直二面角，动点在平面上并且，判断动点的轨迹，并求其离心率.

3．如图1，在抛物线上任选一动点，可认为其纵坐标为以为边长的正方形的面积，由此将抛物线下阴影部分的面积转化为四棱锥的体积，得，称其为抛物线的“三分之一”原则.
(1)如图3，在拟柱体中，底面为矩形，，点到底面的距离为2，试利用抛物线的“三分之一”原则求拟柱体的体积；
(2)已知类似于圆锥的空间几何体具有圆锥的一切对称性，且其顶点为，底面为，高为，将置于空间直角坐标系中，使其顶点与坐标原点重合，与平面平行且上任意一点坐标均可表示为.若用任一平行于平面的平面截所得的截面的面积与到平面的距离有关系：.设被平面所截得曲线为，
（i）求的体积关于的表达式及在平面中的方程；
（ii）在平面中，过点作两条互相垂直的弦，分别交于两点，都在第一象限内且在的右侧，分别交于两点.设的面积为的面积为，当点的横坐标时，求的最大值.
综述：
新定义题型的特点是，通过给出一个新定义概念，或者定义一种新的运算，或者给叔一些新的模型，借此搭建创设来创设全新的问题情景，首先要求学生做题时需要阅读理解出题的模型背景，根据试题提供的数学信息，结合自己所学的高中知识，联系所学的数学模型，借助所学的数学方法，实现试题提供的信息以迁移或者化归到高中数学层面上，用以达到灵活解题的目的。
新定义类试题更综合性的考查学生的思维能力和推理能力.处理这类问题，以基础概念为基础，以类比为抓手，以问题为思维切入点，构建逻辑推导平台，引导新定义概念下的思考，在论证过程中领悟数学方法。
第19题题目分值最高，试题容量较大，出题背景灵活多变，注重综合性、应用性、创新性和思维灵活性，对学科核心素养的考查全面。命题打破了过去高考试题出题形式，命题方式灵活多变，试卷结构新颖创新， 试题背景采取多样的形式，提问方式多角度多重辨析，综合考查学生的数学能力.
我们遇到新定义问题，应细致耐心阅读题目，分析试题提供的新定义的“规则”和特点，弄清新定义的“辐射类比”高中知识的性质，遵循新定义的要求，逐条分析，转化化归验证，逻辑推导运算，最终使得问题得以解决.
√满分技法
常规几何体的“怪异结论”，多涉及到几何体的角度、距离、体积等的证明与计算，和常规的角度、距离、体积的证明计算式子会有加强或者改变。
√满分技法
“怪异几何体”，多涉及到“常规几何体”中的“特殊”透视、分割。对于几何体的“处理”，会借助表面积、体积、角度和距离来设置提问或者证明要求。对于此类 问题，需要通过对“几何体”的分析，还原，切割等来转化为常见的空间或者平面关系求解。
√满分技法
新定义解答题是体现核心素养的重要题型，这类题目给出全新的数学概念或规则（如新运算、新函数、新几何定义等），学生需快速理解并应用。 问题设计通常由浅入深，逐步增加抽象性和综合性。 答案需基于定义严谨推导，而非依赖固定题型套路。这类题目注重数学抽象、逻辑推理和数学建模能力的考查，对思维灵活性和知识迁移能力要求较高。通过系统训练和思维引导，能逐步掌握新定义题的解题要领，提升应对高考创新题目的信心与能力。