2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册《直线与圆的位置关系》周练原卷版+解析版

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一、单选题（每小题5分，共30分）
1．设，空间向量，，且，，则（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】B
【详解】向量，且，
∴，解得，
∴，
∴
2．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，得到的点数分别为，若直线，则直线的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题可知，样本空间包含36个基本事件，
若直线，则满足且，即且，
设事件A表示直线，则，
所以，
3．已知直线与圆相交于两点，则当取最小值时，（ ）
A．1 B．-1
C． D．2
【答案】B
【详解】直线化简为，即直线恒过定点.
当时，取得最小值.
，则直线的斜率为，解得. 故选：B
4．对于圆C：，直线l：，点在圆C上，则直线l与圆C（ ）
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
【答案】A
【详解】由圆C：，可知圆心，半径为，由点在圆C上，可知，
可得，
圆心到直线的距离，
因为，所以，所以直线与圆相切.
5．莱莫恩（Lemine）定理指出：过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB所在直线交于点P，Q，R，则P，Q，R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemine线．在平面直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的Lemine线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】的外接圆方程设为，
，解得，
外接圆方程为，即，
故外接圆的圆心坐标为，故外接圆在处切线方程为，
又，令得，，，
在处切线方程为，
又，令得，，
则三角形的线的方程为，即.
6．直角坐标系中直线上的横坐标分别为的两点A、B，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则的大小为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【详解】直线上的横坐标分别为的点，
给定的图形中，轴于点C，轴于点D，则，
又，，
，则
，解得，而，所以.故选：A.
二、多选题（每小题6分，共12分）
7．已知事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A．如果，那么
B．如果与互斥，那么
C．如果与相互独立，那么
D．如果与相互独立，那么
【答案】ABD
【详解】对A选项：由，所以，，
因此，，故A正确；
对B选项：若与互斥，因此是不可能事件，所以，
再由概率的加法公式，故B正确；
对C选项：若与相互独立，则与也相互独立，.
因表示“A不发生且B不发生”，即，且与也相互独立，
所以，故C错误；
对D选项：因与相互独立，所以，
再由概率的加法公式，故D正确.故选：ABD.
8．下列说法中正确的有（ ）
A．若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为
B．若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
C．若圆上恰有2个点到直线的距离等于，则r的取值范围是
D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则四边形面积最小值为4
【答案】BCD
【详解】对于A，当直线，平行时，解得，
当直线，平行时，解得，
显然直线，交于点，当点在直线时，，
实数的取值集合为，故 A错误；
对于B，当直线的斜率不存在时，不满足要求，
当斜率存在时，设直线方程为，
沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，
得到，即，故，解得，
则该直线的斜率为，故B正确；
对于C，圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
要使圆上恰有2个点到直线的距离等于，
则，解得，故C正确；
对于D，圆的圆心为，半径，
设四边形的面积为，
根据对称性可知，，
因为，
所以当最小时， 最小，也最小，
当垂直于直线时，最小，即，
此时，，故D正确.故选：BCD
三、填空题（每小题5分，共10分）
9．猜灯谜是元宵节特色活动之一.甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节猜灯谜活动，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.活动中，甲和乙猜对与否互不影响，则 ；甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率 .
【答案】
【详解】设事件：甲猜对灯谜；事件：乙猜对灯谜.
由题意，与相互独立，且，，，.
因为甲、乙都猜不对的概率为，所以.
甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率为：
. 故答案为：；
10．已知正方体的棱长为2，点是正方体外接球的球面上一点，为正方体内切球的球面上的两点，若，则 .
【答案】2
【详解】设正方体外接球半径为，内切球半径为，正方体的中心为，则，
所以，所以，即，
因为，所以是正方体内切球的直径，所以，
所以
. 故答案为：2.
四、解答题（11题13分，12题15分，共28分）
11．某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率.
【答案】(1)，平均年龄为31.75；中位数为31 (2)
【详解】（1）由题意有：，解得，
设这n人的平均年龄为，
则，
由于前2组的频率为，
前3组的频率为，
则中位数在，设中位数为，
则，解得，则中位数为31.
（2）由题意得，按照分层抽样第四组应抽取人，记为（甲），，，，
第五组抽取人，记为（乙），，
对应的样本空间的样本点为：
，共包含15个等可能的样本点，
设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，
则，共包含9个等可能的样本点，
所以.
即甲、乙两人至少有一人被选上的概率为..
12．在中，，，，分别是上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示.
(1)求证：平面；
(2)求点M到平面的距离；
(3)在线段上是否存在点N（N不与端点重合），
使平面CMN与平面DEN垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，.
【详解】（1）因为在中，，，所以，
根据折叠关系，而且平面，
所以平面，平面，则，又，
由，平面，所以平面；
（2）因为DE经过的重心，故，由（1）知平面，
以为轴，为轴，为z轴，建立空间直角坐标系，.

由几何关系知，
故，
所以，，
设平面的法向量为，则，
即，令，则，
设M到平面的距离为；
（3）设，，，即，
即，，.
设平面CMN的法向量为，则，，
所以，则，令，则，
设平面DEN的法向量为，，
则，即，令，则，
若平面CMN与平面DEN垂直，则满足，即，，
故存在这样的点，，所以.