专题06 圆 7大高频考点（期中真题汇编，河南专用人教版）九年级数学上学期 含答案

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考点01 利用垂径定理求值
考点02 弧、弦、圆心角
考点03 圆周角
考点04 点和圆、直线和圆的位置关系
考点05 正多边形和圆
考点06 求弧长和和扇形面积
考点07 证明某直线是圆的切线
地 城
考点01
利用垂径定理求值
1．(24-25九上·河南漯河召陵区·期中)唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行榄式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长12m，轮子的吃水深度CD为2m，则该浆轮船的轮子半径为（ ）
A．6mB．8mC．10mD．12m
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道OC 垂直平分AB 这个隐藏的条件．
设半径为r，则OA=OC=r，由垂径定理得AD=6，然后利用勾股定理可求出答案
【详解】解：如图，连接OA，
设半径为r ，则OA=OC=r
∴OD=r−2
∵AB=12，OC⊥AB
∴AD=6
在Rt△ODA 中，
OA2=OD2+AD2 ，
∴r2=r−22+62
解得r=10
故选：C．
2．(24-25九上·河南安阳安阳县等3地·期中)如图，AB是⊙O的弦，若AB=8，⊙O的直径是10，则点O到直线AB的距离是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理．连接OA，作OC⊥AB于C，根据题意可得AC=BC=4，再运用勾股定理即可完成解答．
【详解】解：如图：连接OA，作OC⊥AB于C，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=12AB=4，
在Rt△AOC中，OC=OA2−AC2=52−42=3，
即点O到弦AB的距离为3．
故答案：3．
3．(24-25九上·河南许昌禹州·期中)如图，倩倩一家开车经过一道路环岛时，发现道路的一段圆弧AB，已知环岛的中心点O是这段圆弧所在圆的圆心．若倩倩位于AB上的点C处，且OC⊥AB，垂足为点M，AB=12m，MC=2m，则倩倩到环岛中心点O的距离为 m．
【答案】10
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．连接OA，设⊙O的半径为rm，则OA=OC=rm，OM=r−2m，再根据垂径定理可得AM=BM=12AB=6m，然后在Rt△AOM中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，连接OA，
设⊙O的半径为rm，则OA=OC=rm，
∵CM=2m，
∴OM=OC−CM=r−2m，
∵OC⊥AB，AB=12m，
∴AM=BM=12AB=6m，
在Rt△AOM中，OA2=OM2+AM2，即r2=r−22+62，
解得r=10，
即⊙O的半径为10m，
故答案为：10．
4．(24-25九上·河南许昌第一中学·期中)如图，⊙O经过A，B，C三点，AB=AC，连接AO．
(1)求证：AO⊥BC；
(2)BC=48，⊙O的半径为25，求AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)AB的长为40
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理．
（1）证得△AOB≌△AOC，得到∠BAO=∠CAO，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得；
（2）由（1）得AO⊥BC，故AD⊥BC，根据垂径定理得BD=CD=12BC=24，由勾股定理得OD=7，再由勾股定理可得AB的长．
【详解】（1）证明：如图，连接OB、OC，
∴在△AOB和△AOC，
AO=AOBO=COAB=AC
∴△AOB≌△AOCSSS，
∴∠BAO=∠CAO，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC；
（2）解：如图，延长AO交BC于点D，
由（1）得AO⊥BC，
∴AD⊥BC，
又∵OB=OC，BC=48，
∴BD=CD=12BC=24，
∵⊙O的半径为25，
∴OA=OB=OC=25，
∴在Rt△BDO中，OD=OB2−BD2=252−242=7，
∴AD=OA+OD=25+7=32，
∴在Rt△ABD中，AB=AD2+BD2=322+242=40，
即AB的长为40．
5．(24-25九上·河南驻马店平舆县·期中)如图，AB是⊙O的直径，弦CD和AB相交于点P，且∠APC= 45°,OQ⊥CD,Q是垂足．
(1)求证：PC−PD=2OQ；
(2)若⊙O的半径为5，求PC2+PD2的值．
【答案】(1)见解析
(2)50
【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用；
（1）先证明CQ=QD，△OPQ是等腰直角三角形，可得OQ=PQ，再进一步利用线段的和差关系可得结论；
（2）由PC2=CQ+PQ2,PD2=QD−PQ2，再结合勾股定理可得答案；
【详解】（1）证明：∵OQ⊥CD,Q是垂足，
∴CQ=QD（垂径定理）．
又∠APC=45°，
∴△OPQ是等腰直角三角形，
∴OQ=PQ，
∴PC−PD=CQ+PQ−QD−PQ=2PQ=2OQ；
（2）解：由（1）知，PC2=CQ+PQ2,PD2=QD−PQ2，
∴PC2+PD2=CQ2+2CQ⋅PQ+PQ2+QD2−2QD⋅PQ+PQ2
=2CQ2+2PQ2=2CQ2+PQ2．
连接CO，
则由CO2=CQ2+OQ2=CQ2+PQ2=52=25，
∴PC2+PD2=50．
6．(24-25九上·河南三门峡灵宝·期中)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，则CD的长为（ ）
A．4B．42C．6D．62
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键．
过点O作OF⊥CD，连接OC，根据已知条件求得OE，OC，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得OF，根据勾股定理即可求得CF，根据垂径定理即可得出答案．
【详解】解：过点O作OF⊥CD，连接OC，
，
∵AB是⊙O的直径，BE=1，AE=5，
∴AB=AE+BE=6，OA=OB=OC=12AB=3，
∴OE=OB−BE=3−1=2，
∵OF⊥CD，∠AEC=30°，
∴OF=12OE=1，
在△OFC中
CF=OC2−OF2=32−12=22，
∵OF⊥CD，
∴CD=2CF=42，
故选B．
7．(24-25九上·河南安阳北关区安阳第七中学·期中)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2已知圆心O在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，圆的半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）米．
A．4−7B．3C．1D．3−7
【答案】A
【分析】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC−OD即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意和圆的性质知点C为AB的中点，连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD= 12 AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD= OA2−AD2 = 42−32 = 7，
∴CD=OC−OD=4− 7，
即点C到弦AB所在直线的距离是4−7米，
故选：A．
8．(24-25九上·河南商丘民权县·期中)一辆装满货物的卡车，高2.7米，宽2米，要开进厂门形状如图所示的某工厂（厂门上方为半圆形拱门），问这辆卡车能否通过厂门？说明你的理由．
【答案】答：卡车能通过厂门，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理，进行解答，即可．
【详解】解：卡车能通过厂门，理由如下：
如图，C，D为卡车的宽度，过点C，D作EF的垂线交半圆于A，B，过点O作ON⊥AB，N为垂足，
∴CD=AB=2m，EF=2.5m，
由作法可得，AN=NB=12AB=1m，OB=OF=12EF=1.25m，
∴ON=OB2−NB2=1.252−12=0.75，
∴AC=ON+2.2=0.75+2.2=2.95m，
∵卡车高2.7m，
∴2.7m