【02-暑假预习】第08讲 基本不等式（学生版）-2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)

这是一份【02-暑假预习】第08讲 基本不等式（学生版）-2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)，共9页。试卷主要包含了基本不等式，ab≤≤等内容，欢迎下载使用。
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：4大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 基本不等式
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
知识点2 两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤ (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
知识点3 利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2 (简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
注意：
1.≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
2.ab≤≤.
3. (a>0，b>0).
知识点4 基本不等式的拓展
三元基本不等式：（a，b，c均为正实数），当且仅当a=b=c时取等号。
多元基本不等式：（a，b，c均为正实数），当且仅当时取等号。
考点一 利用基本不等式比较大小
1．已知，设，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不确定
2．已知，，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
（多选题）3．已知，下列不等式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
（多选题）4．已知a，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
考点二 由基本不等式证明不等关系
1．已知．
(1)若，证明：；
(2)若，证明：；
(3)若，证明．
2．（1）已知，求函数的最小值；
（2）若，， 证明: .
3．（1）已知，，，求证：．
（2）已知，，，，求证：．
4．已知，都是正数，求证：.
5．（1）若，，，都是正数，求证：；
（2）若，，都是正数，求证：.
考点三 最值定理
（多选题）1．已知，为正实数，且，则（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
2．已知，且，则的最小值为 ．
3．若，则的最小值是 .
4．（1）已知正数a，b满足，求的最大值；
（2）已知，，求的取值范围．
5．（1）已知，求的最大值；
（2）已知正实数满足，求的最大值.
考点四 基本不等式的恒成立问题
1．对一切x，，都有，则实数a的最小值是（ ）
A．8B．9C．10D．前3个答案都不对
2．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．，或
C．D．，或
4．已知，，且.若不等式恒成立，则的最大值为 .
5．已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
考点五 基本（均值）不等式的应用
1．一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市．已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要（ ）
A．2小时B．4小时C．6小时D．8小时
2．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案是每次均加30升的燃油，第二种方案是每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ）
A．采用第一种方案更划算B．采用第二种方案更划算
C．两种方案一样划算D．无法确定采用哪种方案更划算
3．一家商店用一架两边臂不等长的天平称黄金，一位顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；再将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后交给顾客，则商店在销售后（ ）
A．黄金少给了B．黄金刚好
C．黄金多给了D．与砝码放置顺序有关
4．如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为 ．
5．海伦公式亦叫海伦——秦九韶公式．它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为，其中a，b，c分别是三角形的三边长，．已知一根长为8的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为 ．
考点六 “1”的妙用
1．已知，且，则的最小值是（ ）
A．6B．12C．D．27
2．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
（多选题）3．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，且，则的最小值是 .
知识导图记忆
知识目标复核
1．基本不等式
2．两个重要的不等式
3．利用基本不等式求最值
4．基本不等式的拓展
1．两个工厂生产同一种产品，其产量分别为.为便于调控生产，分别将、、中的值记为并进行分析.则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知,,且,则的最小值为( )
A．B．C．D．
3．函数的最小值为（ ）
A．1B．3C．4D．5
4．已知均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．已知正数x，y满足，则的最大值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
6．若、都有恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，且恒成立，则的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
（多选题）8．已知，则的值可以是（ ）
A．4B．10C．D．3
（多选题）9．下列有关最值的结论正确的是（ ）
A．当时，函数的最小值为2
B．若均为正数，且，则的最小值为4
C．若均为正数，且，则的最小值为1
D．若均为正数，且，则的最小值为2
10．若实数a，b满足，则 的最小值为 ．
11．已知，且是方程的一个根，则的最小值是 ．
12．若命题“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是 .
13．某种植户要倚靠院墙建一个高3m的长方体温室用于育苗，至多有54m2的材料可用于3面墙壁和顶棚的搭建，设温室中墙的边长分别为，如图所示．
(1)写出：满足的关系式；
(2)求温室体积的最大值．
14．（1）已知是正实数，且，求的最小值；
（2）函数的最小值为多少？
15．已知，，且．
(1)求的最大值；
(2)求的最小值．
16．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：
方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；
方案二：其给出的整体报价为元，
(1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值；
(2)求的函数解析式，并求报价的最小值；
(3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围.教材习题01
设，，求证下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
解题方法
（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取得等号，
所以，命题得证.
（2）要证明，只用证明，
只用证明，
因为，
当且仅当时取得等号，所以成立，
则成立，命题得证.
（3），
当且仅当时取得等号，
所以，命题得证.
（4）因为，，
所以要证，只用证，
只用证，根据基本不等式可知显然成立，
当且仅当时取得等号，
所以成立，命题得证.
【答案】证明见解析
教材习题02
（1）把64写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？
（2）把24写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？
解题方法
（1）设两正数为，则，
由基本不等式得，，
当且仅当时等号取到，
即当两个正数都取时，它们的和最小，最小为.
（2）设两正数为，则，
由基本不等式得， ，
当且仅当时等号取到，
即当两个正数都取时，它们的积最大，最大为.
【答案】（1）当两个正数都取时，它们的和最小；（2）当两个正数都取时，它们的积最大
教材习题03
某罐装饮料厂为降低成本要将制罐材料减小到最少．假设罐装饮料筒为圆柱体，上、下底半径均为r，高为h，体积为定值V，上、下底厚度分别是侧面厚度的2倍．试问：当r与h之比是多少时，用料最少？（可以到市场上进行调查，看看哪些罐装饮料大体上符合你的计算结果）
解题方法
圆柱底面积为，则．
上、下底厚度分别是侧面厚度的2倍，设侧面厚度为1个单位，则上、下底厚度为2个单位，
则所用材料的量值为：
，
当且仅当时等号成立，这时，解得．
故.
【答案】