初中人教版（2024）三元一次方程组的解法学案

这是一份初中人教版（2024）三元一次方程组的解法学案，共6页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点，自主学习，合作探究，典型例题等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
1.通过提炼实际问题中的数量关系，结合二元一次方程组的概念，锻炼抽象能力，培养类比推理能力.
2.能解简单的三元一次方程组，通过探索三元一次方程组的解法,进一步感受“消元法”化繁为简的化归思想，培养举一反三的迁移意识.
【学习重点】会解简单的三元一次方程组
【学习难点】根据方程组的特点，选择最合适的解法.
【自主学习】
1、什么叫二元一次方程组?
2、解二元一次方程组的方法有哪些?
已知小明、小天、小红三个同学年龄之和为26岁，小明年龄的2倍与小天的年龄之和比小红大18岁，小明比小红大1岁，求三个同学的年龄.
【合作探究】
探究点一、三元一次方程（组）的概念
已知信息：小明、小天、小红三个同学年龄之和为26岁小明年龄的2倍与小天的年龄之和比小红大18岁，小明比小红大1岁.
问题1：题中有未知量？你能找出哪些等量关系？
未知量：每一个未知量都用一个字母表示.
等量关系：用方程表示等量关系.
(1)小明的年龄 + 小天的年龄 + 小红的年龄 = 26
(2)小明的年龄 - 1 = 小红的年龄
(3) 2×小明的年龄+小天的年龄=小红的年龄+18
想一想：观察列出的三个方程，你有什么发现？
问题2：你能类比二元一次方程(组)给上面的方程(组)取名字吗?
x + y + z = 26 ①
x + y = z + 18 ③ x = y + 12 ②
观察一下这三个方程的次数和未知数的个数，你有什么发现？
因三个同学的年龄必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起.
x+y+z=26 ①x=y+12 ②x+y=z+18 ③
总结：这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫作_____________.
追问：你能根据二元一次方程组的解说出什么是三元一次方程组的解吗?
【练一练】
1. 下列方程组不是三元一次方程组的是 ( )
A.x=1 ①x−y=12 ②x+z=10③ B.x−3y+2z=1 ①2x−y−4z=0 ②3x−2y+z=3 ③
C.x+y=10 ①x+z=2 ②y+z=15 ③ D.x+y−z=1 ①x−3y+4z=7 ②xyz=12 ③
探究点二、解三元一次方程组
例1 解方程组 x+y+z=26 ①x=y+12 ②x+y=z+18 ③
问题1：你能把上面的方程组化成只含有两个未知数的方程组吗?
问题2：如何求方程组中第三个未知数的值?
完整解答：
问题3：类比二元一次方程组的解法总结解三元一次方程组的方法.
【典型例题】
例2 在等式 y = ax2 + bx + c 中，当 x= -1时，y = 0；当 x = 2 时，y = 3；当 x = 5 时，y = 60. 求 a，b，c的值.
例3 若| a -b -1| + (b - 2a + c)2 + |2c - b| = 0，求 a，b，c的值.
例4 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含 A，B， C 三种食物，下表给出的是每份( 50 g)食物 A， B， C 分别所含的铁、钙和维生素的量(单位):
课堂检测
1. 下列方程：① x2+y3+z4=5；②1x+2y+3z=6；③2x＋3a＋b＝7；④x＋3y－4z＝1.其中能与方程x＋y＋z＝3 和 2x－y＝3组成三元一次方程组的是_____ (填序号).
2. 解方程组z=x+y ①3x−2y−2z=−5 ②2x+y−z=3 ③ 根据方程组的特点，可采取先将①分别代入③②式得____________，___________，从而求出y＝_______，z＝_______.
3. 若a，b，c为三角形的三边长，此三角形周长为18，且a＋b＝2c，b＝2a，则a＝________，b＝________，c＝________. ⁠.
4. 解方程组：
(1)x−y=5 ①z=−5 ②25x+5y+z=60 ③ (2)x+y= 3 ①y+z=−1 ②z+x=−2 ③
5. 一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上的数字的和是14，求这个三位数.
参考答案
【自主学习】
(1)方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.
(2)有代入消元法和加减消元法.
【合作探究】
探究点一、三元一次方程（组）的概念
问题1 三个未知量，分别是小红、小明和小天的年龄。
等量关系 (1)小明的年龄 + 小天的年龄 + 小红的年龄 = 26
(2)小明的年龄 = 小红的年龄 + 1
(3) 2×小明的年龄+小天的年龄=小红的年龄+18
问题2 含三个未知数 未知数的次数都是 1 三元一次方程组
追问 三元一次方程组中各个方程的公共解叫作这个三元一次方程组的解.
【练一练】 1.D
探究点二、解三元一次方程组
问题1 可以参考解二元一次方程组的方法，利用代入消元或加减消元消去一个未知数.
问题2 消元成二元一次方程组后，解二元一次方程组，再把得到的解代入原方程组中求第三个未知数.
完整解答 解：把②代人①，得 z + 1 + y + z = 26 ④. 把②代人③，得 2(z + 1) + y = z + 18 ⑤.④和⑤组成二元一次方程组
z+1+y+1=26 ④2（z+1）+y=z+18 ② y=7 ①y=9② 将 y = 7，z = 9 代入①中，得 x = 10.
因此原方程组解为x=10y=7z=9
问题3 三元一次方程组消元成二元一次方程组，然后将二元一次方程组消元成一次方程。解出一个未知数代入原来的方程求出另外两个未知数。
【典型例题】例2
a−b+c=0 ①4a+2b+c=3 ②25a+5b+c=60 ③ 解得 a= 3 b= −2c= −5
因此 a，b，c的值分别为 3，-2，-5
例3 解：因为三个非负式的和等于0，所以每个非负式的值均为 0.
a−b+c=0 ①4a+2b+c=3 ②25a+5b+c=60 ③ 解得 a=−3 b=−4c=−2
例4 解：设食谱中包含 A， B，C 三种食物各 x， y，z 份，由题意
5x+5y+10z=35 ①20x+10y+10z=70 ②5x+15y+5z=35 ③ 解得 x=2 y=1z=2
答：该食谱中包含 A 种食物 2 份，B 种食物 1 份，C 种食物 2 份.
课堂检测
1.①④ 2. x＝ 3 x－4y＝－5 2 5 3. 4 8 6
4. （1） x=3 y=−2z=−5 （2） x=1 y=2z=−3
5.解：设这个三位数个位上的数字为x，十位上的数字为y，百位上的数字为z.依题意得
x+z=y ①7z=x+y+2 ②x+y+z=14 ③
把①代入③得y＝7，把y＝7代入①得x＋z＝7④，代入②得7z＝x＋9⑤，④＋⑤得z＝2，∴x＝5.∴这个三位数为2×100＋7×10＋5＝275.
食物
铁
钙
维生素
A
5
20
5
B
5
10
15
C
10
10
5