初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）12.4 逆命题和逆定理精品复习练习题

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）12.4 逆命题和逆定理精品复习练习题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，AB/​/CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直，若AD=6，则点P到BC的距离是( )
A. 2B. 52C. 3D. 32
2.定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是( )
A. 有两个角相等的三角形是等腰三角形B. 有两个底角相等的三角形是等腰三角形
C. 有两个角不相等的三角形不是等腰三角形D. 不是等腰三角形的两个角不相等
3.对于命题“若m=2，则m2=4”，能说明该命题的逆命题是假命题的m的值可以是( )
A. m=−2B. m=2C. m=−4D. m=4
4.如图，在△ABC中，∠C=90 ∘，DE⊥AB于点E，CD=DE，∠CBD=26 ∘，则∠A的度数为( )
A. 34 ∘B. 36 ∘C. 38 ∘D. 40 ∘
5.到三角形三个顶点距离相等的点是( )
A. 三条高线的交点B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三条中线的交点
6.如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，ED⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，AB=11，AC=5，则BE的长为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.下列各命题的逆命题是真命题的是( )
A. 等边三角形的三个内角都相等B. 全等三角形的对应角相等
C. 若a>0，b>0，则a+b>0D. 对顶角相等
8.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC两两相交围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是( )
A. △ABC三边垂直平分线的交点B. △ABC三条中线的交点
C. △ABC三条高的交点D. △ABC三条角平分线的交点
9.如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，ED⊥B，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，AB=11，AC=5，则BE的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
10.在如图的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是( )
A. ∠ADB=∠ADCB. ∠B=∠C
C. BD=CDD. AD平分∠BAC
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.命题：“全等三角形的周长相等”的逆命题是 ；该逆命题是 命题(填“真”或“假”)．
12.请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题： ．
13.如图，AB=8cm，分别以A，B为圆心，5cm长为半径画弧，两弧相交于M，N两点．连接AM，BM，AN，BN，则四边形AMBN的面积为 cm2．
14.下列命题中，其逆命题成立的是 (填序号)．①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们度数相等；③如果两个数相等，那么它们的平方相等．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠C=90°．
(1)用圆规和直尺在边AC上作点P，使点P到A，B的距离相等；(保留作图痕迹)
(2)若(1)的点P到AB，BC的距离相等，求∠A的度数．
16.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．
(1)求证：BE=CF；
(2)如果AB=13，AC=5，求AE的长．
17.(本小题8分)
尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)
(1)如图1，在边BC找一点P，使得点P到边AB、AC距离相等；
(2)如图2，找一点Q，使得点Q到△ABC的三个顶点距离相等．
18.(本小题8分)
如图，计划在某小区建一个智能垃圾分类投放点P，需要满足以下条件：
(1)附近的两栋住宅楼A、B到智能垃圾分类投放点P的距离相等，需要作出 (填“角平分线”或“垂直平分线”)．
(2)点P到两条道路OM、ON的距离相等，需要作出 (填“角平分线”或“垂直平分线”)．
(3)请在图中利用尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)，确定点P的位置．
19.(本小题8分)
如图，A与B是两个居住社区，OC与OD是两条交汇的公路，欲建立一个超市M，使它到A、B两个社区的距离相等，且到两条公路OC、OD的距离也相等.请用尺规作图(保留作图痕迹)，确定超市M的位置．
20.(本小题8分)
如图，已知△ABC中BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，BG⊥AC交AC于点G．
(1)求证：BF=CG；
(2)若AB=12，AC=16，求AF的长度．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】 过点P作PE⊥BC于点E，如图，
∵AD⊥AB，AB/​/CD，∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，PE⊥BC，PA⊥AB，PD⊥CD，∴PA=PE，PD=PE，∴PA=PD=PE，∴AD=PA+PD=2PE=6，∴PE=3，即点P到BC的距离是3.故选C．
2.【答案】A
【解析】略
3.【答案】A
【解析】命题“若m=2，则m2=4”的逆命题：若m2=4，则m=2. 当m=−2时，m2=4成立，m=2不成立．
4.【答案】C
【解析】略
5.【答案】B
【解析】略
6.【答案】A
【解析】解：如图，连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
CD=BDDF=DE，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)，
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=11，AC=5，
∴BE=12×(11−5)=3．
故选：A．
连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
7.【答案】A
【解析】略
8.【答案】D
【解析】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴度假村应建在△ABC三条角平分线的交点处．
故选：D．
角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可得到答案．
本题考查三角形的重心，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质．
9.【答案】A
【解析】解：如图，连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
CD=BDDF=DE，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)，
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=11，AC=5，
∴BE=12×(11−5)=3．
故选：A．
连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】B
【解析】解：∵点D在BC上，
∴∠ADB+∠ADC=180°，
∵∠ADB=∠ADC，
∴2∠ADC=180°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
故A不符合题意；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠C与点D所在的位置没有关系，
∴由∠B=∠C不能说明AD⊥BC，
故B符合题意；
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
故C不符合题意；
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
故D不符合题意，
故选：B．
由∠ADB+∠ADC=180°，且∠ADB=∠ADC，求得∠ADC=90°，则AD⊥BC，可判断A不符合题意；由AB=AC，得∠B=∠C，可知由∠B=∠C不能说明AD⊥BC，可判断B符合题意；由AB=AC，BD=CD，根据等腰三角形的“三线合一”得AD⊥BC，可判断C不符合题意；由AB=AC，AD平分∠BAC，根据等腰三角形的“三线合一”得AD⊥BC，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查垂直的定义、“等边对等角”、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确理解和运用等腰三角形的性质是解题的关键．
11.【答案】周长相等的两个三角形是全等三角形
假

【解析】“全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的两个三角形是全等三角形”，因为周长相等的两个三角形不一定全等，所以该命题是假命题．
12.【答案】有两个内角相等三角形是等腰三角形
【解析】∵原命题的条件是一个三角形是等腰三角形，结论是这个三角形的两底角相等，
∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个内角相等的三角形是等腰三角形”．
13.【答案】24
【解析】略
14.【答案】①
【解析】本题考查了互逆命题及真假命题的定义，熟练掌握它们的概念是解题的关键
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；先根据互逆命题的定义写出逆命题，再判断真假即可．
【详解】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②如果两个角是直角，那么它们相等，它的逆命题是：如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等，它的逆命题是：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题．
所以，逆命题成立的是①；
故答案为：①
15.【答案】
∠A=30°
【解析】(1)如图，作线段AB的垂直平分线，交AC于点P．
则点P即为所求；
(2)由题意，得PC=PN，
∴∠NBP=∠CBP．
∵PA=PB，
∴∠A=∠NBP，
∵∠NBP+∠A+∠CBP=90°，
∴3∠A=90°．
∴∠A=30°．
(1)作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，得PA=PB；
(2)由角平分线判定定理得∠CBP=∠NBP.由等边对等角，得∠A=∠NBP，于是3∠A=90°，得∠A=30°．
本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形性质，角平分线的判定定理；理解垂直平分线性质，角平分线的判定定理是解题的关键．
16.【答案】连接DB、DC，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵DG⊥BC，BG=GC，
∴DB=DC，
在Rt△BDE和Rt△CFD中，
DE=DFBD=CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE=CF；
9
【解析】(1)证明：连接DB、DC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∵BG=GC，DG⊥BC，
∴DB=DC，
在Rt△BDE和Rt△CFD中，
DE=DFBD=CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE=CF；
(2)解：由(1)知BE=CF，
在△ADE和△ADF中
∠EAD=∠FAD∠DEA=∠DFAAD=AD，
∴△ADE≌△ADF(AAS)，
∴AE=AF=AC+CF，
∵CF=BE=AB−AE，
∴AE=AC+AB−AE，
∴2AE=AC+AB=18，
∴AE=9．
(1)连接DB、DC，由角平分线性质得DE=DF，根据垂直平分线性质可得DB=DC，再证明Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，即可得出结论；
(2)由(1)得出BE=CF，证明△ADE≌△ADF(AAS)，则AE=AF=AC+CF，又CF=BE=AB−AE，代入可求解．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
17.【答案】

【解析】(1)如图：
以A为圆心画圆弧与AB、AC分别交于E、D，以E、D分别为圆心，DE的长度为半径画圆弧，两圆弧交于F，连接AF并延长交BC于P，
∴点P到边AB、AC距离相等，P点即为所求；
(2)如图：
以A、B为圆心，大于12AB的长度为半径画圆弧，两圆弧交于G、H，连接GH；
以B、C为圆心，大于12BC的长度为半径画圆弧，两圆弧交于M、N，连接MN；
GH和MN交于Q，点Q到△ABC的三个顶点距离相等，Q即为所求点．
(1)作出∠ABC的角平分线，要求的点为该角平分线与BC的交点；
(2)作出三角形任意两边的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点．
本题考查了作图—角平分线的作法、作图—线段垂直平分线的作法，正确作出图形是解题的关键．
18.【答案】【小题1】
垂直平分线
【小题2】
角平分线
【小题3】
解：如图所示，点P即为所求．

【解析】1.
根据线段垂直平分线的性质即可求解；
【详解】解：附近的两栋住宅楼A、B到智能垃圾分类投放点P的距离相等，需要作出垂直平分线，
故答案为：垂直平分线；
2.
根据角平分线的性质即可求解；
解：点P到两条道路OM、ON的距离相等，需要作出角平分线，
故答案为：角平分线；
3.
分别作线段AB的垂直平分线EF和∠MON的角平分线OT，相交于点P，点P即为所求；
本题考查了线段垂直平分线的性质和角平分线的性质及作图，掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质是解题的关键．
19.【答案】解：如图所示，点M即为所求；

【解析】根据题意做出AB的垂直平分线和∠COD的角平分线交于点M，即为所求．
此题考查了作图−应用与设计作图，角平分线和垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
20.【答案】(1)证明：连接BE和CE，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠BFE=∠EGC=90°，EF=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
BE=CEEF=EG，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL)，
∴BF=CG；
(2)解：∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠AFE=∠AGE=90°，∠FAE=∠GAE，
在△AFE和△AGE中，
∠FAE=∠GAE∠AFE=∠AGEAE=AE，
∴△AFE≌△AGE(AAS)，
∴AF=AG，
∵BF=CG，
∴AB+AC=AF−BF+AG+CG=2AF，
∵AB=12，AC=16，
∴AF=14．
【解析】(1)根据线段垂直平分线求出BE=CE，根据角平分线性质求出EF=GE，证出Rt△BFE≌Rt△CGE即可；
(2)由“AAS”可证△AFE≌△AGE，可得AF=AG，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．