初中数学人教版（2024）八年级上册课题学习最短路径问题练习

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册课题学习最短路径问题练习，共12页。试卷主要包含了求线段之和的最小值2，求周长的最小值3，作图问题4等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc14567" 类型一、求线段之和取最小值时的角度或线段长 PAGEREF _Tc14567 \h 1
\l "_Tc28714" 类型二、求线段之和的最小值2
\l "_Tc25408" 类型三、求周长的最小值3
\l "_Tc21580" 类型四、作图问题4
TOC \ "1-3" \h \u
类型一、求线段之和取最小值时的角度或线段长
1．如图，在中，于分别是线段上的动点，，当最小时，的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（ ）
A．10B．12C．14D．16
3．如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（ ）的长度相等．
A．B．C．D．
4．如图，在中，AD是的角平分线，E，F分别是，上的动点．若，当的值最小时，的度数为 ．
类型二、求线段之和的最小值
5．如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ．
6．如图，等边与关于直线对称，且的边长为3，为线段上一动点，则的最小值是 ．
7．在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ．
8．如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ．
类型三、求周长的最小值
9．如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
10．如图，在中，，的面积为12，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，连接EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．则周长最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
11．如图，等腰底边长为，面积，腰的垂直平分线交于点，若D为边上中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 ．
12．如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，则的周长最小值是 ．
13．如图，等腰三角形的底边长为10，面积是60，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
14．如图，等腰三角形的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
类型四、作图问题
15．昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（ ）
A．B．
C．D．
16．如图，在中，，、分别为、的中点，平分交边于点，为上一动点，若使得的值最小，下列四个示意图中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
17．直线表示一条河的两岸，且，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路径最短，即最小．则下列图中满足条件的是（ ）
A．B．
C．D．
18．在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作出关于y轴对称的并写出的坐标；
(2)求的面积；
(3)在x轴上画出点P，使最小（不写作法）．
19．如图：在正方形网格上有一个．
(1)画出关于直线的对称图形；
(2)若在上存在一点，使得的值最小，请在图中画出点的位置；
(3)若网格上最小正方形的边长为，求的面积．
20．如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出．
21．已知，如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，是轴上一点．
(1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
(2)若最小，请在图中找到符合条件的点．（不写作法，保留作图痕迹）．
22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．
(1)作出关于直线对称的（要求A与与与相对应）；
(2)求的面积；
(3)在直线上找一点，使得的和最小．（保留作图痕迹）
23．已知，是，两个城镇和一条河流．
(1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）．
(2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）．
24．如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线．
25．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1)请画出四边形关于直线m成轴对称的四边形；
(2)请在直线m上确定一点P，使最短．
1．在一条笔直的公路上有7个村庄依次为A、B、C、D、E、F、G，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，，而村庄G正好是的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（ ）
A．A处B．C处C．G处D．E处
2．快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（ ）
A．4.5B．5.2C．6D．6.2
3．如图，在中，是边上的中线．
（1）若，则的度数是 ．（用含的式子表示）
（2）若是线段上的一个动点，为线段上的一个动点，则的最小值是 ．
4．【任务一】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．
小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图1，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置．
请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：
证明：如图2，在直线m上另取任一点D，连结AD，，BD，
∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上，
∴______，________，
∴_____
在中，∵，
∴．
∴，即最小，
【任务二】如图3，有两条公路AO和BO经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园P处新建如图所示的三条小路PM，PN，MN，使三条小路刚好围成一个三角形，周长的最小值为_____米．
【任务三】实践应用：如图4，在中，，，，，AD平分，M、N分别是AD、AC边上的动点，求的最小值．
1．综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
（1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的．
小慧：你能详细解释原因吗？
小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程．
【解决问题】
（2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）；
（3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？
2．线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：．
AI
分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明．
（1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________．
（3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________．
3．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．
(1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供生站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（ ）
A. B.C. D.
(2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由．