人教版（2024）八年级上册（2024）综合与实践 最短路径问题当堂达标检测题

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知识点01 最短路径的基本原理
最短路径的基本原理：
①两点之间，线段 。如图， 号线最短
②点到直线的距离 。如图， 最短。
②图 ③图
③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 。如图，MN是垂直平分线，CA= 。
知识点02 利用轴对称解决最短路径问题
两点一线型（两点在直线的异侧）：
问题：如图1，直线两侧有点A与点B，在直线l上找一点p，使PA＋PB最小。
作法：如图2，连接AB，AB与直线l的交点即为点P。
结论：PA＋PB最小
原理：两点之间，线段最短。

图1 图2
两点一线型（两点在直线的同侧）：
问题：如图1，直线两同侧有点P与点Q，在直线l上找一点M，使MP＋MQ最小。
作法：如图2，作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线的交点即为要找的点M。即作点P关于直线l的对称点p’。连接P’ Q，P’ Q与直线l交于即为点M。
结论：MP＋MQ最小。
原理证明：∵P与P’关于直线l对称
∴直线l是PP’的
∴MP MP’
∴MP＋MQ＝ ＋MQ＝ 。
∴MP＋MQ此时有最小值，为 的长度
图1 图2
【即学即练1】
1．如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练2】
2．如图，在等边三角形ABC中，AD是边BC上的中线，且AD＝6，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，BE+EF的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
一点两线型：
问题：如图1，已知∠MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得△PAB的周长最小。
作法：如图2，分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’ P’’与OM、ON的交点A与B即为要找到的点。
结论：△PAB的周长最小。
原理证明：证明：∵P与P’关于OM对称，P与P’’关于ON对称
∴OM是PP’的 ，ON是PP’’的 。
∴AP AP’，BP BP’’
∴＝ ＋AB＋ ＝
∴△PAB的周长最小。
图1 图2
【即学即练1】
3．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练2】
4．如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为 ．
两点两线型：
问题：如图1，已知∠AOB以及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最小。
作法：如图2，分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边OA与OB相交与点M与点N，此时点M与点N即为要找的点。即作点Q关于OA的对称点D，点P关于OB的对称点C，连接DC，DC与OA交于点M，与OB交于点N，连接QM，MN，PN，PQ。
结论：四边形PQMN的周长最小。
原理证明：∵Q与D关于OA对称，P与C关于OB对称
∴OA是QD的 ，OB是PC的 。
∴MD MQ，NP NC。

＝PQ＋ ＋MN＋
＝PQ＋ 。
∴四边形PQMN的周长最小。
图1 图2
【即学即练1】
5．已知：∠AOB，点M和点N，试在OA、OB上分别找点P、Q，使四边形MNQP的周长最短．（尺规作图，不需写作法，保留作图痕迹）

【即学即练2】
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（ ）
A．45°B．90°C．75°D．135°
知识点03 利用平移解决造桥选址问题
造桥选址问题：
问题：如图1，平行河岸两侧各有一村庄P、Q，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄P到村庄Q的路程最短。
作法：如图2，在其中一个村庄作垂直于河岸的直线，使其长度等于桥的长度，连接端点与另一村庄，直线与另一村庄岸边的交点即为选址地点。
图1 图2
【即学即练1】
7．如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（ ）
A．路线：PF→FQB．路线：PE→EQ
C．路线：PE→EF→FQD．路线：PE→EF→FQ
题型01 最短路径作图
【典例1】小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】已知：如图，点A和点B在直线l同一侧．求作：直线l上一点P，使PA+PB的值最小．

【变式3】如图，直线l1、l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（ ）
A．唯方案一可行B．唯方案二可行
C．方案一、二均可行D．方案一、二均不可行
【变式4】在OA、OB分别有两个动点M、N，网格内有一固定点P，要使得△PMN周长最小，请在图中规范地做出M、N两点的位置，并说明理由．
【变式5】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）

【变式6】如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，要求指出最短路径．
同学甲：牧马人从A地出发，把马牵到草地与河边的交汇处N点，牧马又饮马，然后回到B处．
同学乙：作A点关于直线MN对称的A′点，再作B点关于直线l对称的B′点，连接A′B′交直线MN于Q点，交直线l于P点，则路径A→Q→P→B为最短路径．
你认为哪位同学指出的最短路径正确？画出图形，并说明理由．

题型02 最短路径的计算
【典例1】如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线且AD＝12，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 ．
【典例1】 【变式1】 【变式2】
【变式1】如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，M，N分别是BC，AB边上的动点，∠B＝58°，当△DMN的周长最小时，∠MDN的度数是（ ）
A．122°B．64°C．62°D．58°
【变式3】如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 ．
【变式3】 【变式4】 【变式5】
【变式4】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，△ABC的面积为12，BC＝4，则△BDM周长的最小值是 ．
【变式5】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．12
【变式6】如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是8cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【变式7】如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为 ．
【变式8】已知点P在∠MON内．
（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
①若∠MON＝50°，则∠GOH＝ ；
②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；
（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．
1．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
2．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线AD＝6，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E，F运动的过程中，EB+EF的最小值是（ ）
A．6B．4C．3D．2
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．如果点D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（ ）
A．8.4B．9.6C．10D．10.8
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．2.4B．4.8C．4D．5
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，边AC的垂直平分线MN分别交AB、AC于点M、N，点D是边BC的中点，点P是MN上任意一点，连接PD、PC，若∠A＝40°，则当△PCD周长最小时，∠CPD＝（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
6．如图，已知∠AOB＝α，C是∠AOB内部的一点，且OC＝3，点D、E分别是OA、OB上的动点，若△CDE周长的最小值等于3，则α＝（ ）
A．45°B．40°C．35°D．30°
7．如图，在四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．100°B．90°C．70°D．80°
8．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则△PBD的周长的最小值是（ ）
A．6B．7C．10D．12
9．如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN＝6，射线BD⊥BC，垂足为点B，点P是射线BD上一动点，点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM＝7，则AC的长为（ ）
A．8B．9C．10D．12
10．如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，且BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（ ）
A．7B．8C．10D．12
11．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD平分∠BAC，N是AC上一动点（不与A，C重合），M是AD上一动点（不与A，D重合），则CM+MN的最小值为 ．
12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面积为24．点E在边AC上，点F在边AB上，且EF垂直平分AC，点D是边BC的中点，点M在线段EF上移动，连接CM，DM，则△CDM的周长的最小值为 ．
13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，此时∠MAN＝80°，则∠BAD的度数为 ．
14．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数是 ．
15．已知：如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β．当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α＝ ．
16．如图，某地有块三角形空地AOB，已知∠AOB＝30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得PO＝10米，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR，点Q，R分别是OA，OB边上的任意一点（不与各边顶点重合），求△PQR周长的最小值．
17．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点P，使PB+PC最小；
（3）在DE上画出点Q，使QA＝QC．

18．已知点P在∠MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
（1）若∠MON＝50°，求∠GOH的度数；
（2）如图2，若OP＝6，当△PAB的周长最小值为6时，求∠MON的度数．
19．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合）．AD＝AE．∠DAE＝60°，连接CE．
（1）求证：CE平分∠ACF；
（2）若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠ABC＝65°，求∠NMA的度数．
（2）连接MB，若AC＝12cm，BC＝8cm．
①求△MBC的周长；
②在直线MN上是否有在点P，使PB+CP的值最小，若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，说明理由．
课程标准
学习目标
①最短路径的基本原理
②利用轴对称只是解决最短路径问题
③利用平移解决造桥选址问题
掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短与点到直线的距离最短。
掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，垂直平分线的性质解决相应题目。

方案一：
①将点A向上平移d得到A'；②连接A'B交l1于点M；③过点M作MN⊥l1，交l2于点N，MN即桥的位置．
方案二：
①连接AB交l1于点M；②过点M作MN⊥l1，交l2于点N．MN即桥的位置．