2025-2026学年广东省广州市黄埔区黄埔军校纪念中学九年级上学期10月月考数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省广州市黄埔区黄埔军校纪念中学九年级上学期10月月考数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．下列关于的方程：①；②；③；④；⑤，其中一元二次方程的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是
A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
4．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．
B．当时，
C．函数有最大值
D．当时，随的增大而减小
6．已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是（ ）
A．B．C．1D．2
7．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（ ）
A．B．C．D．
9．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
10．二次函数的对称轴是直线，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如图所示，下列结论：①，②，③，④若点在二次函数的图像上，则关于x的不等式的解集是，其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
二、填空题
11．若关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
12．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
则表格中m的值是 ．
13．若一元二次方程没有实数根，则直线不经过第 象限．
14．如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和，则当时，的取值范围为 ．
15．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来．
16．已知关于的一元二次方程（，，为常数，）的解为，，则方程的解为 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)；
18．已知二次函数的图象如图所示，点在第二象限的函数图象上，点的坐标为．连接、，若，求点的坐标．
19．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？
20．已知二次函数，
(1)对称轴是__________；
(2)在平面直角坐标系里画出它的图象．
(3)当时，函数的取值范围是__________．
21．关于x的一元二次方程有实数根
(1)求m的取值范围
(2)若两根为、且，求m的值
22．如图1，是一名运动员在排球场比赛中跳发球的过程，球的飞行路线可以用二次函数如图2刻画，其中轴是球网所在的位置，轴是水平地面，排球飞行的水平距离（米）与其飞行的高度（米）的变化规律如表（排球场地标准：长18米，宽9米）：
(1)①________；
②求函数的解析式；
(2)①排球的落点是，求点的坐标．
②若排球运动员击球高为2米，请通过计算说明该运动员有没有踩线犯规．（提示：到轴的距离大于9米）
23．某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元千克，如果售价为20元千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元千克，那么每天可售出200千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元千克）之间存在一次函数关系．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若该超市每天要获得利润810元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为多少元？
(3)若樱桃的售价不得高于28元千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？
24．综合与实践
问题情境：某市计划在一处正方形的场地上建一座供市民休闲娱乐的绿地公园，要求是把场地划分成四大区域，场地内有曲线形的观光道路，需要建有一个休息室，一个洗手间．
设计人员小红的设计方案是：如图1所示，把一张边长为4的正方形纸先对折，得到的垂直平分线，摊开，铺平后再次将正方形折叠，使点D，C落到上且折叠后点D与点C重合，记为点P，折痕为，再次摊开，铺平，连接，，得到，，四边形，四边形四个区域．一条抛物线形的路把这四个区域串起来，抛物线经过A，P，B三点，点P是抛物线的顶点．
工程师小李在听了小红的设计方案后，在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请按照他的方法解决下列问题：
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在四边形区域内的抛物线上找一点N，使得的面积最大，在此处建一个休息室，请求出点N坐标；
(3)为了平衡布局，设计人员要求洗手间（用点H表示）到点P和点B的距离相等，若点H在抛物线上的四边形区域内，求点H的坐标．
25．如图，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，过点作的垂线，垂足为．
(1)求该二次函数的解析式．
(2)求线段的最大值．
(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是平面内的一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
x
3
4
5
6
7
8
…
y
m
…
…
0
…
…
3
2.92
…
《广东省广州市黄埔区黄埔军校纪念中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷》参考答案
1．C
【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据形如的顶点坐标为进行求解即可．
【详解】解：由抛物线可知其顶点坐标为；
故选：C．
2．A
【分析】依据一元二次方程的定义判断即可.
【详解】①当时，不是一元二次方程；
②是分式方程，不是一元二次方程；
③是一元二次方程；
④是一元二次方程；
⑤，整理后不含x的二次项，不是一元二次方程；
故选：A.
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键.
3．C
【分析】根据根的判别式进行求解即可得答案.
【详解】，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键.
一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
4．B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理得，即可作答．
【详解】解：依题意，
，
移项得，
，
∴，
故选：B
5．A
【分析】本题考查的是二次函数的性质，当时，函数值大于0，即即判断A选项，根据函数图象，直接可得时，即可判断B选项，根据函数图象开口向下，即可判断C选项，根据对称轴为直线，开口向下，即可判断D选项．
【详解】解：根据函数图象可得：当时，函数值大于0，即，故A选项错误，符合题意；
当时，，故B选项正确，不符合题意；
∵二次函数的图象开口向下，
∴函数有最大值，故C选项正确，不符合题意；
∵对称轴为直线，且开口向下，
∴当时，随的增大而减小，故D选项正确，不符合题意；
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则．设该方程的另一个根为，则根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可．
【详解】解：设该方程的另一个根为，
根据根与系数的关系，得，
解得．
故选：．
7．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键．
由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解．
【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
故选：C．
8．D
【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断值的大小．
【详解】解：函数的解析式是，
对称轴是直线，
点的对称点为，
对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大，
又，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性及对称性．
9．C
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象，判断的符号；再根据的符号判断抛物线的开口方向及对称轴即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由一次函数的图象可知，，
则二次函数可得，开口向上，
又二次函数的对称轴为直线，在轴左侧，
故二次函数的图象大致为：
故选：．
10．D
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握对称轴，最值，相应方程的根是解题关键．根据抛物线的对称轴可判断①对错；根据图像利用抛物线的顶点坐标，得到，即可判断③对错；抛物线的对称性可知，当时，，得到，即可判断②对错；根据二次函数和直线的交点，即可判断④对错．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
，
∴，①正确；
∵抛物线的顶线坐标为，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，成立，故③正确；
∵抛物线与轴的一个交点在点和点之间，
∴由抛物线的对称性可知，另一个交点在和之间，
时，，
，
，
，
∴，②正确；
∵抛物线的顶线坐标为，点在二次函数的图像，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴交点的横坐标即为方程的两个实数根，
∵点在二次函数的图像，
∴为其中一个实数根，
根据函数图像对称性，对称轴为直线，
∴另一个实数根是1，
∴关于x的不等式的解集是，
∴④正确，
故选：D．
11．
【分析】本题利用了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，，
解得，．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题利用二次函数图象的对称性进行作答，即可求解．
【详解】解：由题意可得：抛物线的对称轴为：
直线，
∴与关于对称轴对称，
∴，
故答案为：；
13．三
【分析】本题考查了根的判别式，一次函数的性质，由一元二次方程没有实数根得，故有直线经过第一、二、四象限，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，
∴，
∴，
∴直线经过第一、二、四象限，
∴直线不经过第三象限，
故答案为：三．
14．
【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据抛物线图像在直线图像上方部分对应的范围即为，从而求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点，的横坐标分别为和，
∴根据图像可知当时，的取值范围为，
故答案为：．
15．600
【详解】解：∵﹣1.5＜0，
∴函数有最大值．
∴，
即飞机着陆后滑行600米才能停止，
故答案为：600．
16．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程看作是关于的方程，则关于的方程的解满足或，据此可得答案．
【详解】解：把方程看作是关于的方程，
∵关于的一元二次方程（，，为常数，）的解为，，
∴关于的方程的解满足或，
解得或，
故答案为：．
17．(1)，；
(2)，．
【分析】此题考查了解一元二次方程，掌握利用直接开方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（）利用直接开方法解一元二次方程即可；
（）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
或
∴，；
（2）解：，
，
，
或，
∴，．
18．
【分析】本题考查了二次函数的性质，设点到轴的距离为．则，解得．当时，，从而即可得解．
【详解】解：点的坐标为，
．
设点到轴的距离为．
，
．
当时，，
点的坐标为．
19．当两条直角边为4时，三角形面积最大，为8
【分析】先求出面积和直角边间的数量关系，再利用二次函数的顶点坐标求出面积的最大值．
【详解】设一条直角边长是x，那么另一条直角边是8－x，设面积为y，
则y＝x·（8－x），即y＝x2＋4x，
其图象对称轴为直线x＝＝＝4
当x＝4时，ymax＝8，
∴当两条直角边为4时，三角形面积最大，为8．
【点睛】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最值时，本题采用了顶点公式法．
20．(1)直线
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数的图象，求二次函数的函数值的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）把解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）先描点，再连线，画出对应的函数图象即可；
（3）由解析式可得函数开口向上，则离对称轴越远函数值越大，据此结合顶点坐标并求出自变量的值为3时的函数值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线；
（2）解：列表如下：
函数图象如下所示：
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴离对称轴越远函数值越大，
当时，
∵，
∴当时，．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得，
解得：；
（2）解：∵方程的两个根为、，
∴，，
∵，
∴，即，
解得：，
∵，
∴．
22．(1)①2.92；②；
(2)①；②该运动员发球时没有踩线犯规．
【分析】本题考查了二次函数的应用：
（1）①根据对称性可求出n的值即可；
②待定系数法求出函数解析式；
（2）①令求解即可；
②令求出x的值，与9比较大小即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∴当时的函数值与当时的函数值相等，
∴．
②，
．
把代入得：．
．
函数解析式：；
（2）解：①点在横轴上，
，
．
（舍）
点的坐标．
②
当时，
（舍），
点到轴的距离为米
排球场地长为18米，左半场为9米，
说明该运动员发球时没有踩线犯规．
23．(1)；
(2)18元；
(3)售价为28元时，每天获利最大为2210元．
【分析】本题考查了一次函数和二次函数在实际销售利润问题中的应用，涉及了一次函数解析式的求解，一元二次方程的应用，求二次函数的最值问题等知识点，掌握这些是解题的关键．
（1）设y与x的函数关系式为：，把代入求解即可；
（2）根据利润＝（售价－进价）×销售数量列出方程，求解后根据题意选择合适的售价即可；
（3）设该超市每天获利W元，写出利润函数，通过配方法结合二次函数性质求最大值．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：，
把代入得：
，
解得：，
y与x的函数关系式为：；
（2）解：根据题意知，，
整理得：
解得：或，
要让消费者得到实惠，
，
答：该超市每天要获得利润810元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为18元；
（3）解：设该超市每天获利W元，
，
，
开口向下，
对称轴为，
在时，W随x的增大而增大，
时，W最大值（元），
答：售价为28元时，每天获利最大为2210元．
24．(1)
(2)
(3)点的坐标为
【分析】本题主要考查了二次函数与几何的综合运用，二次函数的对称性，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的性质及数形结合的思想方法是解题的关键．
（1）由已知可求得，，则可得．设设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求得，进而可得抛物线的函数表达式为；
（2）过N点作于G点，交于K点，先求出直线的表达式为．设，则，根据可得，则可得时S的值最大，从而可求出点的坐标；
（3）要求洗手间（用点H表示）到点P和点B的距离相等，只要求的垂直平分线与抛物线的交点即为点，
【详解】（1）解：由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
∴．
设抛物线的函数表达式为，将点A，点P的坐标分别代入得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图2，过N点作于G点，交于K点，
设直线的表达式为，将点A，点P的坐标分别代入得：
，
解得，
∴直线的表达式为．
设，则，
则，
∴
，
∵，
∴当时，S的值最大，
∴；
（3）解：设点的坐标为，
∵，，
∴,,
∵,
∴,
∴,
解得，
又点在抛物线上，
∴，
解得或，
当时，，此时点，与点重合，不在四边形区域内，舍去；
当时，，此时点，在四边形区域内，符合要求，
所以，点的坐标为．
25．(1)
(2)
(3)，，，
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式．
（2）设，，利用两点间的距离公式得到，利用配方法求得最值．可证明为等腰直角三角形，则最大时，最大，求解即得到答案．
（3）由题意，以、、、为顶点的四边形是菱形，即为等腰三角形，分三种情况讨论：①，②，③，借助于方程求得点的坐标，进而求得坐标．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过，，
，
解得，
此二次函数表达式为；
（2）设直线为，因其经过，，
，
解得，，
直线的表达式为，
设，，
，
，
，
∴的最大值为，
，，
为等腰直角三角形，
，
轴，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
随增大而增大，
当的最大值为时，
；
（3）答：存在以、、、为顶点的四边形是菱形；
解：若以、、、为顶点的四边形是菱形，即为等腰三角形，
二次函数的对称轴为，，，
在中由勾股定理可得，．
设，则，．
分三种情况讨论：
若，
则，解得，
；
此时四边形为菱形，
∵菱形对角线互相平分，由中点公式知：
，
即，
若，，得，
，；
此时四边形为菱形，
同理求得或，
若，，得或，
，．
、、三点共线，
舍去．
此时四边形为菱形，
此时
的坐标为：，，，．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
B
A
A
C
D
C
D

…


0
1
…

…
0
0
…