2025-2026学年广东省广州市第六中学九年级上学期10月月考数学试题

这是一份2025-2026学年广东省广州市第六中学九年级上学期10月月考数学试题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列选项中是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是
A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
4．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．
B．当时，
C．函数有最大值
D．当时，随的增大而减小
6．已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是（ ）
A．B．C．1D．2
7．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（ ）
A．B．C．D．
9．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
10．已知一元二次方程有两个实数根和（），则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．若关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
12．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
则表格中m的值是 ．
13．若一元二次方程没有实数根，则直线不经过第 象限．
14．如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和，则当时，的取值范围为 ．
15．已知关于的一元二次方程（，，为常数，）的解为，，则方程的解为 ．
16．如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，则 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)；
18．已知．
(1)化简；
(2)若点在抛物线上，求的值．
19．关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若两根为、且，求m的值．
20．已知二次函数，
(1)对称轴是__________；
(2)在平面直角坐标系里画出它的图象．
(3)当时，函数的取值范围是__________．
21．如图，在中，，，．点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为．
(1)下列两位同学的说法正确的是__________，请说明理由；
小六同学：可以平分的周长；
小珠同学：可以平分的面积．
(2)连接，当为何值时，？
22．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．
定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题：
(1)方程的倒方程是 ．
(2)若是的倒方程的解，求出c的值；
(3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值．
23．年是中国农历蛇年，关于蛇的玩偶十分畅销，凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店决定以每件元的价格购进一款玩偶，以每件元的价格出售．经统计，年月份的销售量为件，年月份的销售量为件．
(1)求该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率．
(2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该玩偶每件每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加件．当该玩偶的售价为多少元时，月销售利润达元？
24．综合与实践
问题情境：某市计划在一处正方形的场地上建一座供市民休闲娱乐的绿地公园，要求是把场地划分成四大区域，场地内有曲线形的观光道路，需要建有一个休息室，一个洗手间．
设计人员小红的设计方案是：如图1所示，把一张边长为4的正方形纸先对折，得到的垂直平分线，摊开，铺平后再次将正方形折叠，使点D，C落到上且折叠后点D与点C重合，记为点P，折痕为，再次摊开，铺平，连接，，得到，，四边形，四边形四个区域．一条抛物线形的路把这四个区域串起来，抛物线经过A，P，B三点，点P是抛物线的顶点．
工程师小李在听了小红的设计方案后，在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请按照他的方法解决下列问题：
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在四边形区域内的抛物线上找一点N，使得的面积最大，在此处建一个休息室，请求出点N坐标；
(3)为了平衡布局，设计人员要求洗手间（用点H表示）到点P和点B的距离相等，若点H在抛物线上的四边形区域内，求点H的坐标．
25．如图，直线与抛物线：交于点，点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为直线下方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，当取最大值时，求的值：
(3)如图，点，连接，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，当时，根据的不同取值，试探究抛物线与直线交点个数的情况．
x
3
4
5
6
7
8
…
y
m
…
《广东省 广州市第六中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题》参考答案
1．A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程”判断即可．
【详解】解：A、含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，是一元二次方程，符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意；
故选A．
2．C
【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据形如的顶点坐标为进行求解即可．
【详解】解：由抛物线可知其顶点坐标为；
故选：C．
3．C
【分析】根据根的判别式进行求解即可得答案.
【详解】，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键.
一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
4．B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理得，即可作答．
【详解】解：依题意，
，
移项得，
，
∴，
故选：B
5．A
【分析】本题考查的是二次函数的性质，当时，函数值大于0，即即判断A选项，根据函数图象，直接可得时，即可判断B选项，根据函数图象开口向下，即可判断C选项，根据对称轴为直线，开口向下，即可判断D选项．
【详解】解：根据函数图象可得：当时，函数值大于0，即，故A选项错误，符合题意；
当时，，故B选项正确，不符合题意；
∵二次函数的图象开口向下，
∴函数有最大值，故C选项正确，不符合题意；
∵对称轴为直线，且开口向下，
∴当时，随的增大而减小，故D选项正确，不符合题意；
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则．设该方程的另一个根为，则根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可．
【详解】解：设该方程的另一个根为，
根据根与系数的关系，得，
解得．
故选：．
7．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键．
由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解．
【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
故选：C．
8．D
【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断值的大小．
【详解】解：函数的解析式是，
对称轴是直线，
点的对称点为，
对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大，
又，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性及对称性．
9．C
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象，判断的符号；再根据的符号判断抛物线的开口方向及对称轴即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由一次函数的图象可知，，
则二次函数可得，开口向上，
又二次函数的对称轴为直线，在轴左侧，
故二次函数的图象大致为：
故选：．
10．B
【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，根据题意可得，设，则抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，，根据增减性可推导出当时，x的值一个小于，一个大于，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
设，则抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小，
∴在中，当时，x的值一个小于，一个大于，即，
故选：B．
11．
【分析】本题利用了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，，
解得，．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题利用二次函数图象的对称性进行作答，即可求解．
【详解】解：由题意可得：抛物线的对称轴为：
直线，
∴与关于对称轴对称，
∴，
故答案为：；
13．三
【分析】本题考查了根的判别式，一次函数的性质，由一元二次方程没有实数根得，故有直线经过第一、二、四象限，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，
∴，
∴，
∴直线经过第一、二、四象限，
∴直线不经过第三象限，
故答案为：三．
14．
【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据抛物线图像在直线图像上方部分对应的范围即为，从而求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点，的横坐标分别为和，
∴根据图像可知当时，的取值范围为，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程看作是关于的方程，则关于的方程的解满足或，据此可得答案．
【详解】解：把方程看作是关于的方程，
∵关于的一元二次方程（，，为常数，）的解为，，
∴关于的方程的解满足或，
解得或，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、，证明，所以，，又点，，则，，得，再由，从而求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：抛物线对称轴为：直线，
如图，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点，，
∴，，
∴，
∵，，
∴
，
∴，
∴ ，
故答案为：．
17．(1)，；
(2)，．
【分析】此题考查了解一元二次方程，掌握利用直接开方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（）利用直接开方法解一元二次方程即可；
（）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
或
∴，；
（2）解：，
，
，
或，
∴，．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查分式的化简求值、二次函数图象上点的坐标特征，正确化简T是解答的关键．
（1）根据分式的加减乘除混合运算法则和运算顺序化简T即可；
（2）先根据二次函数图象上点的坐标满足函数解析式求得，再代入化简的T中求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵点在抛物线上，
∴，即，
∴．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之取其小于等于的值即可得出结论．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：．
（2），是一元二次方程的两个实数根，
，，
，即，
整理得：，
解得：，．
又，
．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程．
20．(1)直线
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数的图象，求二次函数的函数值的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）把解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）先描点，再连线，画出对应的函数图象即可；
（3）由解析式可得函数开口向上，则离对称轴越远函数值越大，据此结合顶点坐标并求出自变量的值为3时的函数值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线；
（2）解：列表如下：
函数图象如下所示：
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴离对称轴越远函数值越大，
当时，
∵，
∴当时，．
21．(1)小珠同学，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，利用方程的思想求解是解题的关键．
（1）根据题意可得，则，利用勾股定理可得，当平分的周长时，则，若P、Q都没有停止运动，则，当点Q停止运动，点P没有停止运动时，则，当平分的面积时，，若P、Q都没有停止运动，若点Q停止运动，点P没有停止运动时，则，分别解方程可判断对应同学的说法；
（2）根据用含t的式子表示出，再根据建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴的周长，
当平分的周长时，则，
∴若P、Q都没有停止运动，则，
解得，
∵秒，即点Q需要3秒就运动到点A，
∴点Q运动3秒就停止运动，故不符合题意；
当点Q停止运动，点P没有停止运动时，则，解得，不符合题意，
故不可以平分的周长；
∵，
∴当平分的面积时，，
∴若P、Q都没有停止运动时，则，
解得或（舍去），
若点Q停止运动，点P没有停止运动时，则，
解得：，
∴可以平分的面积；
∴小珠同学的说法正确；
（2）解：，
，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍去）．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键．
（1）根据新定义的含义可得答案；
（2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值；
（3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可；
【详解】（1）解：方程的倒方程是；
（2）解：由题意得：方程的倒方程为，
把代入方程得 ：，
∴
（3）由题意得：方程的倒方程为，
∵m，n是方程的两个实数根，
∴， ，
∴
∴
；
23．(1)该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率
(2)当该玩偶的售价为元时，月销售利润达元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键．
（1）设该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该款玩偶售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为只，利用月销售利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
所以该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该款玩偶售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为只，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
所以当该玩偶的售价为元时，月销售利润达元．
24．(1)
(2)
(3)点的坐标为
【分析】本题主要考查了二次函数与几何的综合运用，二次函数的对称性，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的性质及数形结合的思想方法是解题的关键．
（1）由已知可求得，，则可得．设设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求得，进而可得抛物线的函数表达式为；
（2）过N点作于G点，交于K点，先求出直线的表达式为．设，则，根据可得，则可得时S的值最大，从而可求出点的坐标；
（3）要求洗手间（用点H表示）到点P和点B的距离相等，只要求的垂直平分线与抛物线的交点即为点，
【详解】（1）解：由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
∴．
设抛物线的函数表达式为，将点A，点P的坐标分别代入得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图2，过N点作于G点，交于K点，
设直线的表达式为，将点A，点P的坐标分别代入得：
，
解得，
∴直线的表达式为．
设，则，
则，
∴
，
∵，
∴当时，S的值最大，
∴；
（3）解：设点的坐标为，
∵，，
∴,,
∵,
∴,
∴,
解得，
又点在抛物线上，
∴，
解得或，
当时，，此时点，与点重合，不在四边形区域内，舍去；
当时，，此时点，在四边形区域内，符合要求，
所以，点的坐标为．
25．(1)抛物线的解析式为；
(2)当时，的最大值为；
(3)抛物线与直线有两个交点时，的取值范围为；抛物线与直线有一个交点时，的取值范围为或，抛物线与直线无交点时，的取值范围为或．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数图象和性质，一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法即可求解；
（）利用待定系数法求出直线的解析式为，因为点的横坐标为，且点在抛物线上，点的坐标为，又因为轴，所以点和点的纵坐标相等，把代入，可得，所以有，把这个次函数整理成顶点式解析式即可得到的最大值和此时的值；
（）设平移后的抛物线解析式为，求出直线上横坐标为和的两点和点的坐标，找到临界点，时有两个公共点，求出的最小值，当平移后的抛物线与直线有唯一公共点时，求出从而求出的取值范围．
【详解】（1）解：∵交于点，点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设的解析式为，代入点，点坐标得，
，解得，
∴的解析式为，
∵点在抛物线上，点的横坐标为，
∴，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
把代入得，
∴点，
∴
，
∵点为直线下方的抛物线上一动点，
∴，
∴当时，的最大值为；
（3）解：设的解析式为，
∵直线过点，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，直线对应点为，
当时，，直线对应点为，
设抛物线的图象向上平移个单位得到抛物线为，
如图，当抛物线经过点时，抛物线与线段有一个公共点，
∴，解得：，
当抛物线与直线有唯一的公共点时，
，即，
∴，
解得，
当抛物线经过点时，抛物线与线段有两个公共点，
抛物线过点时，，
解得；
∴当时，若抛物线与直线有两个交点时，
∴的取值范围为；
若抛物线与直线有一个交点时，
∴的取值范围为或，
若抛物线与直线无交点时，
∴的取值范围为或．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
B
A
A
C
D
C
B

…


0
1
…

…
0
0
…