专题12 不等式的性质、恒成立及基本不等式（新高考通用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（原卷版+解析版）

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题型01 基本不等式
题型02 不等式的性质
题型03 不等式恒成立
题型04 不等式的证明
题型05 不等式与函数的性质交汇
题型01
基本不等式
1．（2025·山东菏泽·二模）已知，，且，则的最大值为（ ）
A．B．1C．4D．16
2．（2025·河南新乡·二模）已知随机变量，，则的最大值为（ ）
A．9B．C．D．
3．（2025·贵州·二模）已知一组数据1，4，5，，3，4，5，1，，7，4的平均数为4，其中，均为正整数，则当取得最小值时，这组数据的方差为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（ ）
A．B． 的最小值为 -1
C．的最小值为 12D． 的最小值为
5．（2025·山东临沂·二模）已知为正项等差数列，若，则的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
6．（多选）（2025·江西上饶·二模）若正实数满足，则（ ）
A．的最大值是B．的最小值是9
C．的最大值是D．的最小值是
7．（2025·江西·二模）已知，若，当取得最大值时，（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·广东清远·二模）已知函数，若，，且，则的最小值是 ．
9．（2025·甘肃·二模）已知实数，满足，则的最小值为 ．
10．（2025·山东菏泽·二模）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求边上高的最大值．
题型02
不等式的性质
1．（多选）（2025·河南·三模）已知，c为实数，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·山东聊城·二模）已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
4．（多选）（2025·河北衡水·二模）已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．（多选）（2025·山西·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
题型03
不等式恒成立
1．（2025·江西上饶·二模）若不等式恒成立，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·四川雅安·二模）已知，且，对于任意均有，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数在上单调，且在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·山西·二模）设函数，对任意，.若对任意，都有，则的极小值为（ ）
A．B．C．D．0
5．（2025·广东揭阳·二模）已知定义在上的函数，对任意满足，且当时，.设，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·山东潍坊·二模），，则实数的取值范围是 ．
7．（2025·辽宁·二模）设函数．若在上恒成立，则实数的取值范围为 ．
8．（2025·河北邯郸·二模）设函数，若存在实数，使得恒成立，则实数的取值范围是 ．
9．（2025·山西晋城·二模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ．
10．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
11．（2025·安徽滁州·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意和任意，都有，求实数的取值范围．
12．（2025·江苏·二模）已知函数，，.
(1)若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值；
(2)讨论函数在区间上的单调性；
(3)若对任意恒成立，求的取值范围.
13．（2025·山东青岛·二模）已知函数
(1)当时，求证：
(2)若对恒成立，求的取值范围.
14．（2025·云南曲靖·二模）已知函数．
(1)当时，求函数在上的值域；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
15．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数．
(1)若存在，使成立，求k的取值范围；
(2)已知，若在上恒成立，求k的最小值．
题型04
不等式的证明
1．（2025·江西上饶·二模）已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时成立．
2．（2025·河北邯郸·二模）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：.
3．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数．
(1)若，求在的值域；
(2)证明：存在唯一的极值点，且；
(3)若恒成立，证明：．
4．（2025·山东潍坊·二模）已知函数．
(1)若在处取得极值0，求的值；
(2)若有两个零点．
（i）当时，曲线在点处的切线斜率为1，求的值；
（ii）证明：．
5．（2025·山东临沂·二模）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)设函数，已知有两个极值点．
①求的取值范围；
②求证：．
6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数．
(1)当时，求在区间上的零点个数；
(2)当，时，求证：．
7．（2025·江苏南京·二模）已知函数,.
(1)当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数；
(2)当时，若，恒成立，求实数的取值范围.
8．（2025·山西·二模）已知函数.
(1)设是曲线的任意一条切线，若，求a的值；
(2)证明：存在，对任意，且，都有；
(3)证明：.
9．（2025·广东深圳·二模）已知函数，函数图象上的一点，按照如下的方式构造切线：在点处作的切线，记切线与x轴交点的横坐标为．
(1)写出与的递推关系式；
(2)记的零点为r，且．
（i）证明：当时，；
（ii）证明：对于任意的，都有．
10．（2025·河南·二模）已知函数.
(1)当时，若不等式恒成立，求的取值范围；
(2)若有两个零点，，且.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
题型05
不等式与函数的性质交汇
1．（2025·贵州·二模）已知为偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·河南·二模）已知函数，则满足的实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·湖南邵阳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·江苏南京·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·重庆·二模）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2025·山东聊城·二模）函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．（多选）（2025·河北张家口·二模）已知函数的定义域为R，当时，，且对于任意的，都有，则（ ）
A．B．为偶函数
C．当时，D．当时，
8．（多选）（2025·安徽黄山·二模）已知是定义在上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A．在上有且只有1个零点B．在区间上单调递增
C．D．