专题09 解析几何（新高考通用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（原卷版+解析版）

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题型01 直线与圆的位置关系
题型02 椭圆及直线与椭圆位置关系
题型03 双曲线及直线与双曲线位置关系
题型04 抛物线及直线与椭圆抛物线法
题型05 轨迹方程
题型06 定义新曲线问题
题型07 圆锥曲线与向量、数列等知识交汇
题型01
直线与圆的位置关系
1．（2025·江西萍乡·二模）过点作圆的切线，记其中一个切点为，则（ ）
A．16B．4C．21D．
2．（2025·广东揭阳·二模）若直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A．B．C．2D．
3．（2025·山东菏泽·二模）已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（ ）
A．5B．10C．D．
4．（2025·江苏·二模）已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则（ ）
A．直线过圆心B．直线与圆相交，但不过圆心
C．直线与圆相切D．直线与圆无公共点
5．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）
A．B．
C．D．
6．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）若点关于直线对称的点在圆上，则的值为（ ）
A．1B．C．D．2
7．（2025·福建莆田·二模）设正方形的四条边分别经过点，则该正方形与圆的公共点至多有（ ）
A．0个B．4个C．8个D．16个
8．（多选）（2025·贵州毕节·二模）已知圆，圆，则（ ）
A．当时，圆与圆相切
B．当时，圆与圆相交于两点，且直线的方程为
C．当时，圆与圆相交
D．当时，圆与圆相交于两点，且
9．（多选）（2025·陕西咸阳·二模）已知圆C的方程为，点是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．圆C的半径为2
B．满足的点M有1个
C．的最大值为
D．若点P在x轴上，则满足的点P有两个
10．（2025·湖北黄冈·二模）已知方向向量为的直线与圆相切，则的方程为 ．
11．（2025·江苏南京·二模）若圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的坐标为 .
12．（2025·天津南开·二模）已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点．若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为 ．
13．（2025·安徽合肥·二模）已知抛物线，，点在上．
(1)求的最小值；
(2)设点的横坐标为2，过作的两条切线，分别交于，两点．
（ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（ⅱ）证明直线过定点．
题型02
椭圆及直线与椭圆位置关系
1．（2025·云南曲靖·二模）如图，圆柱的轴与一平面所成角为，该平面截圆柱侧面所得的图形为椭圆，此椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·安徽淮北·二模）若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆长轴的长为（ ）
A．2B．C．4D．8
3．（2025·黑龙江·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·山东滨州·二模）已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（ ）
A．6B．5C．9D．8
5．（2025·安徽淮北·二模）已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于两点，若，，则椭圆的离心率为 .
6．（2025·河北·二模）已知椭圆的离心率为，A，D分别为其上、下顶点，且.
(1)求椭圆M的标准方程.
(2)点E为椭圆M的右顶点，点B为椭圆M上在第三象限内的动点，B、C两点关于轴对称，直线DE与直线AB、直线AC分别交于点P，T，过D作轴的平行线交AE的延长线于点Q，连接QP，QT.试探究四边形APQT是否为平行四边形，并写出探究过程.
7．（2025·天津南开·二模）已知椭圆的左、右焦点分别是为上一点，且在中，．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值．
8．（2025·山西·二模）在坐标平面xOy中，，分别是椭圆的左右顶点，且C的短轴长为2，离心率为.过的中点B的直线l（不与x轴重合）与C交于D，E两点.
(1)求C的方程；
(2)证明：；
(3)直线和的斜率比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
9．（2025·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与相交于两点E，F（在的左侧）.设直线，的斜率分别为，.
①求证：为定值；
②设直线，相交于点，求证：为定值.
题型03
双曲线及直线与双曲线位置关系
1．（2025·云南昆明·二模）双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·天津南开·二模）已知双曲线的两个焦点分别为是渐近线上一点，当取最小值时，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·山东聊城·二模）双曲线的方程为，直线与双曲线左右两支分别交于A，B两点，与两条渐近线分别交于E，F两点，若E，F是线段AB的三等分点，则的值为（ ）
A．4B．8C．12D．24
4．（2025·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·河北·二模）设双曲线的右顶点为，，分别在两条渐近线上，且，，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（多选）（2025·山东青岛·二模）双曲线的左右焦点分别为，左右顶点分别为，若是右支上一点（与点不重合），如图，过点的直线与双曲线的左支交于点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．存在使得 B．P到两条渐近线的距离之积为定值
C．当直线运动时，始终有 D．△内切圆的圆心的横坐标为
7．（2025·山东菏泽·二模）已知为双曲线右支上一点，、为左右焦点，直线交轴于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 ．
8．（2025·山西·二模）设，分别是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与C的一条渐近线相切，记圆与C的一个公共点为A，若与圆恰好相切，则 .
9．（2025·江苏·二模）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距长为.若和抛物线交于，两点，且为正三角形，则的离心率为 .
10．（2025·安徽淮北·二模）已知双曲线经过点为其左，右顶点，且与的斜率之积为
(1)求双曲线的方程；
(2)点为实轴上一点，直线交于另一点，记的面积为的面积为，若，求点坐标.
11．（2025·湖北黄冈·二模）设双曲线的左、右焦点分别为，直线与的渐近线不平行，且与恰有一个公共点，点在上．当轴时，．
(1)求的方程；
(2)若不在轴上，满足，求的横坐标；
(3)若，证明的轨迹为圆，并求该圆的方程．
12．（2025·云南曲靖·二模）已知，点是上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)与轴不重合的直线过点，曲线上存在两点关于直线对称，且的中点的横坐标为．
①求的值；
②若均在轴右侧，且直线过点，求的取值范围．
题型04
抛物线及直线与抛物线位置关系
1．（多选）（2025·安徽黄山·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作直线交抛物线于，两点，则（ ）
A．的最小值为4
B．以线段为直径的圆与直线相切
C．当时，则
D．
2．（多选）（2025·湖北黄冈·二模）设抛物线的焦点为，准线为，经过点的直线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则直线的倾斜角为
B．以线段为直径的圆与相切
C．存在直线，使得
D．若直线交于点，则
3．（多选）（2025·辽宁·二模）已知焦点为的抛物线与圆交于两点，且，点在抛物线上，且过两点分别作抛物线的切线交于点，则下列结论正确的有（ ）
A．拋物线C的方程为：
B．若三点共线，则点横坐标为
C．若三点共线，且倾斜角为，则的面积是
D．若点，且三点共线，则的最小值是9
4．（多选）（2025·河南新乡·二模）已知为曲线：上一点，，，，点到直线：，：，：的距离分别为，，，则（ ）
A．存在无数个点，使得
B．存在无数个点，使得
C．存在无数个点，使得
D．仅存在一个点，使得且
5．（多选）（2025·山东滨州·二模）已知是双曲线的左、右焦点、抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合．且是双曲线与抛物线的一个公共点．若是等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（多选）（2025·河北·二模）已知抛物线E：的焦点为F，准线交y轴于点P，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线C上的两点，点M是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若中点M的横坐标为4，则直线的斜率为2
C．若，则恒过点
D．若直线过点F，则
7．（2025·湖北武汉·二模）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则（ ）
A．4B．3C．D．
8．（多选）（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知O为坐标原点，经过点的直线与抛物线交于、两点，直线：是线段AB的垂直平分线，且与的交点为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．D．
9．（2025·广东肇庆·二模）直线与椭圆交于两点不是椭圆的顶点），设，当直线的斜率是直线斜率的2倍时， .
10．（2025·吉林长春·二模）已知P为抛物线上一点，过点P作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于两点，若直线的斜率为，则点P的坐标为 ．
11．（2025·河北邯郸·二模）已知焦点为的抛物线与圆相切于两点，则的面积为 ．
12．（2025·山东菏泽·二模）抛物线的焦点为，且过点．
(1)求的方程；
(2)过点的一条直线与交于、两点（在线段之间），且与线段交于点．
①证明：点到和的距离相等；
②若的面积等于的面积，求点的坐标．
13．（2025·山东青岛·二模）抛物线:，为的焦点，过抛物线外一点作抛物线的两条切线，，是切点.
(1)若点的纵坐标为，求证：直线恒过定点；
(2)若||＝，求面积的最大值;
(3)证明：||·||=.
题型05
轨迹方程问题
1．（2025·广东肇庆·二模）已知直线是双曲线的一条渐近线，是坐标原点，是的焦点，过点作垂直于直线交于点的面积是，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·安徽池州·二模）已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选）（2025·辽宁沈阳·二模）在平面内，存在定圆和定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是（ ）
A．当点与圆心重合时，点的轨迹为圆
B．当点在圆上时，点的轨迹为抛物线
C．当点在圆内且不与圆心重合时，点的轨迹为椭圆
D．当点在圆外时，点的轨迹为双曲线
4．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，圆与轴交于、两点，、是分别过、的圆的切线，过圆上任意一点作圆的切线，分别交、于点、两点，记直线与交于点，则点的轨迹方程为（ ）
B．
C．D．
5．（2025·河北·二模）平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．
(1)求点Q的轨迹E的方程；
(2)过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由．
6．（2025·四川成都·二模）已知椭圆上的动点总满足关系式，且椭圆与抛物线有共同的焦点是椭圆与抛物线的一个公共点，.
(1)求抛物线的方程和椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交抛物线于两点，交椭圆于两点，若，求直线的方程.
题型06
定义新曲线问题
1．（多选）（2025·安徽池州·二模）定义：既有对称中心又有对称轴的曲线称为“和美曲线”，“和美曲线”与其对称轴的交点叫做“和美曲线”的顶点.已知曲线，下列说法正确的是（ ）
A．曲线是“和美曲线”
B．点是曲线的一个顶点
C．曲线所围成的封闭图形的面积
D．当点在曲线上时，
2．（多选）（2025·辽宁·二模）如图，曲线是一条双纽线，曲线上的点满足：到点与的距离之积为，已知点是双纽线上一点，则下列结论正确的是（ ）.
A．点在曲线上
B．双纽线的方程为
C．
D．点在椭圆上，若，则
3．（2025·江西九江·二模）窗花是中国传统剪纸艺术的重要分支，主要用于节日或喜庆场合的窗户装饰，尤以春节最为常见，它以红纸为材料，通过剪、刻等技法创作出精美图案，图案讲究构图对称、虚实相生.2025年春节，小明同学利用软件为家里制作了一幅窗花图案（如图），其外轮廓为方程所表示的曲线.设图案的中心为为曲线上的最高点，则（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（2025·山东聊城·二模）笛卡尔叶形线是一种非常优美且具有丰富几何性质的代数曲线，它的形状如图所示，其标准方程为：，其中是参数．已知某笛卡尔叶形线过点，点是该曲线上的一点，则（ ）

A．当时，取到最大值B．的取值范围是
C．直线是曲线的一条切线D．若是曲线的渐近线，则
5．（多选）（2025·广东揭阳·二模）已知曲线，一条不过原点的动直线与x，y轴分别交于，两点，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线有4条对称轴
B．曲线形成封闭图形的面积大于
C．当时，线段中点的轨迹与曲线相切
D．当时，直线与曲线相切
6．（多选）（2025·陕西西安·二模）已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则曲线表示一条直线
B．曲线上的点到原点的距离的最小值为
C．若，则曲线与直线只有1个公共点
D．若曲线与直线只有2个公共点，则
题型07
圆锥曲线与向量等知识交汇问题
1．（2025·山东潍坊·二模）在中，，为边上一点，满足，以为焦点作一个椭圆，若经过两点，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足，若，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·广东清远·二模）已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点．过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则的方程和直线斜率的最大值分别为（ ）
A．（除去点），B．（除去点），
C．，D．，
4．（2025·云南昆明·二模）已知，，动点满足直线与直线斜率之积为．记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点作直线与相交于，两点，与轴交于点，若，求直线的方程．
5．（2025·山东潍坊·二模）双曲线的左、右顶点分别为、，点到的渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)按照如下方式依次构造点（且）：过点作斜率为的直线交于另一点，设是点关于实轴的对称点，记点的坐标为．
（i）证明：数列、是等比数列，并求数列和的通项公式；
（ii）记的面积为，的面积为，求的最大值．
6．（2025·辽宁·二模）一般地，若两个椭圆焦点都在x轴或y轴上，长轴相等，其中一个椭圆的短半轴长与另一个椭圆的焦距长相等，则称两个椭圆为相关椭圆.已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F.过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点G、B，直线与交于点C、D.
(1)求该椭圆的相关椭圆方程及抛物线的方程
(2)四边形GCBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
(3)过椭圆左顶点A且斜率为的直线与椭圆交于点M，与轴交于点，设点为MA的中点.若轴上存在点，对于任意的，都有（为原点），若，求的值.
7．（2025·吉林长春·二模）如图，矩形中，分别是矩形四条边的中点，设，其中，直线和的交点在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；
(2)设，过点的动直线与椭圆交于两点，直线分别交圆于两点，设直线的斜率分别为．
①求证：为定值；
②直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．