江西省九江市浔阳区2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷（学生版）

这是一份江西省九江市浔阳区2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 在菱形中，，，则（ ）
A B. C. D.
3. 某次聚会，参会的每两人都握了一次手，所有人共握手36次，参加聚会的人数是（ ）
A. 7人B. 8人C. 9人D. 10人
4. 在平面直角坐标系中，矩形的位置如图，点A的坐标是，则矩形对角线的长是（ ）
A. 3B. C. 4D.
5. 张林和李冬在解一道一元二次方程时，张林看错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，李冬看错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原来的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，平行四边形中，对角线交于点，，分别是的中点．下列结论中正确的有（ ）
①；②；③平分；④四边形是菱形．
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
7. 关于的一元二次方程的解为____________．
8. 将一元二次方程用配方法，化为的形式，得：______．
9. 如图所示，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，道路的宽为_______
10. 已知方程的两根分别为和，则代数式的值为______．
11. 如图，在边长为5的菱形中，，点E、点F分别在、上，且，连接，若，则的长度为____________．
12. 在矩形中，，，点为射线DC上的一个动点，把沿折叠．点的对应点为，当点刚好落在此矩形的对称轴上时，线段的长＝______．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分．）
13. 解方程：
（1）；
（2）．
14. 已知：如图，在中，．点P从点A开始沿边向点B以速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
15. 在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：在平行四边形，作线段的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N，连接，，得到四边形．
（1）请你判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若，，求四边形面积．
16. 请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求完成画图．
（1）如图1，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的中点，以EF为边画一个矩形；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是对角线BD上任意一点（BE>DE），以AE为边画一个菱形．

17. 已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为，且，求的值．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分．）
18. 近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元．
（1）求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率
（2）该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？
19. △ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）试证明：OE=OF．
（2）当点O运动到线段AC中点时，四边形AECF是什么四边形？并证明．
（3）在（2）的条件下，请你给△ABC添加一个条件，使得四边形AECF是正方形，不需要证明．
20. 教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为．
（1）若苗圃的面积为，求边的长；
（2）苗圃的面积能否为．若能，请求出边的长；否则请说明理由．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分．）
21. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作平行四边形．
（1）证明平行四边形是菱形；
（2）若，连接、、，求证：是等边三角形；
（3）若，，，是中点，求的长．
22. 把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用．
如利用配方法，求的最小值．
解：，因为不论取何值，，
所以，所以当时，有最小值－1，
根据上述材料，解答下列问题：
（1）求的最小值；
（2）已知，，请比较与的大小，并说明理由；
（3）已知，求代数式的最大值．
六、解答题（本大题12分．）
23. 【实践探究】
数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转．
（1）问题发现】
①线段，之间的数量关系是__________，线段，之间的数量关系是__________．
②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是_________．
（2）【类比迁移】
如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明．
（3）【拓展应用】如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请求出线段的长．