江西省高安市2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷（学生版）

这是一份江西省高安市2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2. 关于的一元二次方程根的情况（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定
3. 将二次函数配方成的形式，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5. 若是一元二次方程的两个根，则（ ）
A. 4B. C. 7D.
6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的新抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___________.
8. 设、是一元二次方程的两个根，则______．
9. 某药品经过两次降价．每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同、设平均每次降价的百分率是x，可列方程为_____________________．
10. 在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则______．
11. 已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系，用“”连接：______．
12. 已知二次函数的图象如图所示，，对称轴为，有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号为______．
三、解答题（本大题共5小题，每题6分，共30分）
13. 解方程：
（1）；
（2）．
14. 抛物线过，，三点．
（1）求抛物线解析式；
（2）写出抛物线顶点坐标及对称轴．
15. 如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米．
（1）若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长；
（2）矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由．
16. 已知抛物线的图像如图，且点，点是图像上两点．
（1）写出抛物线的对称轴；
（2）请你仅用无刻度的直尺画出抛物线的对称轴．
17. 二次函数（b，c为常数）的图象经过点．
（1）在所给坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）根据图象，当时，求y的取值范围．
四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分）
18. 三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件．
（1）A系列产品和B系列产品的单价各是多少？
（2）为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为每件多少元？
（3）当B系列产品的实际售价为每件多少元时，每天的销售额能达到最大，最大销售额是多少元？
19. 已知关于x的一元二次方程．
（1）证明：不论m为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根为，且满足，求m的值．
20. 设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
（1）若，
求二次函数的表达式；
求的值．
（2）若在m，n，p这三个实数中只有一个是正数，判断二次函数图象开口的方向．
五、解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分）
21. 阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于原方程可变为，
解这个方程得：，．
当时，，∴；当时，，∴
所以原方程有四个根：，，，．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）利用换元法解方程得到方程的解为______．
（2）若，求的值．
（3）利用换元法解方程：．
22. 已知，如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，顶点为．
（1）求此函数的解析式；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）在对称轴上找一点，使的周长最小，求出点坐标．
六、解答题（本大题共1小题，每题12分，共12分）
23. 请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一元二次方程，使它根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程根为，则，所以．
把代入已知方程，得
化简，得
故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ．
（2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于的方程有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
m
1
n
1
p
…