（人教A版）高一数学下册期末考点归纳复习训练专题11 立体几何垂直归类（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc19814" 【题型一】 线线垂直 PAGEREF _Tc19814 \h 1
\l "_Tc27925" 【题型二】线面垂直 PAGEREF _Tc27925 \h 4
\l "_Tc19246" 【题型三】面面垂直 PAGEREF _Tc19246 \h 7
\l "_Tc5796" 【题型四】翻折1：线线垂直 PAGEREF _Tc5796 \h 9
\l "_Tc27507" 【题型五】 翻折2：线面垂直 PAGEREF _Tc27507 \h 12
\l "_Tc20001" 【题型六】 翻折3： PAGEREF _Tc20001 \h 14
\l "_Tc11960" 【题型七】 垂直探索性型 PAGEREF _Tc11960 \h 17
\l "_Tc12096" 【题型八】 垂直应用1：线面角 PAGEREF _Tc12096 \h 19
\l "_Tc21042" 【题型九】垂直应用2：二面角 PAGEREF _Tc21042 \h 23
\l "_Tc6505" 【题型十】 垂直应用3：点到面的距离 PAGEREF _Tc6505 \h 25
\l "_Tc6799" 培优第一阶——基础过关练 PAGEREF _Tc6799 \h 28
\l "_Tc7664" 培优第二阶——能力提升练 PAGEREF _Tc7664 \h 32
\l "_Tc7614" 培优第三阶——培优拔尖练 PAGEREF _Tc7614 \h 36
【题型一】 线线垂直
【典例分析】
如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．
【变式训练】
1.如图，在三棱柱中，侧面为矩形， ，D是的中点，与交于点O，且平面
(1)证明：；
(2)若，求三棱柱的高.
2.如图，已知正方体.
（1）求与所成角的大小；
（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.
【题型二】线面垂直
【典例分析】
如图所示，在直三棱柱中，，平面，D为AC的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
【变式训练】
1.如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求点D到平面ABE的距离．
2.如图，在直三棱柱中，，，，D为棱的中点，F为棱BC的中点．
(1)求证：BE⊥平面；
(2)求三棱锥B-DEF的体积．

【题型三】面面垂直
【典例分析】
如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD．
【变式训练】
1.如图，在四棱锥中，，平面平面ABCD，E，F分别为棱PD，AD的中点，．
(1)求证：平面平面PAD；
(2)若，求几何体PABCEF的体积．
2.如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点．求证：
(1)底面；
(2)平面平面.
【题型四】翻折1：线线垂直
【典例分析】
在中，，，过点A作，交线段BC于点D（如图1），沿AD将折起，使（如图2）点E，M分别为棱BC，AC的中点.
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积最大值.
【变式训练】
1.在中，，，过点A作，交线段BC于点D（如图1），沿AD将折起，使（如图2），点E、M分别为棱BC、AC的中点．
(1)求证：；
(2)在图2中，当三棱锥A-BCD的体积取最大值时，求三棱锥A-MDE的体积．
2.如图所示，在直角三角形中，，将 沿折起到 的位置，使平面平面，点满足.
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离.
【题型五】 翻折2：线面垂直
【典例分析】
在平行四边形中，，，，过点作的垂线交的延长线于点，连接交于点，如图①；将沿折起，使得点到达点的位置，如图②．证明：直线平面；
【变式训练】
1.如图（），已知边长为的菱形中，，沿对角线将其翻折，使，设此时的中点为，如图（）．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
2.如图（1），在边长为的正三角形ABC中，D，E分别为AB，AC中点，将沿DE折起，使二面角为直二面角，如图（2），连接AB，AC．
(1)求四棱锥的体积；
(2)在图（2）中，过点E作平面EFG与平面ABD平行，分别交BC，AC于F，G．求证：平面ABC．
【题型六】 翻折3：面面垂直
【典例分析】
已知为等边三角形，其边长为4，点为边的中点，点在边上，并且⊥，将沿折起到.
(1)证明：平面平面；
(2)在棱上取一点P，使，求.

【变式训练】
1.如图1，由正方形与正三角形组成的平面图形，其中，将其沿，折起使得，恰好重合于点，如图2.
(1)证明：平面平面；
(2)若点是线段上，且，求三棱锥的体积.
2.如图1，在直角梯形中，，点，分别是边的中点，现将沿边折起，使点到达点的位置（如图2所示），且.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
【题型七】 垂直探索性型
【典例分析】
如图，在直三棱柱中，，，，为棱上靠近的三等分点，为棱上靠近的三等分点.
(1)证明：平面；
(2)在棱上是否存在点D，使得面?若存在，求出的大小并证明；若不存在，说明理由.

【变式训练】
如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【题型八】 垂直应用1：线面角
【典例分析】
已知三棱柱中，平面平面，，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成线面角的正弦值.
【变式训练】
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，是线段上的动点．
(1)若是线段中点时，证明：平面；
(2)若直线与底面所成角的正弦值为，且三棱锥的体积为，请确定点的位置，并说明理由．
【题型九】垂直应用2：二面角
【典例分析】
.如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）．
(1)证明：平面平面；
(2)是否存在点，使得二面角的正切值为？若存在，确定点位置；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上，且，，.
（1）求证：；
（2）若二面角的平面角的余弦值为，求侧棱的长.
【题型十】 垂直应用3：点到面的距离
【典例分析】
如图1，为等边三角形，分别为的中点，为的中点，，将沿折起到的位置，使得平面平面，
为的中点，如图2．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
【变式训练】
如图，四棱锥的底面是梯形，为延长线上一点，平面是中点.
(1)证明：；
(2)若，三棱锥的体积为，求点到平面的距离.
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1．如图，在四棱锥中，平面底面，，，，．证明：
2．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:
(1)平面AEC;
(2)平面AEC⊥平面PBD．
3．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面.
4．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
5．如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA
(1)求证：PB⊥平面APD；
(2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD．
培优第二阶——能力提升练
1．如图，在四棱锥中，，，，平面平面.
(1)求证：平面；
(2)设，，求三棱锥的体积.
2．如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点．将分别沿折起，使三点重合于点P．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值．
3．如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面⊥底面，且，设E，F分别为，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面⊥平面；
(3)求直线与平面所成角的大小．
4．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，且，，8，.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值.
5．边长为4的菱形中，满足，点，分别是边和的中点，交于点，交于点，沿将△翻折到△的位置，使平面⊥平面，连接，，，得到如图所示的五棱锥．求证：⊥.
培优第三阶——培优拔尖练
1．如图所示，在平行四边形ABCD中，，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折为，若F为线段的中点．在翻折过程中，
(1)求证：平面；
(2)若二面角，求与面所成角的正弦值.
2．如图，四面体ABCD的顶点都在以AB为直径的球面上，底面BCD是边长为的等边三角形，球心O到底面的距离为1．
(1)求球O的表面积；
(2)求二面角的余弦值．
3．如图①，在等腰梯形中，，现将沿翻折到的位置，且平面平面，如图②.
(1)当时，求；
(2)当三棱锥的体积为时，求的值.
4．如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值．
5．如图，在几何体ABCDE中，面，，，．
(1)求证：平面平面DAE；
(2)AB=1，，，求CE与平面DAE所成角的正弦值．