（人教A版）高一数学下册期末考点归纳复习训练专题01 线性运算与基底应用（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc11819" 【题型一】线性定理基础 PAGEREF _Tc11819 \h 1
\l "_Tc30769" 【题型二】基底概念计算 PAGEREF _Tc30769 \h 2
\l "_Tc21502" 【题型三】鸡爪形 PAGEREF _Tc21502 \h 4
\l "_Tc26276" 【题型四】风帆型 PAGEREF _Tc26276 \h 6
\l "_Tc380" 【题型五】四边型 PAGEREF _Tc380 \h 7
\l "_Tc10693" 【题型六】两线交点型 PAGEREF _Tc10693 \h 10
\l "_Tc13034" 【题型七】赵爽弦图 PAGEREF _Tc13034 \h 12
\l "_Tc3119" 【题型八】系数未知型 PAGEREF _Tc3119 \h 14
\l "_Tc29238" 【题型九】最值：均值不等式型 PAGEREF _Tc29238 \h 17
\l "_Tc15054" 【题型十】基底与数量积 PAGEREF _Tc15054 \h 19
\l "_Tc25343" 培优第一阶——基础过关练 PAGEREF _Tc25343 \h 23
\l "_Tc11230" 培优第二阶——能力提升练 PAGEREF _Tc11230 \h 27
\l "_Tc7880" 培优第三阶——培优拔尖练 PAGEREF _Tc7880 \h 33
【题型一】 线性定理基础
【典例分析】
已知，是一组不共线的向量，且，，则，可以作为一组基底．( )
【变式训练】
1.已知，是一组不共线的向量，若，则，．( )
2.平面向量的基底确定后，平面内的任何一个向量都可以用这组基底唯一表示．( )
3.平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．( )
【题型二】基底概念计算
【典例分析】
若是一组基底，向量 (x,y∈R)，则称(x,y)为向量在基底下的坐标现已知向量在基底下的坐标为(－2,2)，则在另一组基底＝(－1,1)，＝(1,2)下的坐标为（ ）
A(2,0)B(0,－2)C(－2,0)D(0,2)
【变式训练】
1.在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
2.已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（ ）
AB
CD
3.已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（ ）
AB
CD
【题型三】鸡爪形
【典例分析】
在中，点满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1.在中，，则（ ）
A．B．C．D．
2.如图所示，点在线段上，且，则（ ）
A．B．C．D．
3.如图所示，在中，为边上的中线，若，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【题型四】风帆型
【典例分析】
如图，在中，是的中点，若，则（ ）
A．B．1C．D．
【变式训练】
1.在中，，为的中点，，则（ ）
A．2B．1C．D．
2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（ ）
A．B．C．D．
3.如图，中，，，点E是的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
【题型五】四边型
【典例分析】
已知矩形的对角线交于点O，E为AO的中点，若（，为实数），则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（ ）
A．B．C．D．
2.如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
3.在平行四边形中，，，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【题型六】 两线交点型
【典例分析】
在中，，，交于，，则（ ）．
A．B．C．D．
【变式训练】
1.如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，，则（ ）
A．B．C．D．
2. 中，M，N分别为AC，BC的中点，AN与BM交于点O，下列表达正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3.中，D为BC中点，，AD交BE于P点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【题型七】赵爽弦图
【典例分析】
我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于（ ）
A．B．C．1D．2
2.已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（ ）
A．14∶3B．19∶4C．24∶5D．29∶6
3.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设若，则λ-μ的值为___________
【题型八】系数未知型
【典例分析】
如图在中，点是内（不包含边界）任意一点，则有可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为( )
A．B．C．1D．
2.如图，中，与交于，设，，，则为
A．B．C．D．
3.如图:由等边三角形和等边三角形构成的六角星，图中的B，D，F，H，J，L均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O，若，则等于( )
A．1B．C．D．
【题型九】最值：均值不等式型
【典例分析】
中， 为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．8
【变式训练】
1.如图，直角梯形 中，已知，，动点在线段上运动，且，则的最小值是（ ）
A．3B．C．4D．
2.若向量，是不共线的两个向量，与共线，当时，的最小值为（ ）
A．4B．2C．D．
3.在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【题型十】基底与数量积
【典例分析】
如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是_______.
【变式训练】
1.如图，在四边形中，，点分别是边的中点，延长和交的延长线于不同的两点，则的值为_________．
2.如图，在△ABC中，边BC的四等分点依次为D，E，F．若，则AE的长为______.
3.已知四边形，是的垂直平分线，垂足为，为直线外一点．设向量，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1．D是的边BC上的一点，且，设，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
2．向量在正方形网格中的位置如图所示，若(λ，μ∈R)，则=（ ）
A．2B．4C．D．
3．如图，已知，若点满足，，则（ ）
A．B．C．D．
4．在中，为上一点，且，，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．△中，点为上的点，且，若，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
6．如图，已知中，点在边上，且，点在线段上，且，设，，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知正方形ABCD的边长为7，E是AB的中点，．AF与DE交于点M，则的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在矩形中，，，为上一点，．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
培优第二阶——能力提升练
1．已知正三角形的边长为，，是的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知点是所在平面内一点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在中，，以为直径的半圆上有一点M，，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知，点M，N满足，，BN与CM交于点P，AP交BC于点D，.则（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，中，，，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．在中，N是AC上的一点，且，P是BN上的一点，设，则实数m的值为______.
8．过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，，，则n的值为________.
培优第三阶——培优拔尖练
1．在中，，，其中，，，，，则（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
2．已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则下列选项中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知圆O的半径为2，A为圆内一点，OA＝1，B，C为圆O上任意两点，则的取值范围是______.
4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知为线段的中点，设为中间小正方形内一点（不含边界）.若，则的取值范围为__________.
5．已知是正实数，的三边长为，点是边(与点不重合)上任一点，且．若不等式恒成立，则实数的取值范围是___．
6．如图所示，△ABC中，AC＝3，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，且PN＝2PM，则△ABC面积的最大值为__．
7．如图，在△中，，，与交于点，，，，则的值为_________.
8．如图，在边长为的正方形中，，分别是边，上的两个动点，且，为的中点，，则的最大值是______．