（人教A版）高一数学下册期末考点归纳复习训练专题13 互斥、对立、独立事件及概率归类（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27346" 【题型一】古典概型概念与性质 PAGEREF _Tc27346 \h 1
\l "_Tc6624" 【题型二】 古典概型计算 PAGEREF _Tc6624 \h 3
\l "_Tc13994" 【题型三】 古典概型求参数 PAGEREF _Tc13994 \h 4
\l "_Tc31645" 【题型四】 互斥事件的概念 PAGEREF _Tc31645 \h 5
\l "_Tc20286" 【题型五】 对立事件的概念 PAGEREF _Tc20286 \h 7
\l "_Tc20384" 【题型六】 互斥与对立事件 PAGEREF _Tc20384 \h 8
\l "_Tc29851" 【题型七】 互斥与对立公式运算 PAGEREF _Tc29851 \h 9
\l "_Tc2936" 【题型八】独立事件的概念 PAGEREF _Tc2936 \h 10
\l "_Tc3301" 【题型九】 独立事件的概率运算 PAGEREF _Tc3301 \h 12
\l "_Tc28741" 【题型十】独立事件概率应用 PAGEREF _Tc28741 \h 14
\l "_Tc8734" 【题型十一】 “电路图”型独立事件应用 PAGEREF _Tc8734 \h 15
\l "_Tc32730" 【题型十二】“取球”型概率应用 PAGEREF _Tc32730 \h 17
\l "_Tc14141" 【题型十三】“传球”型概率应用 PAGEREF _Tc14141 \h 18
\l "_Tc24572" 【题型十四】 概率综合应用 PAGEREF _Tc24572 \h 19
\l "_Tc30460" 培优第一阶——基础过关练 PAGEREF _Tc30460 \h 21
\l "_Tc17529" 培优第二阶——能力提升练 PAGEREF _Tc17529 \h 24
\l "_Tc4604" 培优第三阶——培优拔尖练 PAGEREF _Tc4604 \h 29
【题型一】古典概型概念与性质
【典例分析】
下列关于古典概型的说法正确的是（ ）
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则.
A．②④B．②③④C．①②④D．①③④
【变式训练】
1.以下试验不是古典概型的有（ ）
A．从6名同学中，选出4名参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性大小
B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率
C．近三天中有一天降雪的概率
D．3个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率
2.下列不是古典概型的是（ ）
A．在6个完全相同的小球中任取1个
B．任意抛掷两颗骰子，所得点数之和作为样本点
C．已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个，从中任意取出1个球，观察球的颜色
D．从南京到北京共有n条长短不同的路线，求某人正好选中最短路线的概率
3.下列是古典概型的是（ ）
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点
C．在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率
D．抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点
【题型二】 古典概型计算
【典例分析】
“哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠，是数学界尚未解决的三大难题之一．其内容是：“任意一一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和．”若我们将10拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，在加数都大于2的条件下，两个加数均为素数的概率是（ ）．
A．B．C．D．
【变式训练】
1.有道是：“上饶是个好地方，三清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到上饶旅游，分别准备从三清山、婺源、葛仙山三个著名景点中随机选一个景点游玩，则甲、乙至少一人选择三清山的概率是（ ）
A．B．C．D．
2.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
3.两名学生均打算只去甲､乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市是等可能的，则不去同一城市上大学的概率为（ ）
A．B．C．D．
【题型三】 古典概型求参数
【典例分析】
一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（ ）
A．4B．5C．12D．15
【变式训练】
1.从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则（ ）
A．28B．14C．10D．8
2.设随机变量X的可能取值为1，2，3，…，n，并且1，2，3，…，n是等可能的，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．不能确定
3.某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器件，其中甲工厂生产了件，乙工厂生产了件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取件样品，已知该精密仪器按照质量可分为四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的等级产品的概率为，则抽取的三个等级中甲工厂生产的产品共有______件．
【题型四】 互斥事件的概念
【典例分析】
袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球与都是白球
B．恰有一个红球与白、黑球各一个
C．至少一个白球与至多有一个红球
D．至少有一个红球与两个白球
【变式训练】
1.若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
2.一批产品共7件，其中5件正品，2件次品，从中随机抽取2件，下列两个事件互斥的是（ ）
A．“恰有2件次品”和“恰有1件次品”B．“恰有1件次品”和“至少1件次品”
C．“至多1件次品”和“恰有1件次品”D．“恰有1件正品”和“恰有1件次品”
3.口袋里有两枚“角”的硬币和两枚“元”的硬币，从中任取若干枚，则与事件“总共取出元钱”互斥的事件是（ ）
A．取出的“1元”硬币仅有一枚
B．取出的“5角”硬币仅有一枚
C．恰好取出2枚硬币
D．恰好取出3枚硬币
【题型五】 对立事件的概念
【典例分析】
投掷一枚骰子，下列事件中是对立事件的是（ ）
A．向上的点数是1与向上的点数是5
B．向上的点数小于3与向上的点数大于3
C．向上的点数是奇数与向上的点数是偶数
D．向上的点数大于3与向上的点数小于5
【变式训练】
1.给出命题：（1）对立事件一定是互斥事件.（2）若事件满足，则为对立事件.（3）把、、，3张红桃牌随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件：“甲得红桃”与事件：“乙得红桃”是对立事件.（4）一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是两次都不中靶.其中正确的命题个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
2.甲：、是互斥事件；乙：、是对立事件，那么
A．甲是乙的充要条件B．甲是乙的充分但不必要条件
C．甲是乙的必要但不充分条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
3.从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事件中，是对立事件的是（ ）
A．至少有1个白球；都是红球B．至少有1个白球；至少有1个红球
C．恰好有1个白球；恰好有2个白球D．至少有1个白球；都是白球
【题型六】 互斥与对立事件
【典例分析】
袋中有10个红球和10个绿球，它们除颜色不同外，其它都相同.从袋中随机取2个球，互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个红球；至少有一个绿球B．至少有一个红球；都是红球
C．恰有一个红球；恰有两个绿球D．至少有一个红球；都是绿球
【变式训练】
1.从1，2，3，4，5中任取两个数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A．至少有一个是奇数和两个都是奇数B．至少有一个是奇数和两个都是偶数
C．至少有一个奇数和至少一个偶数D．恰有一个偶数和没有偶数
2.在一次随机试验中，事件A，B，C彼此互斥，它们的和为必然事件，则下列说法正确的是（ ）
A．A与C是互斥事件，也是对立事件
B．与B是互斥事件，也是对立事件
C．与B是互斥事件，但不是对立事件
D．A与是互斥事件，也是对立事件
3.从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（ ）
A．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球”
B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”
C．“都是白球”与“至少有一个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
【题型七】 互斥与对立公式运算
【典例分析】
已知事件A与事件B是互斥事件，则（ ）
A．B．
C．D．

【变式训练】
1.设A，B是同一试验中的两个随机事件，与分别是事件，事件发生的概率，若，，则“”是“事件A，B为对立事件”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
2.下列说法中正确的是（ ）
A．对立事件一定是互斥事件
B．若为随机事件，则
C．若事件两两互斥，则
D．若事件满足，则与是对立事件
3.已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【题型八】独立事件的概念
【典例分析】
若A与B是相互独立事件，则下面不相互独立的事件是（ ）
A．A与B．A与C．与BD．与
【变式训练】
1.有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则（ ）
A．甲与乙相互独立B．甲与丙相互独立
C．乙与丙相互独立D．乙与丁相互独立
2.袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（ ）
A．相互独立事件B．不相互独立事件
C．互斥事件D．对立事件
3.袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（ ）
A．A与B是互斥事件B．A与B不是相互独立事件
C．B与C是对立事件D．A与C是相互独立事件
【题型九】 独立事件的概率运算
【典例分析】
若且与相互独立,则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.已知，则事件A与B的关系是（ ）
A．A与B互斥不对立B．A与B对立
C．A与B相互独立D．A与B既互斥又相互独立
2.已知事件，，的概率均不为，则的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
3.对于事件，，下列命题不正确的是（ ）
A．若，互斥，则
B．若，对立，则
C．若，独立，则
D．若，独立，则
【题型十】独立事件概率应用
【典例分析】
A，B两名学生均打算只去甲、乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市互不影响，若A去甲城市的概率为0.6，B去甲城市的概率为0.3，则A，B不去同一城市上大学的概率为（ ）
A．0.3B．0.46C．0.54D．0.7
【变式训练】
1.某地区一个家庭中孩子个数X的情况如下．
每个孩子的性别是男是女的概率均为，且相互独立，则一个家庭中男孩比女孩多的概率为（ ）
A．B．C．D．
2.某老师为了奖励考试成绩优异的同学，在微信群里发了一个拼手气红包.已知甲、乙、丙三人抢到的红包金额超过1元的概率分别为，则这三人中至少有两人抢到的红包超过1元的概率为（ ）
A．B．C．D．
3.某学校高一年级进行趣味投篮比赛，规定投进球加2分，没有投进扣1分，已知李同学投篮的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立，则经过5次投篮后李同学得分超过5分的概率为（ ）
A．B．C．D．
【题型十一】 “电路图”型独立事件应用
【典例分析】
如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统．当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知、、正常工作的概率依次为、、，则系统不能正常工作的概率为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（ ）
A．B．
C．D．
2.如图，某系统由（1）（2）两个零件组成，零件（1）中含有，两个不同元件，零件（2）中含有，，三个不同的元件，每个零件中的元件有一个能正常工作，该零件就能正常工作；两个零件都正常工作该系统才可以正常工作.若每个元件是否正常工作互不影响，且元件，，，，正常工作的概率分别为，，，，，则该系统正常工作的概率约为（ ）
A．B．C．D．
3.一个系统如图所示，，，，，，为6个部件，其正常工作的概率都是，且是否正常工作是相互独立的，当，都正常工作或正常工作，或正常工作，或，都正常工作时，系统就能正常工作，则系统正常工作的概率是（ ）
A．B．C．D．
【题型十二】“取球”型概率应用
【典例分析】
一袋中共有5个大小相同的球，其中红色球1个，蓝色球、黑色球各2个，某同学从中随机任取2个，若取得的2个中有一个是蓝色球，则另一个是红色球或黑色球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.第一个袋中有黑、白球各2只，第二个袋中有黑、白球各3只．先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球，则两次均取到白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
2.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同，从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论错误的是（ ）
A．2个球颜色相同的概率为B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为D．2个球中恰有1个红球的概率为
3.甲、乙两个袋中各有3只白球，2只黑球，从甲袋中任取一球放入乙袋中，则再从乙袋中取出一球为白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【题型十三】“传球”型概率应用
【典例分析】
甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为（ ）
A．B．C．D．
2.2022年卡塔尔世界杯足球赛落幕，这是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．有甲，乙，丙，丁四个人相互之间进行传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过三次传球后乙只接到一次球的概率为（ ）
A．B．C．D．
3.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，则3次传球后球在甲或乙手中的概率是（ ）
A．B．C．D．
【题型十四】 概率综合应用
【典例分析】
甲､乙､丙､丁进行足球单循环小组赛（每两队只进行一场比赛），每场小组赛结果相互独立.已知甲与乙､丙､丁比赛获胜的概率分别为，且.记甲连胜两场的概率为，则（ ）
A．甲在第二场与乙比赛，最大
B．甲在第二场与丙比赛，最大
C．甲在第二场与丁比赛，最大
D．与甲和乙､丙､丁的比赛次序无关
【变式训练】
1.吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）
A．B．
C．D．
2.某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为，乙队和丙队答对该题的概率都是.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题.则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为（ ）
A．B．C．D．
3.对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（ ）
A．A与B不互斥B．A与D互斥但不对立
C．C与D互斥D．A与C相互独立
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1．已知事件A、B、C满足A⊆B，B⊆C，则下列说法不正确的是（ ）
A．事件A发生一定导致事件C发生
B．事件B发生一定导致事件C发生
C．事件发生不一定导致事件发生
D．事件发生不一定导致事件发生
2．设A，B是同一试验中的两个随机事件，与分别是事件，事件发生的概率，若，，则“”是“事件A，B为对立事件”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
3．如图，这是甲、乙两位同学在4次数学测试中得分的茎叶图，若从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，则甲同学抽选的得分高于乙同学抽选的得分的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
5．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是（ ）．
A．B．
C．D．
7．小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a，a，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．若P是一个质数，则像这样的正整数被称为梅森数．从50以内的所有质数中任取两个数，则这两个数都为梅森数的概率为（ ）
A．B．C．D．
培优第二阶——能力提升练
1．设，是两个随机事件，则下列说法正确的是（ ）
A．表示两个事件至少有一个发生
B．表示两个事件至少有一个发生
C．表示两个事件均不发生
D．表示两个事件均不发生
2．一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则（ ）
A．若不放回地抽取，则“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件
B．若不放回地抽取，则第2次取到红球的概率与第1次取到红球的概率相等
C．若有放回地抽取，则取出1个红球和1个白球的概率是
D．若有放回地抽取，则至少取出一个红球的概率是
3．下列说法正确的有（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现奇数点”，事件N＝“出现3点或4点”，则
B．袋中有大小质地相同的3个白球和2个红球．从中依次不放回取出2个球，则“两球同色”的概率是
C．甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98
D．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
4．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现3点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为10”，则下列说法正确的有（ ）
A．A与B不互斥且相互独立B．A与D互斥且不相互独立
C．B与C不互斥且相互独立D．B与D互斥且不相互独立
5．若，则方程有实根的概率为________．
6．为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品．从这批雪车中随机抽取一辆雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.83，则抽到一等品的概率为______．
7．现有7名世界杯志愿者，其中，，通晓日语，，通晓韩语，，通晓葡萄牙语，从中选出通晓日语、韩语、葡萄牙语志愿者各一名组成一个小组，则，不全被选中的概率为______．
8．甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率是______________．
培优第三阶——培优拔尖练
1．有六条线段，其长度分别为2，3，4，5，6，7．现任取三条，则这三条线段在可以构成三角形的前提下，能构成锐角三角形的概率是______．
2．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第局甲当裁判，在前局中乙恰好当次裁判的概率_______．
3．某校甲、乙、丙三名教师每天使用1号录播教室上课的概率分别是0.6，0.6，0.8，这三名教师是否使用1号录播教室相互独立，则某天这三名教师中至少有一人使用1号录播教室上课的概率是______．
4．若三个原件A，B，C按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为______
5．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为___________．
6．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______．
7．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）.根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高，反之，降低，则甲以取得胜利的概率为______________.
8．连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），记“两次向上的数字之和等于”为事件，则最大时，______________.
X
1
2
3
0
P