2025-2026学年江苏省南京市九年级（上）9月份第一次月考数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年江苏省南京市九年级（上）9月份第一次月考数学试卷-自定义类型，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程是一元二次方程的是（）
A. B. C. D.
2.如图，在等腰直角三角形中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转，那么斜边扫过的面积为（ ）
A. B. C. D.
3.如图，在中，，，的内心、外心分别为点、点，且有，则的长度为（ ）
A. 8B. 6C. D.
4.如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
5.关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（ ）
A. B. 1C. 3D. 9
6.如图，为直径，C为圆上一点，I为内心，交于D，于I，若，则为（ ）
A. B. C. D. 5
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.设，是关于x的方程的根，且，则k的值为 ．
8.已知一次函数图像与一圆心为，半径为1的圆相切，则切点坐标为 ．
9.已知，且，则化简 ．
10.如图，内接于，为的直径，I为的内心，连接．若，则的长为 ．
11.已知内接于⊙O，I是的内心，若，则的度数是 ．
12.如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则 ．
13.如图，矩形中，，．若P为矩形内一点，且，则所有符合条件的点P形成的区域的面积是 ．
14.如图，用6个全等的三角形拼成一个内外都是正六边形的图形，若，，则＝ ．
15.如图，在中，，，．的半径长为1，是边上一动点（可以与顶点重合），并且点到的切线长为．若满足条件的点的位置有4个，则的取值范围是 ．
16.如图，在中，，点是边上一点，且，点、分别是边、上的动点，且始终满足，连接，则线段的最小值为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.解方程：；
18.解方程：．
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.
(1) 若关于x的方程（p为常数）有两个不相等的实数根，求p的取值范围；
(2) 关于x的方程（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A. 两个正根B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根D. 无实数根
20.(本小题8分)
如图，AB是的弦，点C在过点B的切线上，且，OC交AB于点P．
(1) 求证；
(2) 若，，则的半径长为 ．
21.(本小题8分)
如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点．
(1) 求证：与相切；
(2) 若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？
22.(本小题8分)
如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“幸运角”．
(1) 如图2，是的直径，弦，是上一点，连结交于点，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由；
(2) 在（1）的条件下，直径，，的“幸运角”为，求CP的长．
23.(本小题8分)
如图，我区荷兰花海景区东北角有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此扩建一个新品种花卉观光区，其中阴影部分为观览通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将种植新品种花卉．
(1) 设观览通道的宽度为x米，则 （用含x的代数式表示）；
(2) 若新品种花卉总占地面积为2430平方米．请求出观览通道的宽度为多少米？
24.(本小题8分)
如图，是的外接圆，是的切线，且，连接交于点E．
(1) 求证：；
(2) 连接，若为的直径，，，求的半径．
25.(本小题8分)
解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．
例题呈现
关于的方程的解是（、、均为常数，），
则方程的解是．
解法探讨
(1) 小明的思路如下所示，请你按照他的思路解决这个问题；
(2) 小红仔细观察两个方程，她把第个方程中的“”看作第个方程中的“”，则“”的值为，从而更简单地解决了问题．
(3) 策略运用
小明和小红认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们说的方法完成解答．
26.(本小题8分)
解答下列问题
(1) 【习题再现】完成原习题；（教材P74 第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．和相等吗？为什么？
(2) 【逆向思考】如图②，I为内一点，的延长线交的外接圆于点D．若，求证：I为的内心．
(3) 【迁移运用】如图③，利用无刻度直尺和圆规，作出的内心I．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）
27.
(1) 【问题情境】
如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
(2) 【操作实践】
如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系；
(3) 【探究应用】
如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长；
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】
8.【答案】，
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】或
12.【答案】/40度
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：．

18.【答案】【详解】解：
∴，
∴，
，
，
∴，
解得：．

19.【答案】【小题1】
∵（p为常数），
∴，
∵关于x的方程（p为常数）有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
【小题2】
C

20.【答案】【小题1】
证明：延长交圆于点M，如图，
则，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，即，
∴，
∴；

【小题2】
​​​​​​​

21.【答案】【小题1】
证明：过点作于点，如图：
，
，
，
，
∵圆的半径为2，
∴点在圆上，
，
∴与相切；
【小题2】
解：可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面，理由如下：
∵，
∴四边形是等腰梯形，
∵，
∴，
∴，
∴扇形的弧长，
∴圆锥的底面圆的周长为，
设圆锥的底面圆的半径为，则，
，
过点作的切线，交于点，交于点，连接，则，，如图：
在中，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
作的内切圆，如图：
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
，
是等腰直角三角形，
，
设圆的半径为，
，
，
解得：，
，
∴可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面．

22.【答案】【小题1】
解：是的“幸运角”，理由如下：
∵是的直径，弦，
∴平分，
即为的垂直平分线，
，
，
，
，
是的“幸运角”；
【小题2】
解：连接，如图：
的“幸运角”为，即，
，
，
，
，
∵直径，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
设，则，在中，
，
，
解得：或，
或．

23.【答案】【小题1】
​​​​​​​
【小题2】
解：根据题意得：，
∵，
∴，
解得（不合题意，舍去）．
∴通道的宽度为．

24.【答案】【小题1】
证明：连接，并延长交于点F，如图所示：
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴；
【小题2】
解：∵为的直径，
∴，
根据解析（1）可知，，
∴，
设的半径为r，则，
在和中根据勾股定理得：，
，
∴，
解得：或（舍去），
∴的半径为5．

25.【答案】【小题1】
将代入到方程中，
得，
∴，
解得
∴．
∴
第个方程可变形为，
即，
解得：；
【小题2】
∵关于的方程的解是，
∴把第个方程中的“”看作第个方程中的“”，则“”的值为或，
故答案为：或；
【小题3】
∵当时，
∴方程必有一根是
∴方程的两根为．
∴．
∴．
∴是一个直角三角形

26.【答案】【小题1】
证明：如图①，连接．
∵I是的内心，
∴．
∵是所对的圆周角，
∴．
∴．
根据角之间的关系可得．
又∵是的一个外角，
∴．
∴．
∴；
【小题2】
证明：连接．
∵，
∴．
∴．
即平分．
∵，
∴．
∵是的一个外角，
∴．
∵，
∴，即平分．
∴I为的内心；
【小题3】
文字说明：①以点B为圆心，以适当长度为半径画弧，交，于点M和N，
②以点M和点N为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧交于点H，作射线，
③以点C为圆心，以适当长度为半径画弧，交，于点E和F，
④以点E和点F为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧交于点G，作射线，
∴射线和射线交于点I，
∴点I即为的内心．
画图如下：

27.【答案】【小题1】
2
【小题2】
如图，∵，
∴，，
，，
∴，
如图，
结合图形变换可得：；
【小题3】
如图，∵将绕点逆时针旋转，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∵为圆外一个定点，
∴当与相切时，最大，
∴，
∴，
由（2）可得：，
∵，，
∴
，
∴；
小明的思路第步把、代入到第个方程中求出的值；第步把的值代入到第个方程中求出的值；第步解第个方程．
已知方程有两个相等的实数根，其中、、是三边的长，判断的形状．