2025-2026学年江苏省南京玄武外国语学校九年级（上）9月月考数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年江苏省南京玄武外国语学校九年级（上）9月月考数学试卷-自定义类型，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列命题中，是真命题的为（）
A. 三点确定一个圆B. 同弦所对的圆周角相等
C. 对角互补的四边形四点共圆D. 垂直于半径的直线是圆的切线
2.如图，内接于，，，为的直径，交于，的延长线交于点，连接，，交于，在不添加其他辅助线的情况下，图中除外，相等的线段共有（ ）对．
A. 2B. 3C. 4D. 5
3.如图，在中，，，的内心、外心分别为点、点，且有，则的长度为（ ）
A. 8B. 6C. D.
4.如图，平行四边形中，，以为直径的交于点E，则的长为（ ）
A. B. C. 5D.
5.如图，四边形是的内接四边形，，，为上一点，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（ ）
A. B. C. 5D. 6
二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分。
7.如图，在扇形中，，点C为半径上一点，现以点O为圆心，长为半径作弧，该弧交半径于点D，记的长为m，的长度为d，则的长为 ．（用含m，d的式子表示）
8.如图，是的直径，是外一点，连接交于点，连接并延长交于点．若，则的大小是 度．
9.已知一次函数图像与一圆心为，半径为1的圆相切，则切点坐标为 ．
10.如图1，是的半径，点M是的中点，点N在上从点A开始沿逆时针方向动一周回到点A，运动停止，设运动过程中的长为x，的长为y，图2是y随x变化的关系图象，则a的值为 ．
11.如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转90°后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是 ．
12.如图，在矩形中，点E在边上，连接平分，点O是的内心，连接，，若，则的长为 ．
13.如图，为的直径，且，点在半圆上，，垂足为点，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，连接、．当点在半圆上从点运动到点时，内心所经过的路径长为 ．
14.如图，在中，，点是边上一点，且，点、分别是边、上的动点，且始终满足，连接，则线段的最小值为 ．
15.如图，已知扇形，点D为圆弧上一点，且的度数为，若P为扇形内一点，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
真命题“在同一个圆中，两条平行的弦所夹的弧相等”，请根据这个命题画出图形，写出已知求证并完成证明．
17.(本小题8分)
如图，四边形内接于一圆，延长到点．
(1) 求证：；
(2) 连接、，若，平分，求的度数．
18.(本小题8分)
如图，是的直径，且，为上一动点（不与点、重合）过点作的切线交延长线于点，为中点，连接．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若，求阴影部分的面积．
19.(本小题8分)
分别用两种方法作出三角形的外心与内心．（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
20.(本小题8分)
在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？
已知小棒长度为4，宽度不计．
方案1：将小棒绕中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)；
方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为．
(1) ①______，______；(结果保留) ②比较与的大小．(参考数据：，．)
(2) 方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．
①补全方案3的示意图；
②设方案3中小棒扫过区域的面积为，求．
(3) 设计方案4，使小棒扫过区域的面积小于，画出示意图并说明理由．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，点A、B是y轴、x轴上的两个定点，经过A、B两点且与x轴正半轴、y轴负半轴分别交于D、C两点，过点O作于点E，交于点F．
(1) 若，则 °；
(2) 求证：点F是的中点；
(3) 若、，其中a、b是方程的两个根，连接，当圆心M运动时，的长度是否发生变化？若不变，求出的长度；若变化，求出MF的取值范围．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】，
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】已知：如图，，是的两条弦，，
求证：．
证明：如图所示，连接，，，，，
，
，
，，
，
．

17.【答案】【小题1】
证明：∵四边形内接于一圆，
∴，
∵，
∴；
【小题2】
解：由（1）得，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
，
∴．

18.【答案】【小题1】
证明：如图，连接，
∵与相切于点C，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
∵经过的半径的外端，
∴是的切线；
【小题2】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．

19.【答案】解：（1）如图，分别作三角形边,的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心；
如图，分别找到三角形边，的中点D，E，再以点D，E为顶点，利用三角板画垂直于边，的直线，相交于点O，点O即为的外心；
（2）如图，分别作与的平分线，相交于点O，点O即为的内心；
如图，以点C为圆心，画两个不同半径的弧，得到点D，E，F，G，连接，交于点M，连接，以点C为圆心，画两个不同半径的弧，得到点P，Q，R，H，连接，交于点N，连接，与相交于点O，点O即为的内心．

20.【答案】【小题1】
解：①由依题意得：，
，
∴
又依题意得：方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍的面积．等边三角形的面积公式：，为等边三角形的边长．
∴
故答案是：，；
②∵，，，
∴；
【小题2】
①依题意补全方案3的示意图如下：

②连接，M为切点，则的中点，

设，则，
由勾股定理得：，即，
解得：，
∴，
∴．
【小题3】
设计方案4：如下图，是等边三角形，首先让点B在上运动，点A在的延长线上运动，使得的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此边调转到边，接着两次同样的方式旋转到边和边，最终小棒扫过的区域是如下图所示．

对于第一次旋转，当旋转旋转到时，此时，
又作，则
依题意得：阴影部分比等边三角形多三块全等的图形，记每块面积为，
则有，F为的中点，
∵，
∴，
∴，
∴．

21.【答案】【小题1】
28
【小题2】
证明：，
，
，
，
，，
，，
同理：，，
F点是的中点．
【小题3】
如图：过作直径，连接，
点F是的中点，M点是中点，，
是圆M的直径，，
，，
，，
，，
解方程得，，，
由题意可知：，，
，，
．
当圆心M运动时，的长度不变，．